第03講集合的基本運算（原卷版）

第03講集合的基本運算模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.理解交集、并集、全集、補集，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2.掌握集合的運算關系，能進行集合的各種運算.3.與方程、不等式、數(shù)軸、維恩圖等相結合考查集合的運算，凸顯數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).知識點1交集1.定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B.2.符號：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3.圖示：知識點2并集1.定義：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B2.符號：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.圖示：知識點3并集和交集的性質(zhì)并集交集簡單性質(zhì)A∪A＝A；A∪?＝AA∩A＝A；A∩?＝?常用結論A∪B＝B∪A；A?(A∪B)；B?(A∪B)；A∪B＝B?A?BA∩B＝B∩A；(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩B＝B?B?A知識點4補集1.全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集.2.補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA.3.符號：?UA＝{x|x∈U，且x?A}.4.圖示：5.拓廣解讀：(1)簡單地說，?UA是從全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素組成的集合．(2)性質(zhì)：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．(3)如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的圖示．知識點5集合中元素的個數(shù)【探索與研究】考點一：交集運算例1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知集合，，則的子集個數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式11】（2024·全國·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式12】（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，則（

）A． B． C． D．【變式13】（2024·上海·三模）已知集合，，則【規(guī)律方法】求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B”的形式；③把化簡后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，解集是點集．②若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心點表示．考點二：根據(jù)交集運算結果求集合或參數(shù)例2.（2324高二下·廣東惠州·階段練習）已知集合，若為單元素集，則的最小值為．【變式21】（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）已知集合，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式22】（2024·上?！と＃┮阎希?，若，則．【變式23】（2024·河北滄州·二模）已知集合，若，則的取值范圍為.【總結提升】遇到A∪B＝B，A∩B＝A等這類問題，解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關系去轉化為集合間的關系求解，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B．考點三：并集運算例3.（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若，則中所有元素之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式31】（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【變式32】（2023高二下·浙江·學業(yè)考試）已知集合，，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【變式33】（2024·上?！と＃┤艏?，，則．【總結提升】1.對于描述法給出的集合，應先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點集……，然后將集合化簡，再按定義求解．2.求兩個集合的并集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復的元素只能算一個．3.對于元素個數(shù)無限的集合進行并集運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點的值能否取到．考點四：根據(jù)并集運算結果求集合或參數(shù)例4.（2022秋·山東東營·高一利津縣高級中學?？茧A段練習）集合，若，的值組成的集合為【變式41】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期末）已知集合，，且，則m的值為（

）A． B．或C．或或 D．或或或【變式42】（2024·海南?？凇ざ＃┮阎?，，若，則的取值范圍是.【變式43】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知集合，集合，若，則．【總結提升】1.A∪B＝B?A?B2.當集合A?B時，若集合A不確定，運算時要考慮A＝?的情況，否則易漏解．考點五：補集運算例5.（2023·河南駐馬店·一模）已知全集，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式51】（2024高二下·浙江·學業(yè)考試）設全集，，則（

）A． B． C． D．【變式52】（2024·四川涼山·三模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【變式53】（2024·山西·模擬預測）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】兩種處理技巧：①當集合用列舉法表示時，可借助圖示．②當集合是用描述表示的連續(xù)數(shù)集時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解．考點六：根據(jù)補集的運算結果求集合或參數(shù)例6.（2324高一上·云南昆明·階段練習）已知全集，集合，且，則.【變式61】（2324高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【變式62】（2324高一上·江蘇蘇州·階段練習）設全集，則集合．【變式63】（2324高一上·上?！て谀┤羧?，，且，求實數(shù)的值考點七：交集、并集、補集的綜合運算例7.（2024·廣東廣州·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式71】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知集合，，，則為（

）A． B． C． D．【變式72】（2324高一下·湖南長沙·開學考試）已知全集，則集合（

）A． B．C． D．【變式73】（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，則，．考點八：根據(jù)集合的運算求參數(shù)例8.（2324高一上·廣東珠?！て谥校┮阎?，.(1)若，求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【變式81】（2324高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【變式82】（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式83】（2023·全國·高三專題練習）已知全，A?(CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝.【總結提升】利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法①與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解．【易錯警示】在求出參數(shù)后，注意結果的驗證(滿足互異性)．考點九：求集合中元素的個數(shù)例9.（2324高一上·湖南張家界·期末）學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班總共參賽的同學有（

）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人【變式91】（2324高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同學參加秋季運動會中的100米短跑、立定跳遠、跳高三項比賽.已知參加100米短跑比賽的有12人，參加立定跳遠比賽的有16人，參加跳高比賽的有13人，同時參加其中兩項比賽的有9人，則這三項比賽都參加的有（

）A．3人 B．2人 C．1人 D．4人【變式92】（2324高一上·吉林通化·階段練習）某班有名學生，有圍棋愛好者人，足球愛好者人，同時愛好這兩項的最多人數(shù)為，最少人數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【變式93】（2324高一上·北京·階段練習）學校舉辦運動會，高一（1）班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，則只參加游泳比賽的人數(shù)是，只參加田徑一項比賽的人數(shù)是.1．（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．5．（多選）（2024·江西·模擬預測）設集合，，若，則的值可以為（

）A．1 B．0 C． D．6．（2023高一·全國·專題練習）設全集，集合，．則實數(shù)的值為．7.（2324高一上·安徽合肥·期末）學校舉辦運動會時，高二（8）班共有30名同學參加比賽，有15人參加田徑比賽，14人參加球類比賽，13人參加趣味比賽，同時參加