專題2 函數(shù)的零點個數(shù)問題、隱零點及零點賦值問題（解析版）

專題2函數(shù)的零點個數(shù)問題、隱零點及零點賦值問題一、考情分析函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點,函數(shù)的零點個數(shù)問題、隱零點及零點賦值問題是近年高考的熱點及難點,特別是隱零點及零點賦值經(jīng)常成為導數(shù)壓軸的法寶.二、解題秘籍(一)確定函數(shù)零點個數(shù)1.研究函數(shù)零點的技巧用導數(shù)研究函數(shù)的零點,一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點存在性定理判斷；另一方面,也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,利用數(shù)形結(jié)合來解決．對于函數(shù)零點個數(shù)問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別,論證是充要關(guān)系,要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴格說明函數(shù)零點個數(shù)．2.判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖．函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)問題．(2)分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為a＝g(x),根據(jù)導數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖．函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)圖象交點的個數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進行比較即可．3.處理函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖像的交點問題的常用方法(1)數(shù)形結(jié)合,即分別作出兩函數(shù)的圖像,觀察交點情況;(2)將函數(shù)交點問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)根的個數(shù)問題,也通過構(gòu)造函數(shù)y=f(x)-g(x),把交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,并作出草圖,根據(jù)草圖確定根的情況.4.找點時若函數(shù)有多項有時可以通過恒等變形或放縮進行并項，有時有界函數(shù)可以放縮成常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時合理分離參數(shù)，避開分母為0的情況.【例1】（2023屆廣東省羅定中學高三上學期調(diào)研）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)；【解析】（1）由題意知：定義域為，，令，解得：，，又，當時，；當時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）取，則當時，，，，；，由（1）知：在上單調(diào)遞增，當時，，即在上無零點；下面討論的情況：①當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，，在和上各存在一個零點，即有兩個不同零點；②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，有唯一零點；③當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，無零點；綜上所述：當時，有兩個不同零點；當時，有且僅有一個零點；當時，無零點.(二)根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)范圍根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)范圍的兩種方法1.直接法：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍,通常先確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性寫出極值及相關(guān)端點值的范圍,然后根據(jù)極值及端點值的正負建立不等式或不等式組求參數(shù)范圍；2.分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù),然后利用求導的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍,分離參數(shù)法適用條件：(1)參數(shù)能夠分類出來；(2)分離以后構(gòu)造的新函數(shù),性質(zhì)比較容易確定.【例2】（2023屆四川省成都市高三全真模擬）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）因為，定義域為，故，則，即，即，令，則，又因為在上單調(diào)遞增，且當時，，所以，即，．（2）因為函數(shù)有且僅有兩個零點，所以有且僅有兩個大于1的實數(shù)根，又，則，即，令，則，由，得，當時，，當時，，

所以在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增且時，又，，則，則，即得，所以，即，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

當時，，且無限趨近于0，所以，故實數(shù)a的取值范圍為．(三)零點存在性賦值理論及應(yīng)用1.確定零點是否存在或函數(shù)有幾個零點,作為客觀題常轉(zhuǎn)化為圖象交點問題,作為解答題一般不提倡利用圖象求解,而是利用函數(shù)單調(diào)性及零點賦值理論.函數(shù)賦值是近年高考的一個熱點,賦值之所以“熱”,是因為它涉及到函數(shù)領(lǐng)域的方方面面：討論函數(shù)零點的個數(shù)(包括零點的存在性,唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等,零點賦值基本模式是已知f(a)的符號,探求賦值點m(假定ma)使得f(m)與f(a)異號,則在(m,a)上存在零點．2.賦值點遴選要領(lǐng)：遴選賦值點須做到三個確保：確保參數(shù)能取到它的一切值；確保賦值點x0落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；確保運算可行三個優(yōu)先：（1）優(yōu)先常數(shù)賦值點；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點；（3）優(yōu)先簡單運算.3.有時賦值點無法確定,可以先對解析式進行放縮,再根據(jù)不等式的解確定賦值點（見例2解法）,放縮法的難度在于“度”的掌握,難度比較大.【例3】（2024屆北京市新高三入學定位考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【解析】（1），則有，解得，，則.（2）由（1）知，，設(shè)，因為在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因為，令，令，得，設(shè)，由（2）知在上單調(diào)遞增，且，，故存在唯一零點使得，即存在唯一零點滿足，即得，則，且當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以，當時，，，則，則函數(shù)的零點個數(shù)為0.(四)隱零點問題1.函數(shù)零點按是否可求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的,稱之為“顯零點”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱之為“隱零點”.2.利用導數(shù)求函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間,常常會把最值問題轉(zhuǎn)化為求導函數(shù)的零點問題,若導數(shù)零點存在,但無法求出,我們可以設(shè)其為,再利用導函數(shù)的單調(diào)性確定所在區(qū)間,最后根據(jù),研究,我們把這類問題稱為隱零點問題.注意若中含有參數(shù)a,關(guān)系式是關(guān)于的關(guān)系式,確定的合適范圍,往往和的范圍有關(guān).【例4】（2024屆寧夏吳忠市高三上學期月考）已知函數(shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意實數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．所以，令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立．設(shè)，即．，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使得，即，所以．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以，當時，，所以，由題意知且所以，即整數(shù)的最大值為1．三、典例展示【例1】（2022高考全國卷乙理）已知函數(shù)（1）當時,求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點,求a取值范圍．【解析】（1）當時,,所以切點為,,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為.（2）,,設(shè)若,當,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意,若,當時,所以在上單調(diào)遞增,所以,即所以在上單調(diào)遞增,,故在上沒有零點,不合題意.若,(1)當,則,所以在上單調(diào)遞增,,所以存在,使得,即.當單調(diào)遞減,當單調(diào)遞增,所以當,當,所以在上有唯一零點,又在沒有零點,即在上有唯一零點,(2)當,,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,,所以存,使得當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增,,又,所以存在,使得,即當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減有而,所以當,所以在上有唯一零點,上無零點,即在上有唯一零點,所以,符合題意,綜上得在區(qū)間各恰有一個零點,的取值范圍為.【例2】（2023屆江西省臨川高三上學期期中）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，(2)若，當時，恒成立時，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由可得.當時，恒成立，在單調(diào)遞增；當時，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當時，成立，當時，恒成立即，設(shè)，則，令，則，設(shè)，當時，，故；當時，，故，綜上有，故，故為增函數(shù)，又，因為，故，所以，故存在唯一零點使得，故當時單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增，故，又，即，所以設(shè)，則，故為增函數(shù)，又，所以，所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.【例3】（2023屆福建省寧德市高三高考前最后一卷）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù)﹔(2)當時，若對任意，恒有，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）令則，記，則，當時，，此時在單調(diào)遞減，當時，，此時在單調(diào)遞增，故當時，取極大值也是最大值，又，而當時，，故當時，，當時，，作出的圖象如下：

因此當時，即，無交點，此時無零點，當或時，即或，有一個交點，此時有一個零點，當時，即，有兩個交點，此時有2個零點，綜上可知：當時，無零點，當或有一個零點，當，有2個零點，（2）當時，若對任意，恒有等價于：對任意，恒有，令，則不等式等價于，由于，令，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，由得對任意恒成立，兩邊取對數(shù)得對任意恒成立，故，所以故的范圍為【例4】已知函數(shù)的最小值為．(1)求的值；(2)已知,,在上恒成立,求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：,）【解析】(1)由題可知．令,解得；令,解得．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,解得．(2)由可得對恒成立．令,則,令,則因為在上單調(diào)遞增,,,且的圖象在上不間斷,所以存在,使得,即,則．所以當時,單調(diào)遞減；當時,單調(diào)遞增．則的最小值為,,由對勾函數(shù)性質(zhì)得,,所以,所以,即在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以．所以存在整數(shù)滿足題意,且整數(shù)的最大值為．【例5】（2023屆云南省保山市高三聯(lián)考）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意可得，若，在上恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，此時，當時，滿足，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增；當時，滿足，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；若，此時，當時，滿足，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當時，滿足，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；綜上可知，時，在上單調(diào)遞增；時，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；時，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由可得，解得；所以，則，易知時，，若函數(shù)在上恒成立，等價成在上恒成立；令，則；令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，由于，所以，而，且，所以；因此在有且僅有一個零點，滿足，且；所以當時，，當時，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為，顯然，因此，又是整數(shù)，所以的最大值為4.四、跟蹤檢測1．（2023屆云南省保山市高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，切線的斜率為，又切點為，所以切線方程為.（2）令，即，①若，則當時，，令，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，，當時，，所以恒成立，符合題意；②若，則當時，，不合題意；③若，注意到，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，當時，，所以在上單調(diào)遞減，，不合題意.綜上，的取值范圍為.2．（2023屆四川省高三診斷性檢測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)令（a為常數(shù)），若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題意可知：的定義域為，，令，解得；令，解得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由題意可知：，其定義域為，則有兩個零點，即有兩解，即有兩解，令，則.令，解得；令，解得；則的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，可知，又因為，且當趨近于，趨近于0，要使得有兩解，只需，所以，

故實數(shù)a的取值范圍為.3．（2024屆廣東省揭陽市高三上學期開學考試）已知函數(shù).(1)當時，證明：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）當時，，，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以在處取得唯一的極大值，即為最大值，所以，所以，而，所以.（2）令.則.當時，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為.所以關(guān)于的不等式不能恒成立；當時，.令，得，所以當時，；當時，.因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故函數(shù)的最大值為.令，因為，又因為在上單調(diào)遞減，所以當時，.所以整數(shù)的最小值為3.4．（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三月考）設(shè)函數(shù)(1)若，，求曲線在點處的切線方程；(2)若，不等式對任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）當，時，，所以，即切點為因為，所以，所以切線方程為，即，（2），由，所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增不等式，對恒成立，構(gòu)造，，構(gòu)造，，對有，所以在遞增，，，所以，，所以，，即，在遞減，，，即，在遞增，所以，結(jié)合，故，所以對恒成立，故，所以整數(shù)k的最大值為3；5．（2023屆江蘇省連云港市高三學情檢測）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并證明；(2)證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域，當時時，，函數(shù)無零點，當時，，單調(diào)遞增，又，且圖象在上連續(xù)不斷，所以由零點存在定理得在上有且只有一個零點，綜上，有且只有一個零點.（2）要證，即證，令，其中，則有，令，則可化為，因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則，由，，，令得，列表如下：-0+↗由表可知：，即，僅當，等號成立，由（1）可知，存在唯一的，使得，即僅有唯一的，使得，而，當，等號成立，綜上，與，等號不能同時成立，故，即.6．（2024屆廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學校高三上學期開學模擬）已知函數(shù)R.(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為R,，當時，由，在R上單調(diào)遞增，當時，令，可得，令，可得，∴單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，∴當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）設(shè)，則，（i）當時，，令，則，令，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，則恒成立，（ii）若時，則，，∴，使得，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，與條件矛盾，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.7．（2024屆山西省朔州市懷仁市第一中學校等學校2高三上學期摸底）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，.①當時，由，有，令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，令，函數(shù)的增區(qū)間為；②當時，，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；③當時，，令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，令，可得，或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，；④當時，，令，可得，令，可得，或，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；綜上，當時，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.（2）.由（1）可知：①當時，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有，函數(shù)沒有零點，不合題意；②當時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)最多只有一個零點，不合題意；③當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，由，函數(shù)最多只有一個零點，不合題意；④當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.由，若函數(shù)有且僅有3個零點，必需，令，有，令，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，故滿足不等式的a的取值范圍為.又由，可得當時，，又由，，，可得函數(shù)有且僅有3個零點.由上知，若函數(shù)有且僅有3個零點，實數(shù)a的取值范圍為.8．（2023屆云南省高三“云教金榜”N1沖刺測試）設(shè)函數(shù)，.(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時，函數(shù)的定義域為，因為，所以，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）函數(shù)的定義域為，等價于，設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當，當，所以，使得，即，所以，當時，，所以單調(diào)遞減，當時，，所以單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，而恒成立，所以為增函數(shù)，由，所以.因為均為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，所以，當時，，所以實數(shù)的取值范圍為9．（2024屆云南省三校高三高考備考實用性聯(lián)考）已知.(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：函數(shù)有且僅有一個零點.【解析】（1）當時，，，由得或，解得或由得或，解得或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,，單調(diào)遞減區(qū)間為,.（2）當時，，定義域為，，設(shè)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，，存在唯一，使，即，當時，，即；當時，，即；當時，，即，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，當時，取極大值為，設(shè)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù).在內(nèi)無零點，，在內(nèi)有且只有一個零點，綜上所述，有且只有一個零點.10.（2023屆河南省安陽市高三上學期名校調(diào)研摸底）已知函數(shù),其中,且.(1)當