專題5 構(gòu)造函數(shù)證明不等式（解析版）

專題5構(gòu)造函數(shù)證明不等式一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率比較高．求解此類問題關(guān)鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù),然后以導(dǎo)數(shù)為工具來研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域),從而達(dá)到證明不等式的目的．二、解題秘籍(一)把證明轉(zhuǎn)化為證明此類問題一般是有最小值且比較容易求,或者有最小值,但無(wú)法具體確定,這種情況下一般是先把的最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的一個(gè)函數(shù),再根據(jù)極值點(diǎn)所在范圍,確定最小值所在范圍【例1】（2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù).(1)求證：當(dāng)時(shí)，；(2)求證：.【解析】（1）證明：因?yàn)?，則，，當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)單調(diào)遞減，則成立；當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在，使得，且?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，而，所以，又因?yàn)椋源嬖?，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以，?duì)任意的時(shí)，成立，綜上，對(duì)任意的恒成立.（2）證明：由（1），對(duì)任意的，，則，即，對(duì)任意的，，所以，，則，所以，從而可得，上述兩個(gè)不等式相加可得，所以，，又由（1），因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且時(shí)，，所以，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，從而有，上述兩個(gè)不等式相加得：，所以，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，對(duì)任意的，，因此，.(二)把證明轉(zhuǎn)化為證明此類問題是證明不等式中最基本的一類問題,把兩個(gè)函數(shù)通過作差轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì),通過函數(shù)性質(zhì)證明該不等式.【例2】（2024屆廣東省河源市高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，，其中.(1)求過點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線方程；(2)①求證：當(dāng)時(shí)，；②若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.【解析】（1），設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為.（2）①令，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，；②，若，，則在上單調(diào)遞增，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，，令，因?yàn)?，，且，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋郧∮幸唤?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的唯一的極大值點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于，即，不妨設(shè)，當(dāng)，，所以，由（1）得，直線與函數(shù)切于原點(diǎn)得：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，結(jié)合①中有，令，即當(dāng)時(shí)，，所以一定存在兩個(gè)不同的根，設(shè)為，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，位于單調(diào)遞減區(qū)間，所以，同理，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?(三)把證明轉(zhuǎn)化為證明有時(shí)候把證明轉(zhuǎn)化為證明后,可能會(huì)出現(xiàn)的導(dǎo)函數(shù)很復(fù)雜,很難根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究的最值,而的最小值及的最大值都比較容易求,可考慮利用證明的方法證明原不等式,但要注意這種方法有局限性,因?yàn)槲幢赜?【例3】（2024屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1）由題意可得.則時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?要證，即證，即證.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故.因?yàn)?，且兩個(gè)最值的取等條件不同，所以，即當(dāng)時(shí)，.(四)把證明轉(zhuǎn)化為證明若直接證明比較困難,有時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)中的常見不等式如構(gòu)造一個(gè)中間函數(shù),或利用不等式的性質(zhì)通過放縮構(gòu)造一個(gè)中間函數(shù),再通過證明來證明原不等式.【例4】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)．(1)求的最大值；(2)證明：當(dāng)時(shí),．【解析】(1)由已知得,,要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,令,得,即,解得,（）,當(dāng)時(shí)滿足題意,此時(shí),在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,故的最在值為.(2)當(dāng)時(shí),要證明,即證明,而,故需要證明.先證：,（）記,,時(shí),,所以在上遞增,,故,即.再證：,（）令,則則,故對(duì)于,都有,因而在,上遞減,對(duì)于,都有,因此對(duì)于,都有.所以成立,即成立,故原不等式成立.(五)改變不等式結(jié)構(gòu),重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式此類問題要先對(duì)待證不等式進(jìn)行重組整合,適當(dāng)變形,找到其等價(jià)的不等式,觀察其結(jié)構(gòu),根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù).常見的變形方法有：=1\*GB3①去分母,把分?jǐn)?shù)不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；=2\*GB3②兩邊取對(duì)數(shù),把指數(shù)型不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)型不等式；=3\*GB3③不等式為類型,且的解集比較容易確定,可考慮兩邊同時(shí)除以；=4\*GB3④不等式中含有,有時(shí)為了一次求導(dǎo)后不再含有對(duì)數(shù)符號(hào),可考慮不等式兩邊同時(shí)除以；=5\*GB3⑤通過換元把復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式.【例5】（2024屆江西省穩(wěn)派上進(jìn)教育高三上學(xué)期8月考試）已知函數(shù)，，，分別為，的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：，有．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故．因?yàn)?，所以．令，則，又，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．又對(duì)任意的，存在，使，所以，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）令，，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．令，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．又，所以．因?yàn)椋?，故，即?六)通過減元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式對(duì)于多變量不等式,一般處理策略為消元或是把一個(gè)看作變量其他看作常量；當(dāng)都不能處理的時(shí)候,通過變形,再換元產(chǎn)生一個(gè)新變量,從而構(gòu)造新變量的函數(shù).【例6】（2024屆江西省宜春市宜豐中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知函數(shù).注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，極值點(diǎn)為，證明：（i）；（ii）.【解析】（1）由，得，令得，令得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）（i），設(shè)，存在唯一且，使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，是極小值點(diǎn).若，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，此時(shí)不存在兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足要求，故要使函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則.于是.（ii）①，②，①-②得，整理得③.下證：.不妨設(shè)，令，則.可化為，即.令，于是在上單調(diào)遞增，又，所以，從而，得.于是③式可化為，得.得證.(七)與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明此類問題一般先由已知條件及導(dǎo)數(shù)得出一個(gè)不等式,再把該不等式中的自變量依次用1,2,3,,n代換,然后用疊加法證明.【例7】（2024屆黑龍江省哈爾濱高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)求證：．【解析】（1）①當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞減，又，只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，令則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，又，，故當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可知：故當(dāng)或時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故，取，則，即，相加可得，，三、典例展示【例1】（2023屆福建省三明市高三三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【解析】（1）定義域?yàn)?，因?yàn)椋?令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）要證明：，只要證明：，只要證明：只要證明：.只要證明：，只要證明：，只要證明：.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.即要證明，即要證明.即證明.因?yàn)?，所以，所以原不等式成?解法二：要證明：，只要證明：.只要證明：只要證明：只要證明：.令，所以所以.因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增.所以，即原不等式成立【例2】（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期8月診斷測(cè)試）已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)證明：【解析】（1），定義域?yàn)椋瑒t，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）要證，即證，令令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明設(shè)，則，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值故式成立，從而成立.【例3】（2024屆湖北省高中名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：；(3)若，求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域是.由，得在上單調(diào)遞減；由，得在上單調(diào)遞增，綜上知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）得在的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?注意到，.不妨設(shè)，則欲證，即證.由于由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞增，故只需證，由已知，即證，也即，方法一：令，.，由，在單調(diào)遞增，得單調(diào)遞增，且.由于，故滿足.由單調(diào)遞增知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)?；設(shè)，，則，單調(diào)遞減，故，即，取，得，即綜上，得，即，得證.方法二：（重新同構(gòu)）令，即，證：，由于，從而.故要證成立，只需在單調(diào)遞增成立即可.，令，，則，在單調(diào)遞減，，，故在單調(diào)遞增成立，原命題成立.方法三：（比值代換）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，則由于，欲證，即證：，即證，可變?yōu)?，由證法二可知成立，從而得證；方法四：（切、割線放縮）1、由于故，即；2、由方法二知，，故，即，故，；由1、2知，故成立，原命題成立.（3）由（2）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故.②當(dāng)時(shí)，由，取，得（）時(shí)，有，即.由在上單調(diào)遞增，故，綜上，得時(shí)，當(dāng)成立.【例4】（2023屆貴州省貴陽(yáng)市2023屆高三333高考備考診斷性聯(lián)考）實(shí)數(shù)，，.(1)討論的單調(diào)性并寫出過程；(2)求證：.【解析】（1）若，令，的定義域?yàn)?.此時(shí)①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)；時(shí)，，在上是減函數(shù)；時(shí)，，在上是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)，時(shí)，，在上是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù).若時(shí)，，時(shí)，，在上是減函數(shù)；時(shí)，，在上是增函數(shù)；若，則的定義域?yàn)?，此時(shí)且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)（2）由（1）得時(shí)，，在上是減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，即，即.令，，求和即得.【例5】（2024屆黑龍江省鶴崗市高三上下學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；(2)已知，，且滿足，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為；（2）由題意知，，由可得，所以，令，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，，又，，所以，，則，①若，則，即，所以；②若，設(shè)，且滿足，如圖所示，

則，所以，下證：．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，，，所以，即，又因?yàn)?，所以，即．由①②可知，得證.四、跟蹤檢測(cè)1.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知函數(shù)，．(1)若，求a；(2)若，的極大值大于b，證明：．【解析】（1），由，即，解得．（2），令，，，，，在恒成立，故在遞增，而，，使得g令，有故時(shí)，時(shí)，時(shí)，故在上遞增，在上遞減，在上遞增，∴極大值由得故則，，．2．（2024屆全國(guó)名校大聯(lián)考高三上學(xué)期第一聯(lián)考）已知函數(shù)（）．(1)若在上恒成立，求a的取值范圍：(2)設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】（1）若在上恒成立，即，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即a的取值范圍是．（2）令，即，令，則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．不妨設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．設(shè)函數(shù)（），則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即．又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以．3．（2024屆山東省青島市高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)）已知，函數(shù).(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：；(3)若為的極值點(diǎn)，點(diǎn)在圓上.求.【解析】（1），，由，得切點(diǎn)為由，有，即在點(diǎn)處的切線斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）證明：因?yàn)?，)，設(shè)函數(shù)，則(，)，所以在上單調(diào)遞增又因?yàn)?，，所以存在，使得，即，，所以，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以令，，則，解得，解得，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，，所以，的圖像在的上方，且與唯一交點(diǎn)為，所以，.（3）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線為圓的切線，由解得切點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，圓在直線的下方又因?yàn)?，且點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)即為切點(diǎn)為，所以，.4．（2024屆湖南省株洲市第二中學(xué)教育集團(tuán)2高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，(1)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；(2)若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.（2）設(shè)，，則，則在上遞增，，即，方程等價(jià)于，，令，原問題等價(jià)于在內(nèi)有零點(diǎn)，由，得，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，，則，即在上單調(diào)遞增，又，，因此在上存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，顯然，，因此在上存在唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，由（1）知，，則，所以在上沒有零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，因此在上有唯一零點(diǎn)，所以的取值范圍是.5．（2024屆遼寧省十校聯(lián)合體高三上學(xué)期八月調(diào)研考試）設(shè)方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)求的取值范圍；(2)請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)問題中任選一個(gè)進(jìn)行作答，注意選的序號(hào)不同，該題得分不同.若選①則該小問滿分4分，若選②則該小問滿分9分.①證明：；②證明：.【解析】（1）由題意設(shè)（），則，，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；又，，，且，當(dāng)趨向于時(shí)，也趨向于，又方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于直線與的函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，即，所以的取值范圍為.（2）選①，證明如下：由（1）得：，則，設(shè)，，則，不妨設(shè)，則（），又，即，故，即，所以，，，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，即，因?yàn)椋瑒t，即，又，則，故.選②，證明如下：由（1）得：，則，設(shè)，，則，不妨設(shè)，則（），又，即，故，即，所以，（），則（），設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，即，因?yàn)?，則，即，又，則，故.所以，則，又因?yàn)椋?，從而，故①，下證，有（），即證時(shí)，，即，即證（），設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以②，又，所以得，設(shè)，（），則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則③，聯(lián)立①②③得：，故.6．（2024屆安徽省江淮十校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則.①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）對(duì)任意的m，，且，令（），因?yàn)椋?，則，所以在單調(diào)遞增，所以，故，所以，故.7．（2024屆內(nèi)蒙古包頭市高三上學(xué)期調(diào)研考試）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求；(2)設(shè)函數(shù)，證明：.【解析】（1）由題意可知，，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故；（2）由（1）得，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈亩x域要求有意義，即，同時(shí)還要求，即要求，所以的定義域?yàn)榍遥C，因?yàn)?，所以需證，即需證，令，則且，則只需證，令，則，令，可得，所以，；，；所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即成立.8．（2024屆北京市景山學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程是.(1)求、的值；(2)求證：；(3)若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1），由切線方程知，即，注意到，解得,.（2）由（1）可知，若要且注意到，所以只需即可，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)得，令得，所以、隨的變化情況如下表：所以有極大值，綜上，結(jié)合分析可知命題得證.（3）由題意分以下三種情形討論：情形一：注