專題9 指數(shù)型函數(shù)取對數(shù)問題（解析版）

專題9指數(shù)型函數(shù)取對數(shù)問題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),在導(dǎo)數(shù)解答題中有些指數(shù)型函數(shù)，直接求導(dǎo)運(yùn)算非常復(fù)雜或不可解，這時常通過取對數(shù)把指數(shù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化對數(shù)型函數(shù)求解，特別是涉及到形如的函數(shù)取對數(shù)可以起到化繁為簡的作用，此外有時取對數(shù)還可以改變式子結(jié)構(gòu)，便于發(fā)現(xiàn)解題思路，故取對數(shù)的方法在解高考導(dǎo)數(shù)題中有時能大顯身手.二、解題秘籍(一)等式兩邊同時取對數(shù)把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運(yùn)算，再構(gòu)造函數(shù)通過兩邊取對數(shù)可把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，這種運(yùn)算法則的改變或能簡化運(yùn)算，或能改變運(yùn)算式子的結(jié)構(gòu)，從而有利于我們尋找解題思路，因此兩邊取對數(shù)成為處理乘方運(yùn)算時常用的一種方法.有時對數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來得方便，對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式問題的常用的有效方法.【例1】（2024屆遼寧省大連市高三上學(xué)期期初考試）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得則，由得，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，時，恒成立，因此當(dāng)時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，又，則有，則，所以.(二)等式或不等式兩邊同時取對數(shù)把乘積運(yùn)算運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，形如或的等式或不等式通過兩邊取對數(shù)，可以把乘積運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，使運(yùn)算降級.【例2】（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，函數(shù)和的圖像共有三個不同的交點(diǎn)，且有極大值1．(1)求a的值以及b的取值范圍；(2)若曲線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為，，，且．證明：．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以?dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，無極大值；當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以為極大值點(diǎn)，所以，解得．因?yàn)?，圖像共有三個不同的交點(diǎn)，所以方程有三個不等正實(shí)根．設(shè)，則，且當(dāng)時，t與x一一對應(yīng)，所以問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有三個不等實(shí)根．又0不滿足方程，所以方程有三個實(shí)根．設(shè)，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點(diǎn)，當(dāng)或時，，，所以在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)，時，，而；當(dāng)時，，無論還是，當(dāng)時，都有，當(dāng)時，．根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)的大致圖像如下圖所示，

所以當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點(diǎn)，故b的取值范圍為．（2）證明：要證，只需證，只需證．設(shè)（1）中方程的三個根分別為，，，且，，，2，3，從而只需證明．又由（1）的討論知，，．下面先證明，設(shè)，則．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，從而當(dāng)，時，．又由（1）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，，令，解得，由得；當(dāng)時，，令，解得，由得；當(dāng)時，，令，解得，由得．綜上，，得證．(三)把比較轉(zhuǎn)化為比較的大小比較兩個指數(shù)式的大小，有時可以通過取對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，如比較的大小，可通過取對數(shù)轉(zhuǎn)化為比較的大小，再轉(zhuǎn)化為比較的大小，然后可以構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性比較大小.【例3】一天，小錘同學(xué)為了比較與的大小，他首先畫出了的函數(shù)圖像，然后取了離1.1很近的數(shù)字1，計(jì)算出了在x=1處的切線方程，利用函數(shù)與切線的圖像關(guān)系進(jìn)行比較.（1）請利用小錘的思路比較與大?。?）現(xiàn)提供以下兩種類型的曲線，試?yán)眯″N同學(xué)的思路選擇合適的曲線，比較的大小.【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，由f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，即，取x=1，得（2）通過取對數(shù)，把比較的大小轉(zhuǎn)化為比較e與3的大小，即比較與大小選，令與公切于e則有，記，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,，下證：只需證只需證而，即選，通過取對數(shù)，把比較的大小轉(zhuǎn)化為比較e與3的大小，即比較與大小，即較與大小令與y=kx+t切于，則有令∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,，當(dāng)取等下證，只需證，.三、典例展示【例1】（2021全國甲卷高考試題）已知且，函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是．【例2】（2023屆新疆高三第三次適應(yīng)性檢測）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）方程，即，等價于，令，其中，則，顯然，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且由時可得在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榉匠逃袃蓚€實(shí)根，所以關(guān)于的方程有兩個實(shí)根，，且，，所以，要證，即證，即證，只需證，因?yàn)?，所以，整理可得，不妨設(shè)，則只需證，即，令，，其中，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．【例3】已知函數(shù)，，．(1)求的極值；(2)若有兩個零點(diǎn)a，b，且，求證：．【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值．(2)令，則．設(shè)，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以，又有兩個零點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．要證，即證，即證．又，則，故即證，即證．設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故得證．【例4】設(shè)函數(shù).(1)設(shè)、且，求證：對任意的、，總有成立；(2)設(shè)，，且，求證：.【解析】（1）證明：.不妨設(shè)，令，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，所以，，即，所以，當(dāng)、且，對任意的、，總有成立.（2）證明：，，且，要證.即證，即，當(dāng)時，由（1）可知，不等式成立，假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，則當(dāng)時，設(shè)，由（1）可得，則，這說明當(dāng)時，結(jié)論也成立，故對任意的，，所以，，因此，，故當(dāng)，，且時，.【例5】已知函數(shù)（1）討論g(x)的單調(diào)性；（2）若，對任意恒成立，求a的最大值；【解析】（1），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）即為，即，設(shè)，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以（兩邊取對數(shù)），即，當(dāng)時，即為，設(shè)，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（e），，即的最大值為．【例6】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【解析】(1)，定義域?yàn)椋?，解得，由，解得，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)∵a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，∴，即，由（1）可知，且，時，，則令，則為的兩根，且，不妨設(shè)，則，先證，即證，即證，令，即證在上，，則，在上單調(diào)遞增，即，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，∴，即可得；再證，即證，由（1）單調(diào)性可得證，令，，在上單調(diào)遞增，∴，且當(dāng)，所以存在使得，即當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又有，且，所以恒成立，∴，則，即可證得．四、跟蹤檢測1.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)有兩個零點(diǎn)；(3)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)（其中），證明：．【解析】(1)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為和；(2)證明：由（1）知，因?yàn)?，所以，又?dāng)時，，，所以函數(shù)在上存在一個零點(diǎn)，在上存在一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)；(3)證明：，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)（其中），所以，，要證等價于證，即證，所以，因?yàn)?，所以，又，，作差得，所以，所以原不等式等價于要證明，即，令，則上不等式等價于要證：，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以．2.形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得，兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得，于是.已知，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求證：恒成立.【解析】（1）由冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式得，所以，又，所以，曲線在處的切線方程為.（2），則，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間.（3）構(gòu)造，，則，令，所以，因?yàn)榕c同號，所以，所以，又，所以，所以即為上增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，?dāng)時，；當(dāng)時，.所以，為上減函數(shù)，為上增函數(shù)，所以，，即，因此，恒成立，即證.3.已知函數(shù)．(1)求的極值點(diǎn)．(2)若有且僅有兩個不相等的實(shí)數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增.所以為的極值點(diǎn).(2)因?yàn)橛星覂H有兩個不相等的實(shí)數(shù)滿足，所以.（i）問題轉(zhuǎn)化為在(0,+∞)內(nèi)有兩個零點(diǎn),則.當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,,單調(diào)遞增.若有兩個零點(diǎn),則必有,解得：.若k≥0,當(dāng)時,,無法保證有兩個零點(diǎn)；若,又,，,故存在使得,存在使得.綜上可知,.（ⅱ）設(shè)則t∈(1,+∞).將代入,可得，（*）.欲證:，需證即證，將（*）代入，則有，則只需要證明：，即.構(gòu)造，則，.令，則.所以，則，所以在內(nèi)單減.又，所以當(dāng)時，有，單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，單調(diào)遞減；所以，因此，即.綜上所述，命題得證.4.已知，.(1)記，討論的單調(diào)區(qū)間；(2)記，若有兩個零點(diǎn)a，b，且.請?jiān)冖佗谥羞x擇一個完成.①求證：；

②求證：【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明：因?yàn)?，令，則，設(shè)（），則，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且時，，當(dāng)時，，，∴，又，則,若證①所證不等式，即，即證，又，則，故即證，即證，

設(shè)，，則，

∴在上單調(diào)遞減，∴，即得證；若證②所證不等式，即，即證，即證，又，即，故即證，即證，

設(shè)，，則，∴在單調(diào)遞減，故，即得證.5．已知，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，求證：.【解析】（1）解：∵，∴時，，∴時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時，，∴時，增區(qū)間為：；時，，，∴時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；（2）因?yàn)闀r，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，則兩個零點(diǎn)必為正實(shí)數(shù)，故問題轉(zhuǎn)化為有兩個正實(shí)數(shù)解；令（）則（），在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且令，，則所以在單調(diào)遞增，又，故，又，所以，又，所以，，又在單調(diào)遞增，所以所以．6.已知函數(shù)存在極大值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.【解析】（1），，令，，此時，在上，遞增；在上，遞減，所以當(dāng)時，取得極大值為符合題意，所以.（2）由（1）知：在上遞增，在上遞減，極大值為.，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.由于函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，所以.因?yàn)椋堑膬蓚€零點(diǎn)，則.所以，，，兩邊取對數(shù)得，要證，只需證明，即證，不妨設(shè)，令，則，即證對恒成立.令，，所以在上遞增，所以，即，所以.從而成立.7.已知函數(shù).（1）若是曲線的切線，求a的值；（2）若有兩不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍；（3）若，且恒成立，求a的取值范圍.【解析】(1)依題意，設(shè)切點(diǎn)為，則，，于是得，則有且，時，，無解，所以；(2)由得，令，則有時時，在上遞增，在上遞減，，又時，恒成立，于是得有兩個不同的零點(diǎn)，等價于直線與函數(shù)圖象有兩個不同的公共點(diǎn)，即，，所以有兩不同的零點(diǎn)，b的取值范圍是；(3)，，令，，令，，即在上遞增，而，即，使得，時，時，，在上遞減，在上遞增，從而有，而，即，令，兩邊取對數(shù)得，則，即有，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而得，于是得，，所以，.8．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，①求的極值；②若對任意的都有，，求的最大值；（2）若函數(shù)有且只有兩個不同的零點(diǎn)，，求證：．【解析】（1）①時，，則，令，解得：，令，解得：，∴在遞減，在,遞增，故的極小值是，沒有極大值；②對任意都有，即恒成立，由，有，故，由①知，在,單調(diào)遞增，故，可得，即，當(dāng)時，的最小值是，故的最大值是；（2）證明：要證，只需證明即可，由題意，、是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，又，∴，消去，整理得：，不妨設(shè)，令，則，故只需證明當(dāng)時，，即證明，設(shè)，則，∴在單調(diào)遞增，從而，故，即得證．9.已知函數(shù)，，．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)有兩個極值點(diǎn)，，證明：．（…為自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】(1)，，①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令解得，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，(2)由題意知，，，是的兩根，即，，解得，要證，即證，即，把（*）式代入得，所以應(yīng)證，令，，即證成立，而，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以命題得證．10.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點(diǎn)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若的兩個零點(diǎn)分別為，證明：．【解析】(1)當(dāng)時，，，又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為．所以切線方程為，即(2)由已知得有兩個不等的正實(shí)跟．所以方程有兩個不等的正實(shí)根，即有兩個不等的正實(shí)根，