上海市四校八大重點高中數(shù)學自招真題匯編（六）

上海市四校八大重點高中數(shù)學自招真題匯編六（華二）四個互不相等的整數(shù)，滿足下列關(guān)系式，則可能有個取值。 解：結(jié)合萬位數(shù)、百位數(shù)、個位數(shù)得：，結(jié)合千位數(shù)、十位數(shù)得：，∵互不相等∴可能取。共個。（上中）設(shè)為整數(shù)且滿足，則代數(shù)式。解：∵為整數(shù)，∴、都是自然數(shù)，∵∴或∴或∴（復(fù)附）已知，為奇質(zhì)數(shù)，求滿足條件的的整數(shù)解。解：∵∴∴∵為整數(shù)，且∴、為整數(shù)，且∴或∴或。（交附）先計算，的結(jié)果，再推導(dǎo)出一般式并證明。解：，∴一般式為：證明：.（建平）如圖，在直角坐標系中，△和△的直角頂點始終在軸的正半軸上，在第一象限內(nèi)，點在直線上方，，，為的中點，與相交于，當點位置變化時，△的面積恒為。試解決下列問題：（1）設(shè)點橫坐標為，請把長表示成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并化簡；（2）等式能否成立？為什么？（3）設(shè)與相交于，當△為直角三角形時，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論。解：∵點橫坐標為，△的面積恒為。∴（）∵，，∴∴，（∵）。（2）若，則點在線段的垂直平分線上易知為線段的垂直平分線∴點在直線上∴∴顯然無解（∵）∴等式不能成立。（也可利用列出關(guān)于的方程解）（3）易知，①若，則，四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴∴∴平行四邊形為菱形；②若，則，，，四邊形為直角梯形；（交附）已知，在△中，，，求△的面積。解：作的平分線，設(shè),則,,易知△∽△∴∴解得：（負值舍）.（即△為黃金三角形）過作于?！唷?，∴.（復(fù)附）若、、為正有理數(shù)，證明：（1）若為有理數(shù)，則、為有理數(shù)。（2）若為有理數(shù)，則、、為有理數(shù)。解：（1）設(shè)(為正有理數(shù))∴∴∴∴，為有理數(shù)（2）設(shè)，則∴∴∴。把看成（1）中的，看成（1）中的，由（1）知為有理數(shù)，為有理數(shù)，為有理數(shù)∵∴為有理數(shù)由（1）知、為有理數(shù)∴、、為有理數(shù)。（上中）解方程組解：∴∴∴或解得：或（上中）（1），求其中任意兩個元素的乘積之和；（2），求其中任意偶數(shù)個元素的乘積之和。解：（1）由公式得：。（2）構(gòu)造多項式表示任意兩個元素的乘積之和，表示任意四個元素的乘積之和，……。當時，當時，∴∴.【備用】已知三個關(guān)于的一元二次方程，，有一個公共實數(shù)根，則解：設(shè)公共根為，則，，∴即∴∴若實數(shù)滿足，，則解：可以看成和是關(guān)于的方程的兩根方程可化簡為：由韋達定理得：