專題06 數(shù)列解答-天津市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題分類匯編

天津市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末分類匯編專題06數(shù)列解答一、解答題1．（2022·天津河?xùn)|·高二期末）已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，．(1)求，的通項公式；(2)任意，，求數(shù)列的前2n項和．2．（2022·天津河?xùn)|·高二期末）已知正項數(shù)列的前項和為，.（1）求、；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.3．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期末）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.(1)求和的通項公式；(2)記的前n項和為，求的最小值；(3)設(shè)求數(shù)列的前2n項和.4．（2022·天津天津·高二期末）已知等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項和，且.(1)求{}和{}的通項公式；(2)設(shè)，記數(shù)列{}的前n項和為.求證：.5．（2022·天津天津·高二期末）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項和為15，且.(1)求{}的通項公式；(2)若，記數(shù)列{}的前n項和為，求.6．（2022·天津南開·高二期末）公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前n項和為，若，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項；(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前n和．7．（2022·天津南開·高二期末）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．8．（2022·天津河西·高二期末）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.9．（2022·天津河北·高二期末）已知數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.10．（2022·天津紅橋·高二期末）等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.11．（2022·天津紅橋·高二期末）等差數(shù)列中，首項，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．12．（2022·天津和平·高二期末）已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項公式為，，求數(shù)列的前項和；(3)若，求數(shù)列的前項和.13．（2022·天津和平·高二期末）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．14．（2022·天津·靜海一中高二期末）已知數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)若數(shù)列，，求前項和.15．（2022·天津·靜海一中高二期末）已知滿足，.(1)求證：是等差數(shù)列，求的通項公式；(2)若，的前項和是，求證：.16．（2022·天津·南開中學(xué)高二期末）已知等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求前項和的最大值17．（2022·天津·南開中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足，，且成等比數(shù)列．（1）求的值和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．18．（2022·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高二期末）已知等比數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，設(shè)（），記數(shù)列的前n項和為，求.參考答案：1．(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)等差等比的基本量運(yùn)算求解即可；（2）分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和即可，奇數(shù)項用乘公比錯位相減，偶數(shù)項用裂項相消求和即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以，數(shù)列滿足，，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，(2)由（1）可知，當(dāng)為奇數(shù)時，，設(shè)，，兩式相減可得：，整理得：，當(dāng)為偶數(shù)時，，設(shè)，所以數(shù)列的前2n項和為2．（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）直接在數(shù)列遞推式中取即可求、（2）在數(shù)列遞推式中將換成，得另一遞推式后作差，整理即可證明數(shù)列是等差數(shù)列【詳解】（1）由已知條件得：.∴.又有，即.解得（舍）或.（2）由得時：，∴，即，∴，∴，∴即，經(jīng)過驗證也成立，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】利用與的關(guān)系，多遞推一次再相減的思想，結(jié)合等差數(shù)列的定義，證明等差數(shù)列.3．(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程求出，從而可求出和的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果，（3）分別由為奇數(shù)和為偶數(shù)求和，然后再相加即可(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因為，，，所以，，解得，，所以，(2)由（1）可得，則，因為函數(shù)在上遞減，在是遞增，又因為，所以當(dāng)時，取得最小值，(3)當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)，有，所以，所以，所以數(shù)列的前2n項和為4．(1)(2)證明見解析【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數(shù)列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論．(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得．，，即，解得，．?dāng)?shù)列的前項和，且，時，，化為：，，數(shù)列是每項都為1的常數(shù)列，，化為．(2)證明：，數(shù)列的前項和為，．5．(1)(2)【分析】（1）設(shè)正項的等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由，結(jié)合乘公比錯位相減求和，即可求解.(1)解：設(shè)正項的等比數(shù)列的公比為，顯然不為1，因為等比數(shù)列前4項和為且，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.(2)解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.6．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合題意，可求得值，根據(jù)成等比數(shù)列，即可求得d值，代入等差數(shù)列通項公式，即可得答案；（2）由（1）可求得，即可得表達(dá)式，根據(jù)裂項相消求和法，即可得答案.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得，又成等比數(shù)列，所以，整理得，因為，所以，所以(2)由（1）可得，則，所以，所以7．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合前n項和公式，即可得答案.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，所以通項公式(2)由（1）可得，，又，所以數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以8．（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出表達(dá)式，解出公比和公差，再根據(jù)等差數(shù)等比列的通項公式的求法求出通項即可；（2）根據(jù)第一問得到前n項和，數(shù)列,分組求和即可.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.9．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，求出是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出的通項公式，求出的公差，進(jìn)而求出的通項公式；（2）分組求和.(1)因為①，所以當(dāng)時，②，①－②得：，即③，令得：，滿足③，綜上：是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，設(shè)的公差為d，則，因為，所以，解得：或0（舍去），所以(2)，則10．（1），（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式得結(jié)果（2）根據(jù)錯誤相減法求數(shù)列的前項和為，注意作差時項符號的變化以及求和時項數(shù)的確定試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.點(diǎn)睛：用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.11．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而得出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消求和法得出前項和為和.(1)因為成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；(2)因為，，，．12．(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)結(jié)合已知條件利用等比數(shù)列定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中條件，求出的通項公式，然后利用錯位相減法求和即可；(3)結(jié)合(1)中條件，求出的通項公式，然后利用裂項相消法求和即可.(1)證明：因為，又，所以為首項是4，公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)可知，，，所以，.則，，以上兩式相減可得，，所以(3)由(1)可知，，，所以，從而，故.13．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式；(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時，取到最小值.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.14．(1)(2)(3)【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得；（3）利用奇偶分組法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得.（1）解：當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差得，可得，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故.（2）解：，所以，，所以，，上述兩個等式作差得，因此，.（3）解：由題意可得，，所以，.15．(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）在等式兩邊同時除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.(1)解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.(2)證明：，所以，.故原不等式得證.16．(1)；(2)證明見解析，10.【分析】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比q，利用給定條件列出方程求出q值即得；(2)將給定等式變形成，再推理計算即可作答.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，依題意，，而，解得，所以數(shù)列的通項公式為；(2)顯然，，由得：，所以數(shù)列是以為首項，公差為-1的等差數(shù)列，其通項為，于是得，由得，而，則數(shù)列前4項都為非負(fù)數(shù)，從第5項起都是負(fù)數(shù)，又，因此數(shù)列前4項和與前3項和相等并且最大，其值為，所以數(shù)列前項和的最大值是10.17．（1）；；（2）．【分析】（1）由于，所以可得，再由成等比數(shù)列，列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求【詳解】解：（1）數(shù)列{an}滿足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數(shù)列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）．故an+2＝an+2，所以n為奇數(shù)時，an＝n，n為偶數(shù)時，an＝n﹣1．所以數(shù)列{an}的通項公式為．（2）由于，所以．所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]．＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以18．（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知建立方程組，求得數(shù)列的首項和公比，從而求得數(shù)列的通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運(yùn)用錯位相減法可求得數(shù)列的