第4章 數(shù)列綜合能力測試 （解析版）

第4章數(shù)列綜合能力測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，，，，則的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【解析】在數(shù)列中，，，，，，．故選：B．2．?dāng)?shù)列{an}：1，，，，…，的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】觀察數(shù)列{an}各項，可寫成：，選項D滿足，選項A中，，選項B中，，選項C中，，均不符合題意．故選：D3．在數(shù)列中，，，，則18是數(shù)列中的（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【解析】由，得是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，令，解得，所以18是數(shù)列中的第5項．故選：C4．設(shè)數(shù)列滿足，，則（

）A．2 B． C． D．-3【答案】C【解析】，，，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，，所以.故選：C5．《九章算術(shù)》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，全書總結(jié)了戰(zhàn)國?秦?漢時期的數(shù)學(xué)成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問各得多少錢？”則第1人比第3人多得錢數(shù)為（

）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢【答案】B【解析】設(shè)從前到后的5個人所得錢數(shù)構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，則有，，故，解得，則，故選：B.6．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，該數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)的公差為，，且，則，，即①，，即，所以②，由①②可得，，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故選：A7．記為等比數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，即，整理得，則，解得，所以.故選：A.8．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，且，所以，即，當(dāng)且時，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則；當(dāng)且時，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則；.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列命題是錯誤的是（

）A．等比數(shù)列的單調(diào)性只與q的正負有關(guān)B．為a，b的等比中項C．等比數(shù)列前n項和為D．如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么，，仍是等差數(shù)列【答案】ABC【解析】對選項A，由知，等比數(shù)列的單調(diào)性不只與的正負有關(guān)，還與首項的符號，以及與1的大小等有關(guān)，A選項錯誤；對選項B，當(dāng)時，滿足，但此時不是a，b的等比中項，B選項錯誤；對選項C，當(dāng)時，公式不成立，C選項錯誤；對選項D，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列是等差數(shù)列，那么，，仍是等差數(shù)列，D選項正確.故選：ABC10．已知等差數(shù)列的公差，則下列四個命題中真命題為（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【解析】對于A，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列，正確；對于B，不妨取，則不是遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，不妨取，則不是遞增數(shù)列，C錯誤；對于D，由于等差數(shù)列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：AD11．已知為各項為正數(shù)的等比數(shù)列，，.記是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公比為2 B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項和為【答案】ABC【解析】對于A：已知數(shù)列為各項為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，解得；故A正確；對于B：由條件得：，所以，故也為等比數(shù)列，且公比為4，故，，所以，故B正確；對于C：由于（常數(shù)），故C正確；對于D:，故，故D錯誤．故選：ABC．12．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．?dāng)?shù)列中最大項為第6項【答案】BCD【解析】對于選項A、C：因為，，則，，又因為，則，解得所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯誤，C正確；對于選項B：因為，所以，故B正確；對于選項D：因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以數(shù)列中最大項為第6項，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和，的通項公式為.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，不適合上式，故的通項公式為，故答案為：14．在數(shù)列中，若，，則的通項公式為.【答案】【解析】在數(shù)列中，，，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以的通項公式為.故答案為：15．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，依次構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為.

【答案】【解析】根據(jù)題意：，，，,利用疊加法：，由，.所以，則.故答案為：16．?dāng)?shù)列的首項，且對任意，恒成立，則．【答案】【解析】依題意可得，得，又，則，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其中，．(1)求數(shù)列的通項公式，并畫出它的圖象．(2)數(shù)列從哪一項開始小于0．(3)求數(shù)列前n項和的最大值，并求出對應(yīng)n的值．【解析】（1）由題意數(shù)列的通項公式為，其函數(shù)圖象如圖所示：（2）由（1）可知，令，解得，所以數(shù)列從第5項開始小于0．（3）由（1）可知，所以其前項和為，而二次函數(shù)的對稱軸為，和它最接近的整數(shù)為4，因此當(dāng)時，數(shù)列前n項和有最大值.18．（12分）數(shù)列的前n項和為，對任意，點在直線上.(1)求.(2)求的最小值及此時n的值.【解析】（1）因為在上，可得，所以，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以.（2）由數(shù)列的通項公式為，令，解得且，即當(dāng)時，；當(dāng)時，；時，，所以當(dāng)或時，的最小值為.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，若．(1)求數(shù)列通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為，當(dāng)時，，所以時，，由①②相減可得，，，當(dāng)時，不相符，故的通項公式為：．（2）因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由（1）中結(jié)論可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而．20．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若．(1)求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）因為，，所以，解得，當(dāng)時，，所以，所以，即．因為也滿足上式，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，所以，所以，①則，②①-②得＝＝，所以．21．（12分）已知正項數(shù)列，對任意，都有為數(shù)列的前項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為，故，故，整理得到，因為，故，故，故為等差數(shù)列，而，故（舍）或，故.（2）由（1）可得，因為是遞增數(shù)列，故，故，整理得到：，故，當(dāng)為正奇數(shù)時，故恒成立，故；當(dāng)為正偶數(shù)時，故恒成立，故；故.22．（12分）數(shù)列滿足為正整數(shù).(1)試確定實數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(2)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，等比數(shù)列的通項公式為，對每個正整數(shù)，在和之間插入個2，得到一個新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項和，試求滿足的所有正整數(shù).【解析】（1）由，得，于是，由，可得，此時，由知：此時數(shù)列為等差數(shù)列