第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合能力測(cè)試（解析版）

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合能力測(cè)試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：D2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所求切線斜率，所求切線方程為：，即.故選：A.3．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】直線的斜率為，由題設(shè)知：在處的切線的斜率為，而，∴，可得.故選：C.4．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系，則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B5．已知函數(shù)，且滿足，，，則（

）A．28 B． C． D．【答案】B【解析】由，知函數(shù)為奇函數(shù)，（提示：的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)）又的定義域R，所以，得．由得，所以，，由，，得，得，所以，于是.故選：B．6．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，.即不等式的解集為.故選：B.7．若函數(shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞增時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因此有，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，顯然無(wú)論取何實(shí)數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C8．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以與互為反函數(shù)，所以，則．由，得，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率，故，顯然，故，所以直線的傾斜角為，故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．設(shè)函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極大值點(diǎn) B．有兩個(gè)極小值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)【答案】BC【解析】根據(jù)題意，可得，于是x1000極小值極大值極小值因此函數(shù)有2個(gè)極小值點(diǎn)，以及1個(gè)極大值點(diǎn)．故選：BC10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減B．的極小值為4C．，都有D．，直線l：與曲線有唯一交點(diǎn)【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，所以A正確，B錯(cuò)誤；由，即，都有，所以C正確；由，可得，則曲線在點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)時(shí)，可得，所以曲線在處的切線方程為，因?yàn)橹本€與切線平行，所以，直線與曲線有唯一交點(diǎn)，所以D正確.故選：ACD.11．下列函數(shù)的圖象可能與直線相切的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線．對(duì)于A，令，解得，滿足條件；對(duì)于B，因?yàn)楹愠闪?，不滿足條件；對(duì)于C，令，解得，滿足條件；對(duì)于D，恒成立，不滿足條件．故選：AC.12．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)無(wú)最大值和最小值D．當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程有且僅有1個(gè)解【答案】ACD【解析】由且，故上，遞增，上，遞減，且極大值，，在內(nèi)趨向于1時(shí)趨向于0且恒負(fù)，則趨向，在上恒成立，趨向于時(shí)趨向于，則趨向3，綜上，圖象如下，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，上不單調(diào)，無(wú)最大值和最小值，或時(shí)，關(guān)于x的方程有且僅有1個(gè)解.故選：ACD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，則的極大值是．【答案】4【解析】定義域?yàn)镽，，由題意得，，解得，故，令，解得，令得，或，單調(diào)遞增，令得，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，極大值為.故答案為：414．已知直線與曲線相切，則.【答案】【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，又易知，點(diǎn)既在直線上又在曲線上，所以，聯(lián)立和，消得到，令，則恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，得到，故答案為：.15．若函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，故，∵在單調(diào)遞減，∴，即在上恒成立，①當(dāng)，即時(shí)，，對(duì)于任意，恒成立；②當(dāng)，則在上恒成立，令，由，得，則，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值為．∴．綜上所述，若在上恒成立，則.故答案為：．16．已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】若時(shí)，時(shí)，，舍去.若時(shí)，令，，，則在上單調(diào)遞增，且①若，即時(shí)，則不等式(式恒成立；②若，即時(shí)，而，令，.當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．【解析】（1），，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無(wú)極大值.18．（12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，曲線在處的切線方程為.（2），①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則(舍)或，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，令，則或(舍)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增19．（12分）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力推廣“毛線玩具”加工產(chǎn)業(yè).某生產(chǎn)合作社組建加工毛線玩具的分廠，需要每年投入固定成本10萬(wàn)元，每加工萬(wàn)件玩具，需要流動(dòng)成本萬(wàn)元.當(dāng)年加工量不足15萬(wàn)件時(shí)，；當(dāng)年加工量不低于15萬(wàn)件時(shí)，.通過(guò)市場(chǎng)分析，加工后的玩具以每件元的價(jià)格，全部由總廠收購(gòu).(1)求年利潤(rùn)關(guān)于年加工量的解析式；（年利潤(rùn)年銷售收入-流動(dòng)成本-年固定成本）(2)當(dāng)年加工量為多少萬(wàn)件時(shí)，該合作社的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（參考數(shù)據(jù):）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以年利潤(rùn)關(guān)于年加工量的解析式為：；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).因?yàn)椋援?dāng)年加工量為18萬(wàn)件時(shí)，該合作社獲得的年利潤(rùn)最大，且最大年利潤(rùn)為156萬(wàn)元.20．（12分）已知，函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．【解析】（1）由題意，，由得，此時(shí)，所以切點(diǎn)為；（2），時(shí)，，在上是增函數(shù)，無(wú)最小值，所以，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值，，，，，遞減，時(shí)，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值為，由題意，，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以，即，是減函數(shù)，又，因此是的唯一零點(diǎn)，所以由得．21．（12分）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減：所以當(dāng)時(shí)，在處取極大值，無(wú)極小值；（2），令，得，令，在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，即與在區(qū)間有2個(gè)交點(diǎn)，，，，當(dāng)，，在上單增，當(dāng)，，在上單減，，的最大值為，，與在區(qū)間有2個(gè)交點(diǎn)，則．22．（12分）已知函數(shù)，，．(1)求的最大值；(2)若對(duì)，總存在使得成立，求的取值范圍.【解析】（1）由已知可得，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一