第01講 7.1.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 （原卷版）

第01講7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念課程標準學習目標①理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應關(guān)系。②掌握實軸、虛軸、模、共軛復數(shù)等概念。③.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法。1..理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應關(guān)系；2.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數(shù)等概念；3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法；知識點01：實數(shù)系（1）實數(shù)系的分類(2)實數(shù)的性質(zhì)①實數(shù)對四則運算是封閉的,即兩個實數(shù)進行四則運算的結(jié)果仍是實數(shù)；②加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律,乘法對加法滿足分配律；③實數(shù)和數(shù)軸上的點可以建立一一對應關(guān)系.知識點02：復數(shù)的概念（1）復數(shù)的引入為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題,設想引入一個新數(shù),使得是方程的解,即使得,并且可與實數(shù)進行四則運算,且原有的加法與乘法的運算律仍成立.所以實數(shù)系經(jīng)過擴充后得到的新數(shù)集是.（2）復數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集.復數(shù)的表示:復數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復數(shù)的實部與虛部.（3）復數(shù)相等在復數(shù)集中任取兩個數(shù)，，（），我們規(guī)定.【即學即練1】（2023下·陜西西安·高一階段練習）（1）若，則實數(shù)的值為多少？（2）若，且，則實數(shù)的值分別為多少？【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）由已知得，解得；（2）由已知得，解得或.知識點03：復數(shù)的分類對于復數(shù)(),當且僅當時,它是實數(shù)；當且僅當時,它是實數(shù)0；當時,它叫做虛數(shù)；當且時,它叫做純虛數(shù).這樣,復數(shù)()可以分類如下:【即學即練2】（2023·全國·高一課堂例題）實數(shù)m取什么值時，復數(shù)是：(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當，即時，復數(shù)z是實數(shù)．（2）當，即時，復數(shù)z是虛數(shù)．（3）當且，即時，復數(shù)z是純虛數(shù)．題型01虛數(shù)單位及其性質(zhì)【典例1】（2023下·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學校考階段練習）.【典例2】（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學?？茧A段練習）．【變式1】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．1 D．【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）計算：(1)；(2)．題型02復數(shù)的基本概念【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）寫出復數(shù)4，，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)．【典例2】（2021·高一課時練習）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，則a的值為（

）A．0 B．－1C． D．【變式1】（2023下·高一課時練習）下列四種說法正確的是（

）A．如果實數(shù)，那么是純虛數(shù)．B．實數(shù)是復數(shù)．C．如果，那么是純虛數(shù)．D．任何數(shù)的偶數(shù)次冪都不小于零．【變式2】（多選）（2023下·黑龍江綏化·高一校考階段練習）下列關(guān)于復數(shù)的說法一定正確的是（

）A．存在x使得小于0 B．存在x使得C．不是實數(shù) D．實部和虛部均為1題型03求復數(shù)的實部與虛部【典例1】（2024上·廣東·高二學業(yè)考試）若復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（

）A．5 B．-5 C．5 D．-5【典例2】（多選）（2023下·福建福州·高一福州黎明中學校考期中）的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中學?？茧A段練習）復數(shù)，則復數(shù)z的虛部是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023上·云南·高二校聯(lián)考期中）已知，，若，則z的虛部是（

）A．-2 B．1 C．-2i D．2i題型04復數(shù)相等的充要條件【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）求適合下列方程的實數(shù)x，y的值：(1)；(2)．【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知，求實數(shù)，的值．【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，，則復數(shù)等于（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）設，，若復數(shù)，求，．題型05復數(shù)的分類【典例1】（2022下·山東青島·高一統(tǒng)考期末）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．－2 C． D．4【典例2】（2023下·上海奉賢·高一校考階段練習）若復數(shù)是實數(shù)，則實數(shù).【典例3】（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）當實數(shù)取什么值時，復數(shù)是下列數(shù)？(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).【變式1】（2022下·天津和平·高一校聯(lián)考期末）若是純虛數(shù)，則實數(shù)的值等于（

）A．0或2 B．2或 C． D．2【變式2】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，寫出關(guān)于復數(shù)的一個正確結(jié)論：.【變式3】（2021下·河南新鄉(xiāng)·高二輝縣市第一高級中學?？茧A段練習）在復平面內(nèi)，復數(shù)(其中)．（1）若復數(shù)為實數(shù)，求的值；（2）若復數(shù)為純虛數(shù)，求的值.題型06復數(shù)中的比較大小【典例1】2．（2022下·高一課時練習）已知，且，則.【典例2】（2022·高一課時練習）設，，且，若，則．【變式1】（2022下·河南洛陽·高二?？茧A段練習）已知，．若，則的值為（

）A．2 B．3 C．2或3 D．不存在【變式2】（2022上·貴州黔東南·高二校聯(lián)考期中）已知，，且，則實數(shù)．A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大學附屬中學?？茧A段練習）復數(shù)的虛部是（

）A．1 B． C．3 D．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？计谥校┤簦瑒t“”是復數(shù)“”為純虛數(shù)的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023下·河南商丘·高一?？茧A段練習）適合的實數(shù)x、y的值為（

）A．且 B．且C．且 D．且4．（2021下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C． D．5．（2023上·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）如果復數(shù)是純虛數(shù)，，是虛數(shù)單位，則（

）A．且 B．C． D．或6．（2022下·上海黃浦·高一上海市大同中學?？计谀┮阎兲摂?shù)，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．07．（2022上·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習）已知，其中，是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則（

）A． B．C． D．8．（2023下·山西陽泉·高一統(tǒng)考期末）已知復數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023下·陜西西安·高一階段練習）對于復數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則為純虛數(shù)B．若，則C．若，則為實數(shù)D．10．（2022·高一課時練習）下列命題不正確的是（

）A．復數(shù)不可能是純虛數(shù)B．若，則復數(shù)為純虛數(shù)C．若是純虛數(shù)，則實數(shù)D．若復數(shù)，則當且僅當時，為虛數(shù)三、填空題11．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，，若為純虛數(shù)，則.12．（2023下·上海寶山·高一上海市行知中學?？茧A段練習）已知復數(shù)，，若，求實數(shù)的取值范圍.四、解答題13．（2023·全國·高一隨堂練習）求適合下列各方程的實數(shù)，的值：(1)；(2)；(3)．1