【壓軸專練】專題04 最短路徑問題?？嫉娜N題型（解析版）-2021-2022學年八上壓軸題攻略

專題04最短路徑問題?？嫉娜N題型類型一、函數中的最值問題（和最小，差最大問題）例1．在平面直角坐標系中，B(2，2)，以OB為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）．（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①見解析；②點C的坐標為(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【詳解】解：（1）①證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在兩種情況：當點D落在第二象限時，如圖1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；當點D落在第一象限時，如圖1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；綜上所述，若△ABD是等腰三角形，點C的坐標為（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如圖2所示：∵△OAB是等邊三角形，ON'⊥AB，FB是OA邊上的中線，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N關于BF對稱，此時OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值為2．【變式訓練1】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點在軸上，點，，，．（1）如圖①，若點為的中點，求的長；（2）如圖②，若點在軸上，且，求的度數；（3）如圖③，設平分交軸于點，點是射線上一動點，點是射線上一動點，的最大值為，判斷是否存在這樣點，，使的值最?。咳舸嬖?，請在答題卷上作出點，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，圖見解析，3【詳解】解：（1），,，又∵點為的中點，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，過點作軸于點，∵,∴是等腰直角三角形，∵,∴，∵,∴,∵,,，，，，，是等腰直角三角形，即，∵,；（3）存在點，；作點O關于BF的對稱點D，過點作軸于點，并與射線交于點，連接,則BF垂直平分OD，∴,,∴,當D，N，M在一條直線上時，m最小，最小值為DN的長度，∵,∴,∴為AB的中點，∵,∴,∴,∴．故的最小值為．【變式訓練2】如圖1，已知直線的同側有兩個點、，在直線上找一點，使點到、兩點的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.（1）如圖2，在平面直角坐標系內，點的坐標為，點的坐標為，動點在軸上，求的最小值；（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為______.【答案】（1）5；（2）；【詳解】解：（1）作點A關于x軸的對稱點，連接，的最小值即為的長，構造以為斜邊的直角三角形，，在中，由勾股定理得，即，所以的最小值為5.（2）作于點H，交AD與點，過點作于點，則的最小值為，平分，，，在中，，，由勾股定理得，，所以的最小值為.類型二、幾何圖形中的最短路徑問題例．已知點在內．（1）如圖1，點關于射線的對稱點是，點關于射線的對稱點是，連接、、.①若，則______；②若，連接，請說明當為多少度時，；（2）如圖2，若，、分別是射線、上的任意一點，當的周長最小時，求的度數．【答案】（1）①100°；②當時，；（2）．【詳解】（1）①∵點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，

∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，

∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案為：100°；②，，、、三點其線，，，當時，；（2）如圖所示：分別作點關于、的對稱點、，連接，、、，交、于點、，則，，此時周長的最小值等于的長.由軸對稱性質可得，，，，，，由軸對稱性質可得，．【變式訓練1】如圖，在中，點、、均在格點上．在所給直角坐標系中解答下列問題：（1）在圖中畫出關于軸對稱的，并寫出的坐標：________________．（2）將平移得使得點的對應點與原點重合，在所給直角坐標系中畫出圖形，求出的面積；（3）在軸上找一點，使得的周長最小，請直接寫出點的坐標．_______________．【答案】（1）畫圖見解析，；（2）畫圖見解析，4；（3）P（-1，0）【詳解】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，A1（2，1），B1（3，4），C1（5，2）；（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求，的面積==4；（3）如圖所示：得△PAB1的周長最小，P（-1，0）．【變式訓練2】如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，BC邊上的中線AD＝8．（1）證明：△ABC為等腰三角形；（2）點H在線段AC上，試求AH＋BH＋CH的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)19.6【詳解】(1)證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=DC=6，∵AB=10，BD=6，AD=8，∴BD2+AD2=62+82=102，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．(2)解：∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10，∴當BH最小時，AH+BH+HC有最小值，由垂線段的性質可知：當BH⊥AC時，BH有最小值，∴，∴，∴BH=9.6，∴AH+BH+HC的最小值為：10+9.6=19.6．類型三、最短路徑問題的實際應用例1．如圖，兩村在一條小河的同一側，要在河邊建水廠向兩村供水．（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應選在哪個位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應選在哪個位置？（3）自來水廠建好后，在招收職工的試卷中有道題“請你在河流上找出一點，使的值最大．”你能找到點嗎？請將上述三點在下列各圖分別標出，并保留尺規(guī)作圖痕跡．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據垂直平分線的性質可得M在AB的垂直平分線和CD的交點處；（2）首先作出A關于河的對稱點A′，再連接A′B，與河的交點就是N位置；（3）根據兩邊之差小于第三邊得到P位于AB與CD交點處時，|PA-PB|最大；【詳解】解：（1）∵自來水廠到兩村的距離相等，即MA=MB，∴M在AB的垂直平分線上，如圖：廠址應該選在M處；（2）由題意可知，若自來水廠到兩村的輸水管用料最省，即AN+BN最小，如圖，A′為點A關于CD的對稱點，連接A′B，與CD交于點N，則廠址應該選在點N處；（3）若最大，根據三角形兩邊之差小于第三邊，如圖，可知P位于AB與CD交點處時，|PA-PB|最大；【變式訓練1】如圖1和圖2，是直線上一動點，兩點在直線的同側，且點所在直線與不平行.（1）當點運動到位置時，距離點最近，在圖1中的直線上畫出點的位置；（2）當點運動到位置時，與點的距離和與點距兩相等，請在圖2中作出位置；（3）在直線上是否存在這樣一點，使得到點的距離與到點的距離之和最小？若存在請在圖3中作出這點，若不存在清說明理由.（要求：不寫作法，請保留作圖痕跡）【答案】（1）如圖所示見解析；（2）如圖所示見解析；（3）如圖所示見解析.【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）如圖所示；【點睛】用到的知識點為：垂線段最短；與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；求一直線同側兩點與直線上一點的距離之和最小，都應從作一點關于直線的對稱點入手思考．【變式訓練2】曲阜限制“三小車輛”出行后，為方便市民出行，準備為、、、四個村建一個公交車站.（1）請問：公交站建在何處才能使它到4個村的距離之和最小，請在圖一中找出點；（2）請問：公交站建在何處才能使它到道路、、的距離相等，請在圖二中找出點并加以說明.【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】解：（1）應建在AC，BD連線的交點P處，如圖一，

理由：如下圖，若不建在P處，建在P1處，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，，即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD，故結論成立應建在P處．

即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD．故結論成立應建在P處．（2）應建在∠ABC與∠DCB角平分線的交