第1章 直線與方程章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第1章直線與方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：斜率與傾斜角的關(guān)系經(jīng)典題型二：直線方程的求法及應(yīng)用經(jīng)典題型三：兩直線的平行與垂直經(jīng)典題型四：兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題經(jīng)典題型五：線段和差最值問(wèn)題經(jīng)典題型六：直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題經(jīng)典題型七：點(diǎn)線對(duì)稱(chēng)、線點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類(lèi)討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：斜率與傾斜角的關(guān)系例1．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．例2．（2023·浙江紹興·高二?？计谥校┤?，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．例3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線的傾斜角范圍是（）A． B．C． D．例4．（2023·廣西貴港·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則（

）A． B．5 C． D．例5．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，，若過(guò)的直線與線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．例6．（2023·廣西南寧·高二南寧市邕寧高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．例7．（2023·山西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（

）

A． B． C． D．例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．例9．（2023·浙江·高二浙江省余姚市第五中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．例10．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或經(jīng)典題型二：直線方程的求法及應(yīng)用例11．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（

），A．條 B．條 C．條 D．無(wú)數(shù)條例12．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與向量平行，則直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．例14．（2023·安徽安慶·高二校考階段練習(xí)）將直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得直線方程是（

）A． B．C． D．例15．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中下列關(guān)于直線的幾何性質(zhì)說(shuō)法中，正確的有幾個(gè)（

）①直線：過(guò)點(diǎn)②直線在軸的截距是2③直線的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限④直線的傾斜角為A．1 B．2 C．3 D．4例16．（2023·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有（

）A．4條 B．2條 C．3條 D．1條例17．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．例18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知三條直線為，則下列結(jié)論中正確的一個(gè)是（

）A．三條直線的傾斜角之和為B．三條直線在y軸上的截距滿足C．三條直線的傾斜角滿足D．三條直線在x軸上的截距之和為．例19．（2023·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知直線：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且的方向向量，則直線的方程為（

）A． B．C． D．例20．（2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)?？计谥校┮阎本€l過(guò)點(diǎn)，且與直線：和：分別交于點(diǎn)A，B．若P為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型三：兩直線的平行與垂直例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）是否存在實(shí)數(shù)，使直線與直線平行？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，用多種方法判斷直線與直線的位置關(guān)系：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．例23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知三條直線，，．(1)若，且過(guò)點(diǎn)，求、的值；(2)若，求、的值．例24．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知點(diǎn)，，，，若，求m的值．例25．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）在菱形ABCD中，對(duì)角線BD與x軸平行，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)．(1)求直線AE的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線．例26．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)為，，，是否存在使為直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．例27．（2023·四川成都·高二?？计谥校┮阎本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)若直線平行于直線，求直線的方程．(2)若直線垂直于直線，求直線的方程．例28．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知直線，互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．或例29．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8例30．（2023·湖南衡陽(yáng)·高二?？计谀┮阎本€與直線，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．5例31．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，是的垂心．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例32．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）使三條直線不能?chē)扇切蔚膶?shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)例33．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若的平分線方程為，則所在的直線方程為．例34．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（

）A． B．C． D．例35．（2023·廣東廣州·高二廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考期末）過(guò)點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或例36．（2023·遼寧大連·高二育明高中?？茧A段練習(xí)）若直線m被兩平行線：與：所截得的線段的長(zhǎng)為，則直線m的傾斜角可以是（

）A． B． C． D．例37．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量的直線方程為（

）A． B．C． D．例38．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．例39．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，稱(chēng)為整點(diǎn)．設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線與直線的交點(diǎn)為整點(diǎn)時(shí)，k的值可以?。?/p>

）個(gè)．A．8個(gè) B．9個(gè) C．7個(gè) D．6個(gè)例40．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若三條直線不能?chē)扇切?，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)例41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．例42．（2023·江西九江·高二永修縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線與的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例43．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）兩條直線和的交點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例44．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．例45．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為.例46．（2023·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是．例47．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的值是.例48．（2023·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)，且橫截距為縱截距的兩倍，則直線l的方程是.（請(qǐng)用直線方程的一般式作答）經(jīng)典題型四：兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題例49．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程為.例50．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則的面積為．例51．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知滿足，則的最小值為例52．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．例53．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為．例54．（2023·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中校考期末）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為．例55．（2023·河南·高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與平行，則，間的距離為.經(jīng)典題型五：線段和差最值問(wèn)題例56．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為.例57．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）的最小值為．例58．（2023·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知，若點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．例59．（2023·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？计谀┮阎?，則的最小值為.例60．（2023·上海徐匯·高二上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，求的最小值是．例61．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．例62．（2023·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線分別交x，軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為.例63．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，則周長(zhǎng)的最小值為.例64．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為.例65．（2023·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)，，直線，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，則的最大值為．例66．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知、，若P是直線上的點(diǎn)，則的最大值為．例67．（2023·高二單元測(cè)試）當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線到直線的距離的最大值是.例68．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值.經(jīng)典題型六：直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題例69．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線的橫截距為m，且在x軸，y軸上的截距之和為4.(1)若直線的斜率為2，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線分別與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.例70．（2023·山西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線：恒過(guò)點(diǎn)，且與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)取得最小值時(shí)，求的面積.例71．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取得最小值時(shí)的直線方程．例72．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．例73．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫(xiě)出直線l的方程；(2)求△AOB面積的最小值；(3)如圖，若點(diǎn)P分向量AB所成的比的值為2，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．例74．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的一般式方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的一般式方程，并求此最小值．例75．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸?軸的正半軸交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若滿足__________.(1)求直線的一般式方程；(2)已知點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求最小值.試從①直線的方向向量為；②直線經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)；③的面積是4，這三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，并解答.注：若選擇兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.例76．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(1)若直線的傾斜角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．例77．（2023·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，求面積的最小值.經(jīng)典題型七：點(diǎn)線對(duì)稱(chēng)、線點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例78．（2023·四川成都·高二成都七中?？计谥校┮阎本€?的方程為?，點(diǎn)?的坐標(biāo)為?.(1)若直線與?關(guān)于點(diǎn)?對(duì)稱(chēng)，求?的方程;(2)若點(diǎn)?與?關(guān)于直線?對(duì)稱(chēng)，求?的坐標(biāo).例79．（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線.求：(1)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線的方程.例80．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，點(diǎn)．(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；(2)求直線，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線的方程．例81．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知不同的兩點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A． B．14 C． D．5例82．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線恒過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．例83．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則l的方程是（

）A． B． C． D．例84．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的方程是（）A． B．C． D．例85．（2023·四川廣安·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．例86．（2023·重慶北碚·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線恒過(guò)的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．例87．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例88．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二儀征中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)、，若、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．3 B．1 C． D．例89．（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．例90．（2023·江西南昌·高二南昌二中階段練習(xí)）已知直線與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，與垂直，則A． B． C． D．2例91．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線：，若直線與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．例92．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類(lèi)討論思想例93．過(guò)定點(diǎn)A的直線與過(guò)定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B．10 C．20 D．例94．已知直線的方程是