數(shù)學(xué)丨天一大聯(lián)考湖南省2025屆高三9月大聯(lián)考暨9月月考數(shù)學(xué)試卷及答案

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.答案C命題意圖本題考查集合的運(yùn)算與不等式的解法.解析因為A∩B=⑦,所以2λ-2>4,解得λ>3,故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(3,+∞).2.答案B命題意圖本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式.解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a2+a10=2a6=24,解得a6=12,故S8=3.答案C命題意圖本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì).解析由題可知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,3)中心對稱,又因為f(1)=4,所以f(3)=2.4.答案A命題意圖本題考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.解析設(shè)l的方程為y=k(x-1),則圓心C(-2,0)到l的距離,故|MN|=2\aFT-5.答案D命題意圖本題考查空間幾何體的表面積與體積.解析設(shè)實(shí)心鐵球的半徑為RCm.由題可知4πR2=36π,解得R=3.設(shè)正四棱臺形狀的實(shí)心鐵錠的高為hCm,6.答案D命題意圖本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象.解析如圖所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為,點(diǎn)N在y=lnx的圖象上,且MNⅡx軸由圖可知點(diǎn)N在M的左側(cè),所以e,所以ey1+y2<—2—7.答案B命題意圖本題考查空間距離的計算.解析由題可知點(diǎn)F在正方形BCC1B1內(nèi)(含邊界).取棱B1C1上靠近點(diǎn)B1的四等分點(diǎn)G,棱CC1上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)H,連接EG,GH,因為EFⅡ平面A1DC1,所以點(diǎn)F在線段GH上(過線段GH且與平面A1DC1平行的截面為如圖所示的平面EGHIJK),觀察可知EG≤EF≤EH,所以EF的取值范圍是[\,\].8.答案A命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).解析令=t,顯然t=在(0,+x)上單調(diào)遞減,且t∈(0,+x),故t>logat,即t>,lna>=,則f’,令f’(t)=0,得t=e,當(dāng)t∈(0,e)時,f’(t)>0,當(dāng)t∈(e,+x)時,f’(t)<0,所以f(t)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,故f(t)max=f,故lna>,解得a>e二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.每小題全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.答案ACD命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).解析對于A,f(x)的最小正周期為故A正確;對于B,當(dāng)x∈(0,時,2x-,當(dāng)2x-,即x=取得最大值1,故B錯誤;對于C,當(dāng)x∈時,2x-,所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故C正確;對于D,當(dāng)x=-時,2x-,所以f(x)的圖象關(guān)于直線對稱,故D正確.10.答案BC命題意圖本題考查直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系.解析對于A,直線BD的方程為x+3,即3x-y+3=0,故A錯誤;對于B,由題易知點(diǎn)C在直線y=3上,且直線y=3與圓M相切于點(diǎn)B,又a≠o,所以點(diǎn)C恒在圓M外,故B正確;對于C,結(jié)合圖可知,若圓M與圓N的半徑相等,則四邊形ABCD為平行四邊形,所以C(-2,3),故C正確;對于D,若a=1,則C(1,3),可知圓N的圓心一定在線段BC的垂直平分線上,即在直線x=上,故D錯誤.11.答案BCD命題意圖本題考查立體幾何綜合問題.解析對于A,設(shè)圓錐SO的底面半徑為r,母線長為l,高為h,由題可知解得r=1,l=3,故h=,故A錯誤;對于B,將圓錐SO沿著平面SMN切開后將側(cè)面展開,易得側(cè)面扇形中的△SMN為等邊三角形,故最短路徑為,故B正確;對于C,設(shè)該球的半徑為ro,則ro也為圓錐SO的軸截面△SMN的內(nèi)切圓半徑,由題可得×2×2\,解得ro=\,故C正確;對于D,由題可知,點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)M為圓心,1為半徑的一段圓弧,如圖,設(shè)該圓弧與底面圓O交于E,F兩點(diǎn),易知△OEM與△OFM均為等邊三角形,所以匕EMF=2π所以弧EF的長度為2π故D正確.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.答案-3命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義.解析由題可知,所以=2,解得a=-3.命題意圖本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及三角恒等變換.解析由已知得tanβ-tanα=則—4— 命題意圖本題考查平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用、圓的方程及其應(yīng)用.故可設(shè)=(-2\,2).設(shè)C(x,y),則(w-).(-w)=(x-2\5,y).(x+2\廳,y-2)=x2+y2-2y-12=3,即點(diǎn)C在圓E:x2+(y-1)2=16上運(yùn)動.易知點(diǎn)A在圓E內(nèi),且|AE|=\,故|A—≤4+\13,則實(shí)數(shù)λ的最小值為4+\13.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.命題意圖本題考查解三角形及三角恒等變換.解析(I)由已知得(a+b+C)(由余弦定理可得cOsC=.………因為C<A<所以由(I)可知<A<,則的取值范圍是(\,2).……………(13分)16.命題意圖本題考查空間線面位置關(guān)系及利用空間向量求二面角的正弦值.解析(I)如圖,取棱AB的中點(diǎn)N,連接A1N,MN,B1N.則MNⅡACⅡA1C1,所以點(diǎn)N在平面A1MC1內(nèi).……………(2分)由已知可得A1B1ⅡAN,A1B1=AN=AA1,且AA1丄AN,所以四邊形A1B1NA是正方形,—5—因為AB1丄AC,所以AB1丄A1C1.……………(4分)又因為A1C1∩A1N=A1,且A1C1,A1NC平面A1MC1,所以AB1丄平面A1MC1.…………(Ⅱ)由題意知AC丄AB1,AC丄AA1,AA1∩AB1=A,所以AC丄平面AA1B1B,所以AC丄AB.……………………(7分)故以A為原點(diǎn),AC,AB,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖.不妨設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),C1(1,0,1),B1(0,1,1),設(shè)n=(x,y,z)為平面BMC1的法向量,—-y,由(I)知平面A1MC1的一個法向量為A—=(0,1,1).…………………(12分)—\n.A==,\n.A==,|n-||A—|\所以二面角A1-MC1-B的正弦值為\.…………………(15分)17.命題意圖本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及定點(diǎn)問題.因為ADⅡx軸,所以A,D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,設(shè)為t.(\\\\(, (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).當(dāng)l1與l2的斜率都存在時,設(shè)直線l1:x=my+1(m≠0),與+=1聯(lián)立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,同理,用-替換m,可得N,.…………當(dāng)m=±1時,M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為,故直線MN過點(diǎn)P,0).此時直線MN過點(diǎn)P,0).……………當(dāng)l1或l2與x軸重合時,MN也與x軸重合,此時直線MN也經(jīng)過點(diǎn)P,0),綜上可知,直線MN過定點(diǎn)P片,0).……………………(15分)18.命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).解析(I)由題意知f(x)=2ex-x2,則f’(x)=2ex-2x,………………(1分)所以f’(0)=2,又f(0)=2,…………………(2分)所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x+2.……………(5分)(Ⅱ)(i)g(x)=2ex-(m-x2-x2lnx-2x,則g’(x)=2ex-2mx-2xlnx-2.……(6分)當(dāng)x∈(0,1)時,h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,由g(x)有兩個極值點(diǎn),可得方程g’(x)=0有兩個實(shí)根,即h(x)=m有兩個實(shí)根,則m>e-1.(i)由題意知a,b是方程g’(x)=0的兩個實(shí)根,即h(a)=h(b)=m,且0<a<1<b.………………(12分)則F’(x)=h’(x)-h’-=,……………故m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故m(x)>m(1)=0,故當(dāng)x∈(1,+∞)時,F’(x)>0,……………故F(14分)—7—由(i)可知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,故0<a<<1,則ab<1.……(17分)19.命題意圖本題考查數(shù)列的通項公式及求和公式,以及古典概型的概率計算.解析(I)解方程x2-4x+3=0,得x=1或3,所以...................................................................(2分)=an(a-b)+bn(b-a)=(a-b)(an-bn),………(7分)n(Ⅲ)由題知(P,Q)一共有