三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)歸納

第三章三角恒等變換兩角和及差的正弦、余弦和正切公式=1\*2⑴；=2\*2⑵；=3\*2⑶；=4\*2⑷；=5\*2⑸〔〕；=6\*2⑹〔〕．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*2⑴．=2\*2⑵升冪公式降冪公式，．26、27、〔后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用〕28、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方〞的形式。，其中．29、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：〔1〕角的變換：在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角及角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件及結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲解，對(duì)角的變形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；問(wèn)：；；⑤；等等〔2〕函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是根底，通?；袨橄?，變異名為同名?！?〕常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1〞的代換變形有：〔4〕冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有：；。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無(wú)理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；〔5〕公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：；；=；〔其中；〕〔6〕三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪〞四方面入手；根本規(guī)則是：見(jiàn)切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，特殊值及特殊角的三角函數(shù)互化。如：；根底練習(xí)一選擇題1．且為銳角，則的值是〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.2．設(shè)則的范圍是〔〕A．B.C.D、3．〔〕A．B、C.D.，假設(shè)，則〔〕A.B.C.D.5.設(shè)，則的值是〔〕A.B.C.D.6.在中，則的值是〔〕A.B.C.或D.7.則的值等于〔〕A.B.C.D.8.使函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)的的一個(gè)值為〔〕Ａ.Ｂ.ＣＤ9.是第三象限角，且滿足，則的值等于〔〕ＡＢＣＤ10.則等于〔〕ＡＢＣＤ11.假設(shè)則的終邊在〔〕12.，則等于〔〕A.B.C.D.13函數(shù)有〔〕A.最大值0，最小值B.最大值5，最小值C.最大值5，最小值，最小值14.函數(shù)的最大值為〔〕A.B.C.D.15.函數(shù)的最大值是〔〕A．B.C.D.16.函數(shù)y＝4x＋2x的最小正周期為〔〕A．B．C．D．217.的值是〔〕A.B.C.D.18.假設(shè)則的值為〔〕A.B.C.D.19.中，假設(shè)，則一定是〔〕20.函數(shù)的最小正周期為〔〕A.B.C.D.二填空題1.則2.函數(shù)的最大值等于3.則4.假設(shè)則的取值范圍是5.函數(shù)的最小正周期是6.在中，，則7.在三角形中，假設(shè)則=則9.則10.在中，則11.函數(shù)的最小正周期是12.，則13.．14.在中，則的值為．15.函數(shù)〔為銳角〕的值域是．16.假設(shè)，且則．17.化簡(jiǎn)18.在中，，則的形狀是19.設(shè)，假設(shè)且，則的范圍是20.假設(shè)的值域是，則此函數(shù)的表達(dá)式是三解答題1.，求的值．2.且求的值．3.．〔1〕化簡(jiǎn)；〔2〕求使的最小正角．4.某工人要從一塊圓心角為，半徑為的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面積．高考試題庫(kù)w。*高考試題庫(kù)高考試題庫(kù)w。*高考試題庫(kù)5.．〔1〕求的值；〔2〕求的值．6.求的值．7.求證：8.求證：．高考試題庫(kù)w。*高考試題庫(kù)高考試題庫(kù)w。*高考試題庫(kù)求的值．中，求證：高考試題庫(kù)w。*高考試題庫(kù)高考試題庫(kù)強(qiáng)化練習(xí)一選擇題1．45°·15°＋45°·15°＝()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(\r(3),3)\r(3)[答案]B[解析]45°·15°＋45°·15°＝(45°－15°)＝30°＝\f(\r(3),2).2．\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)－α))等于()\f(1,2)－α\f(1,2)α\f(1,2)α＋\f(\r(3),2)α\f(1,2)α－\f(\r(3),2)α[答案]C[解析]\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)－α))＝\f(π,3)α＋\f(π,3)α＝\f(1,2)α＋\f(\r(3),2)α.3．165°等于()\f(1,2)\f(\r(3),2)C．－\f(\r(6)＋\r(2),4) D．－\f(\r(6)－\r(2),4)[答案]C[解析]165°＝(180°－15°)＝－(45°－30°)＝－(45°30°＋45°30°)＝－\f(\r(6)＋\r(2),4).4．滿足αβ＝\f(\r(3),2)－αβ的一組α，β的值是()A．α＝\f(13,12)π，β＝\f(3π,4) B．α＝\f(π,2)，β＝\f(π,3)C．α＝\f(π,2)，β＝\f(π,6) D．α＝\f(π,3)，β＝\f(π,4)[答案]B[解析]由條件αβ＝\f(\r(3),2)－αβ得αβ＋αβ＝\f(\r(3),2)，即(α－β)＝\f(\r(3),2)，α＝\f(π,2)，β＝\f(π,3)滿足條件．5．39°9°＋39°9°等于()\f(1,2)\f(\r(3),2)C．－\f(1,2) D．－\f(\r(3),2)[答案]B[解析]39°9°＋39°9°＝(39°－9°)＝30°＝\f(\r(3),2).6．555°的值為()\f(\r(6)＋\r(2),4) B．－\f(\r(6)＋\r(2),4)\f(\r(6)－\r(2),2)\f(\r(2)－\r(6),4)[答案]B[解析]555°＝(360°＋195°)＝(180°＋15°)＝－15°＝－(45°－30°)＝－(45°30°＋45°30°)＝－\f(\r(6)＋\r(2),4).7．(福建高考)計(jì)算43°13°－43°13°的結(jié)果等于()\f(1,2)\f(\r(3),3)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)[答案]A[解析]∵43°13°－43°13°＝(43°－13°)＝30°＝\f(1,2).∴選A.8．(新課標(biāo)高考)假設(shè)α＝－\f(4,5)，α是第三象限的角，則(α＋\f(π,4))等于()A．－\f(7\r(2),10)\f(7\r(2),10)C．－\f(\r(2),10)\f(\r(2),10)[答案]A[解析](α＋\f(π,4))＝\f(1,\r(2))(α＋α)＝\f(1,\r(2))(－\f(4,5)－\f(3,5))＝－\f(7\r(2),10).9．在△中，<，則△是()A．直角三角形 B．鈍角三角形C．銳角三角形 D．等腰三角形[答案]B[解析]由題意，得－>0，則(A＋B)>0，所以(π－C)>0，即<0，所以∠C是鈍角．10．(2021～2021·杭州高一檢測(cè))以下命題中不正確的選項(xiàng)是()A．存在這樣的α和β的值，使得(α＋β)＝αβ＋αβB．不存在無(wú)窮多個(gè)α和β的值，使得(α＋β)＝αβ＋αβC．對(duì)于任意的α和β，都有(α＋β)＝αβ－αβD．不存在這樣的α和β的值，使得(α＋β)≠αβ－αβ[答案]B[解析]假設(shè)α或β有一個(gè)為0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)則有(α＋β)＝αβ，故A、C、D正確，選B.11．以下等式成立的是()A．80°20°－80°20°＝\f(1,2)B．13°17°－13°17°＝\f(1,2)C．70°25°＋25°20°＝\f(\r(2),2)D．140°20°＋50°20°＝\f(\r(3),2)[答案]D12．\f(5π,12)的值等于()\f(\r(6)＋\r(2),2)\f(\r(2),2)\f(\r(6)－\r(2),4)\f(\r(3)＋\r(2),4)[答案]C[解析]\f(5π,12)＝－\f(7π,12)＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,3)\f(π,4)－\f(π,3)·\f(π,4)))＝－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)－\f(\r(3),2)·\f(\r(2),2)))＝\f(\r(6)－\r(2),4).13．α＝4，(π－β)＝－3，則(α＋β)＝()\f(7,11) B．－\f(7,11)\f(7,13) D．－\f(7,13)[答案]B[解析]由得α＝4，β＝3，∴(α＋β)＝\f(α＋β,1－αβ)＝\f(3＋4,1－3×4)＝－\f(7,11).14．20°＋40°＋\r(3)20°40°的值為()A．－\r(3)\r(3)C．3\f(\r(3),3)[答案]B[解析]原式＝(20°＋40°)(1－20°40°)＋\r(3)20°40°＝\r(3)(1－20°40°)＋\r(3)20°40°＝\r(3).15\f(1＋15°,1－15°)的值為()\r(2) B．－\r(2)\r(3) D．－\r(3)[答案]C[解析]\f(1＋15°,1－15°)＝\f(45°＋15°,1－45°·15°)＝(45°＋15°)＝60°＝\r(3).16．α為銳角，且(α＋β)＝3，(α－β)＝2，則角α等于()\f(π,8)\f(π,4)\f(3,8)π\(zhòng)f(π,2)[答案]C[解析]∵2α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝\f((α＋β)＋(α－β),1－(α＋β)(α－β))＝\f(3＋2,1－3×2)＝－1，∴2α＝－\f(π,4)＋kπ(k∈Z)，∴α＝－\f(π,8)＋\f(kπ,2)(k∈Z)．又∵α為銳角，∴α＝\f(π,2)－\f(π,8)＝\f(3π,8).17．(2021·全國(guó)高考重慶卷)設(shè)α、β是方程x2－3x＋2＝0的兩個(gè)根，則(α＋β)的值為()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]A[解析]α＋β＝3，αβ＝2，則(α＋β)＝\f(α＋β,1－αβ)＝\f(3,1－2)＝－318．假設(shè)α、β∈(0，\f(π,2))且α＝\f(1,2)，β＝\f(1,3)，則(α－β)()A．－\f(1,7) B．1\f(1,7)\f(1,5)[答案]C[解析](α－β)＝\f(α－β,1＋αβ)＝\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝\f(1,7).19．\f(α,2)＝\f(1,3)，則α的值為()\f(2,9) B．－\f(7,9)C．－\f(2,9)\f(7,9)[答案]D[解析]∵\(yùn)f(α,2)＝\f(1,3)，∴α＝1－22\f(α,2)＝1－2×(\f(1,3))2＝\f(7,9).20．假設(shè)α＝\f(2,3)，且α∈(0，π)，則\f(α,2)＋\f(α,2)的值為()\f(5,6)\f(\r(30)＋\r(6),6)\f(6,5)\f(\r(30)＋\r(6),5)[答案]B[解析]∵α＝\f(2,3)，且α∈(0，π)，∴\f(α,2)∈(0，\f(π,2))．∴\f(α,2)＝\r(\f(1＋α,2))＝\r(\f(1＋\f(2,3),2))＝\r(\f(5,6))＝\f(\r(30),6).\f(α,2)＝\r(\f(1－α,2))＝\r(\f(1－\f(2,3),2))＝\f(\r(6),6)∴\f(α,2)＋\f(α,2)＝\f(\r(30),6)＋\f(\r(6),6)＝\f(\r(30)＋\r(6),6).21．設(shè)5π<θ<6π，\f(θ,2)＝a，則\f(θ,4)等于()A．－\f(\r(1＋a),2) B．－\f(\r(1－a),2)C．－\r(\f(1＋a,2)) D．－\r(\f(1－a,2))[答案]D[解析]假設(shè)5π<θ<6π，則\f(5π,4)<\f(θ,4)<\f(3π,2)，則\f(θ,4)＝－\r(\f(1－\f(θ,2),2))＝－\r(\f(1－a,2)).22．y＝＋2x可化為()\f(\r(2),2)\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))＋\f(1,2)\r(2)\b\\(\\)(\a\4\\1(2x＋\f(π,4)))－\f(1,2)C．\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))＋\f(1,2) D．2\b\\(\\)(\a\4\\1(2x＋\f(3π,4)))＋1[答案]A[解析]y＝\f(1,2)2x＋\f(1－2x,2)＝\f(1,2)2x－\f(1,2)2x＋\f(1,2)＝\f(\r(2),2)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),2)2x－\f(\r(2),2)2x))＋\f(1,2)＝\f(\r(2),2)\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,4)))＋\f(1,2).23．設(shè)－3π<α<－\f(5π,2)，則化簡(jiǎn)\r(\f(1－(α－π),2))的結(jié)果是()A．\f(α,2) B．\f(α,2)C．－\f(α,2) D．－\f(α,2)[答案]C[解析]∵－3π<α<－\f(5,2)π，∴－\f(3,2)π<\f(α,2)<－\f(5,4)π，∴\f(α,2)<0，∴原式＝\r(\f(1＋α,2))＝\f(α,2)|＝－\f(α,2).24．α＝－\f(1,5)，\f(π,2)<α<π，則\f(α,2)等于()A．－\f(\r(10),5)\f(\r(10),5)C．－\f(\r(15),5)\f(\r(15),5)[答案]D[解析]∵\(yùn)f(π,2)<α<π，∴\f(π,2)<\f(α,2)<\f(π,2)，則\f(α,2)＝\r(\f(1－α,2))＝\f(\r(15),5).25．函數(shù)y＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))－2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))是()A．周期為π的奇函數(shù)B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù)D．周期為2π的偶函數(shù)[答案]A[解析]y＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))－2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))＝2\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(π,4)))＝－2x，周期T＝\f(2π,2)＝π.26．函數(shù)f(x)＝＋的最大值是()\f(1,2)\r(2)\f(\r(2),2)D．2[答案]B[解析]∵f(x)＝＋＝\r(2)(x＋\f(π,4))，∴當(dāng)x＝2kπ＋\f(π,4)(k∈Z)時(shí)，取得最大值為\r(2).27．函數(shù)f(x)＝＋的最小正周期是()\f(π,4)\f(π,2)C．π D．2π[答案]C[解析]∵f(x)＝＋，∴f(x)＝\r(2)(x＋\f(π,4))|.∵f(x＋π)＝\r(2)(x＋π＋\f(π,4))|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期為π.28．化簡(jiǎn)\f(22α,1＋2α)·\f(2α2α)的結(jié)果為()A．α B．2αC．1\f(1,2)[答案]B[解析]原式＝\f(22α,22α)·\f(2α2α)＝2α.29．\f(α,2)＝3，則α－α＝()\f(4,5) B．－\f(4,5)\f(7,5) D．－\f(7,5)[答案]D[解析]∵\(yùn)f(α,2)＝3，∴2\f(α,2)＝\f(1－α,1＋α)＝9，∴α＝－\f(4,5).∵\(yùn)f(α,2)＝\f(α,1＋α)，∴α＝3×(\f(1,5))＝\f(3,5)，∴α－α＝－\f(4,5)－\f(3,5)＝－\f(7,5).30．(2021·江西文)假設(shè)\f(α,2)＝\f(\r(3),3)，則α＝()A．－\f(2,3) B．－\f(1,3)\f(1,3)\f(2,3)[答案]C[解析]此題考察了余弦的二倍角公式．因?yàn)閈f(α,2)＝\f(\r(3),3)，所以α＝1－22\f(α,2)＝1－2(\f(\r(3),3))2＝\f(1,3).31．以下各式中，值為\f(1,2)的是()A．15°15° B．22\f(π,12)－1\r(\f(1＋30°,2))\f(22.5°,1－222.5°)[答案]D[解析]15°15°＝\f(1,2)30°＝\f(1,4)；22\f(π,12)－1＝\f(π,6)＝\f(\r(3),2)，\r(\f(1＋30°,2))＝15°≠\f(1,2)，\f(22.5°,1－222.5°)＝\f(1,2)45°＝\f(1,2)，∴選D.32．2α＝\f(1,4)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則α－α的值是()A．－\f(\r(3),2)\f(3,4)\f(\r(3),2) D．－\f(\r(3),4)[答案]A[解析]∵α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴α>α.又∵(α－α)2＝1－2α＝1－\f(1,4)＝\f(3,4)，∴α－α＝－\f(\r(3),2).33．(2021·全國(guó)高考全國(guó)卷)α為第二象限角，α＋α＝\f(\r(3),3)，則2α＝()A．－\f(\r(5),3) B．－\f(\r(5),9)\f(\r(5),9)\f(\r(5),3)[答案]A[解析]α＋α＝\f(\r(3),3)，兩邊平方可得1＋2α＝\f(1,3)?2α＝－\f(2,3)α是第二象限角，因此α>0，α<0，所以α－α＝－\r((α－α)2)＝－\r(1＋\f(2,3))＝－\f(\r(15),3)∴2α＝2α－2α＝(α＋α)(α－α)＝－\f(\r(5),3)34．假設(shè)α∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，則\r(1＋α)＋\r(1－α)的值為()A．2\f(α,2) B．－2\f(α,2)C．2\f(α,2) D．－2\f(α,2)[答案]D[解析]∵α∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，∴\f(α,2)∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，∴原式＝\b\\|\\|(\a\4\\1(\f(α,2)＋\f(α,2)))＋\b\\|\\|(\a\4\\1(\f(α,2)－\f(α,2)))＝－\f(α,2)－\f(α,2)－\f(α,2)＋\f(α,2)＝－2\f(α,2).35．對(duì)于函數(shù)f(x)＝2，以下選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是()A．f(x)在(\f(π,4)，\f(π,2))上是遞增的B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．f(x)的最小正周期為2πD．f(x)的最大值為2[答案]B[解析]因?yàn)閒(x)＝2＝2x，所以f(x)是奇函數(shù)，因而f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，應(yīng)選B.36\f(1,2)－215°的值是()\f(\r(6),4)\f(\r(6)－\r(2),4)\f(\r(3),2)\f(\r(3),4)[答案]D[解析]原式＝\f(1,2)－\f(1－(2×15°),2)＝\f(30°,2)＝\f(\r(3),4).二填空題1．(α－β)α＋(α－β)α＝.[答案]β[解析]原式＝[(α－β)－α]＝(－β)＝β2．θ＝\f(1,5)，θ∈(\f(π,2)，π)，則(θ－\f(π,3))的值為．[答案]\f(\r(3)－2\r(6),10)[解析]∵θ＝\f(1,5)，θ∈(\f(π,2)，π)，∴θ＝－\r(1－2θ)＝－\r(1－\f(1,25))＝－\f(2\r(6),5)，∴(θ－\f(π,3))＝θ\f(π,3)＋θ\f(π,3)＝－\f(2\r(6),5)×\f(1,2)＋\f(1,5)×\f(\r(3),2)＝\f(\r(3)－2\r(6),10).3．15°＝.[答案]\f(\r(6)－\r(2),4)[解析]∵15°＝(45°－30°)＝45°·30°－45°·30°＝\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)－\f(\r(2),2)×\f(1,2)＝\f(\r(6),4)－\f(\r(2),4)＝\f(\r(6)－\r(2),4).4．(α－β)α－(α－β)α＝m，且β為第三象限角，則β＝.[答案]－\r(1－m2)[解析]由(α－β)α－(α－β)α＝m，得(－β)＝m，即β＝－m，又β為第三象限角，β＝－\r(1－2β)＝－\r(1－(－m)2)＝－\r(1－m2)5．假設(shè)α＝2，(β－α)＝3，則(β－2α)的值為．[答案]\f(1,7)[解析](β－2α)＝[(β－α)－α]＝\f((β－α)－α,1＋(β－α)·α)＝\f(3－2,1＋3×2)＝\f(1,7).6．70°＋50°－\r(3)50°70°＝.[答案]－\r(3)[解析]∵70°＋50°＝120°(1－50°·70°)＝－\r(3)＋\r(3)50°·70°∴原式＝－\r(3)＋\r(3)50°·70°－\r(3)50°·70°＝－\r(3).7．θ＝\f(4,5)，θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，則\f(θ,2)＝.[答案]\f(\r(5),5)[解析]∵θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，∴\f(θ,2)∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)，\f(π,2))).∴θ＝－\r(1－2θ)＝－\f(3,5).∴\f(θ,2)＝\r(\f(1＋θ,2))＝\f(\r(5),5).8．假設(shè)α－β＝\f(π,4)，則αβ的最大值為．[答案]\f(2＋\r(2),4)[解析]α＝β＋\f(π,4)，則αβ＝(β＋\f(π,4))β＝－\f(1,2)[(2β＋\f(π,4))－\f(π,4)]＝－\f(1,2)(2β＋\f(π,4))＋\f(\r(2),4)∴最大值為\f(2＋\r(2),4).9．函數(shù)f(x)＝－的遞增區(qū)間是．[答案][2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(3,4)π](k∈Z)[解析]∵f(x)＝－＝\r(2)(x－\f(π,4))，∴2kπ－\f(π,2)≤x－\f(π,4)≤2kπ＋\f(π,2)，即2kπ－\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)(k∈Z)10．函數(shù)f(x)＝\r(3)ωωx－2ωx(ω>0)的周期為\f(π,2)，則ω＝.[答案]2[解析]f(x)＝\f(\r(3),2)2ωx－\f(1＋2ωx,2)＝\f(\r(3),2)2ωx－\f(1,2)2ωx－\f(1,2)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2ωx－\f(π,6)))－\f(1,2)，則有\(zhòng)f(2π,2ω)＝\f(π,2)，∴ω＝2.11．α＝\f(4,5)，則2α＝.[答案]\f(7,25)[解析]∵α＝\f(4,5)，∴2α＝22α－1＝2×(\f(4,5))2－1＝\f(7,25).12\f(3\f(π,8),1－2\f(π,8))＝.[答案]\f(3,2)[解析]原式＝\f(3,2)×\f(2\f(π,8),1－2\f(π,8))＝\f(3,2)(2×\f(π,8))＝\f(3,2)\f(π,4)＝\f(3,2).三解答題1．設(shè)α∈(0，\f(π,2))，假設(shè)α＝\f(3,5)，求\r(2)(α－\f(π,4))的值．[解析]∵α∈(0，\f(π,2))，α＝\f(3,5)，∴α＝\f(4,5)，∴\r(2)(α－\f(π,4))＝\r(2)(α\f(π,4)＋α\f(π,4))＝α＋α＝\f(4,5)＋\f(3,5)＝\f(7,5).2．\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))＝\f(4,5)，且\f(π,4)<α<\f(3π,4)，求α的值．[解析]∵\(yùn)b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))＝\f(4,5)，且\f(π,4)<α<\f(3π,4)，∴\f(π,2)<α＋\f(π,4)<π.∴\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))＝－\r(1－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(4,5)))2)＝－\f(3,5).∴α＝\b\\[\\](\a\4\\1(\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))\f(π,4)＋\b\\(\\)(\a\4\\1(α＋\f(π,4)))\f(π,4)＝－\f(3,5)×\f(\r(2),2)＋\f(4,5)×\f(\r(2),2)＝\f(\r(2),10).3．化簡(jiǎn)求值(1)44°14°－44°14°；(2)(54°－x)(36°＋x)＋(54°－x)(36°＋x)[解析](1)原式＝(14°－44°)＝(－30°)＝－\f(1,2)；(2)原式＝[(54°－x)＋(36°＋x)]＝90°＝1.4．θ＝－\f(12,13)，θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(π，\f(3π,2)))，求\b\\(\\)(\a\4\\1(θ＋\f(π,4)))的值．[解析]θ＝－\f(12,13)，θ∈\b\\(\\)(\a\4\\1(π，\f(3π,2)))，∴θ＝－\f(5,13)，∴\b\\(\\)(\a\4\\1(θ＋\f(π,4)))＝θ·\f(π,4)－θ·\f(π,4)＝－\f(12,13)×\f(\r(2),2)－\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(5,13)))×\f(\r(2),2)＝－\f(7\r(2),26).5．α＝－\f(3\r(10),10)且α是第三象限角，求(α－\f(π,4))的值．[解析]∵α＝－\f(3\r(10),10)且α是第三象限角，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－(－\f(3\r(10),10))2)＝－\f(\r(10),10).∴α＝\f(αα)＝3.∴(α－\f(π,4))＝\f(α－\f(π,4),1＋α·\f(π,4))＝\f(3－1,1＋3×1)＝\f(1,2).6．(α－β)＝\f(1,2)，β＝－\f(1,7)，且α、β∈(0，π)．(1)求α的值；(2)求2α－β的值．[解析](1)α＝[(α－β)＋β]＝\f((α－β)＋β,1－(α－β)β)＝\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,14))＝\f(1,3).(2)(2α－β)＝[(α－β)＋α]＝\f((α－β)＋α,1－(α－β)α)＝1.∵β＝－\f(1,7)<0，∴\f(π,2)<β<π.又∵α＝\f(1,3)>0，∴0<α<\f(π,2).∴－π<α－β<0.而(α－β)＝\f(1,2)>0，∴－π<α－β<－\f(π,2).∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝－\f(3π,4).7．(2021·安徽文)設(shè)函數(shù)f(x)＝＋(x＋\f(π,3))．(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不畫(huà)圖，說(shuō)明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到．[解析](1)因?yàn)閒(x)＝＋\f(1,2)＋\f(\r(3),2)＝\f(3,2)＋\f(\r(3),2)＝\r(3)(x＋\f(π,6))．所以當(dāng)x＋\f(π,6)＝2kπ－\f(π,2)，即x＝2kπ－\f(2π,3)(k∈Z)時(shí)，f(x)取最小值\r(3).此時(shí)x的取值集合為{＝2kπ－\f(2π,3)，k∈Z}．(2)先將y＝的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的\r(3)倍(橫坐標(biāo)不變)，得y＝\r(3)的圖象；再將y＝\r(3)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移\f(π,6)個(gè)單位，得y＝f(x)的圖象．8．函數(shù)f(x)＝2(π－x).(1)將f(x)化為(ωx＋φ)的形式(A>0，ω>0)；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)在區(qū)間\b\\[\\](\a\4\\1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[解析](1)f(x)＝2(π－x)＝2＝2x.(2)由(1)知函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝\f(2π,2)＝π.(3)由－\f(π,6)≤x≤\f(π,2)，得－\f(π,3)≤2x≤π，所以－\f(\r(3),2)≤2x≤1，即f(x)的最大值為1，最小值為－\f(\r(3),2).9．向量＝(2＋1，2x－＋1)＝(，－1)，定義f(x)＝·.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)∵f(x)＝·＝(2＋1，2x－＋1)·(，－1)＝22x＋－2x＋－1＝\r(2)(x＋\f(π,4))，∴函數(shù)f(x)＝\r(2)(x＋\f(π,4))的最小正周期為2π.(2)當(dāng)x＋\f(π,4)＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z即x＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z時(shí)，f(x)＝\r(2).當(dāng)x＋\f(π,4)＝2kπ－\f(π,2)即x＝2kπ－\f(3π,4)，k∈Z時(shí)，f(x)＝－\r(2).10．如下圖，圓心角為直角的扇形，半徑＝2，點(diǎn)C是\x\()上任一點(diǎn)，且⊥于E，⊥于F，設(shè)∠＝x，矩形的面積為f(x)，求：(1)f(x)的解析式；(2)矩形面積的最大值．[解析](1)∵f(x)＝·＝·＝4＝22x，∴f(x)＝22x，x∈\b\\(\\)(\a\4\\1(0，\f(π,2))).(2)∵f(x)＝22x，x∈\b\\(\\)(\a\4\\1(0，\f(π,2)))，∴0<2x<π.∴當(dāng)x＝\f(π,4)時(shí)，f(x)取得最大值2，即矩形面積的最大值為2.11．α＝\f(5,13)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，求2α、2α、2α的值．[解析]∵α＝\f(5,13)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)，π))，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(5,13)))2)＝－\f(12,13).∴2α＝2αα＝2×\f(5,13)×\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(12,13)))＝－\f(120,169)，2α＝1－22α＝1－2×\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(5,13)))2＝\f(119,169)，2α＝\f(2α2α)＝－\f(120,169)×\f(169,119)＝－\f(120,119).12．(2021·安徽理)函數(shù)f(x)＝4ωx·(ωx＋\f(π,4))(ω>0)的最小正周期為π(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)討論f(x)在區(qū)間[0，\f(π,2)]上的單調(diào)性．[解析](Ⅰ)f(x)＝4ωx·(ωx＋\f(π,4))＝2\r(2)ω·ωx＋2\r(2)2ωx＝\r(2)(2ωx＋2ωx)＋\r(2)＝2(2ωx＋\f(π,4))＋\r(2).因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0，從而有\(zhòng)f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝2(2x＋\f(π,4))＋\r(2).假設(shè)0≤x≤\f(π,2)，則\f(π,4)≤2x＋\f(π,4)≤\f(5π,4).當(dāng)\f(π,4)≤2x＋\f(π,4)≤\f(π,2)，即0≤x≤\f(π,8)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)\f(π,2)≤2x＋\f(π,4)≤\f(5π,4)，即\f(π,8)≤x≤\f(π,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在區(qū)間[0，\f(π,8)]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[\f(π,8)，\f(π,2)]上單調(diào)遞減.章節(jié)測(cè)試一、選擇題1．1<0的值是()．A．1<0 B．－1<0 C．21<0 D．－21<02．40°＋60°＋2140°215°－1的值是()．A．0B．1<0 C．1<0 D．1<03．(－)－(－)＝1<0，且在第三象限，則1<0的值是()．A．－1<0 B．－1<0 C．±1<0 D．±1<04．1<0＝1<0，則＝()．A．1<0 B．1<0 C．1<0 D．1<05．(+45°)－(45°－)等于()．A．22 B．－22 C．1<0 D．－1<06．(－)－(－)＝1<0，且為第三象限角，則等于()．A．1<0 B．－1<0 C．1<0D．－1<07．214°31°＋17°等于()．A．1<0 B．－1<0 C．1<0 D．－1<08．在△中，假設(shè)0＜Α·B＜1，則△一定是()．A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．形狀不確定9．為第三象限角且4＋4＝1<0，則2等于()．A．1<0 B．1<0 C．－1<0 D．－1<0[來(lái)源:高[考∴試﹤題∴庫(kù)]10．6°·24°·78°·48°的值為()．A．1<0 B．1<0 C．1<0 D．1<0二、填空題11．假設(shè)x－y＝－1<0，x－y＝1<0，x，y都是銳角，則(x－y)的值為．12．化簡(jiǎn)1<0＝．13．假設(shè)3＝，則4＝．14．假設(shè)1<0＜＜1<0，1<0＝－1<0，則＝．15．求函數(shù)y＝(x＋x)2＋22x的最小正周期＝．16．1<0＝k(1<0＜＜1<0)，試用k表示－的值．三、解答題17．化簡(jiǎn)：2A＋2(1<0＋A)＋2(1<0＋A)．18．：∈(0，1<0)，∈(1<0，1<0)且(1<0－)＝1<0，(1<0＋)＝1<0，求：，(＋)．19．(1)(－)＝1<0，＝1<0，且，∈(0，)，求2－的值．(2)(－1<0)＝1<0，(1<0－)＝1<0，且1<0＜＜，0＜＜1<0，求(＋)的值．20．2＝1<0，2∈1<0，求1<0．第三章三角恒等變換參考答案一、選擇題1．D解析：原式＝1<0＝1<0＝1<0＝－1<0＝－21<0．2．C解析：原式＝1<0＋40°－40°＋30°＝1<0＋1<0＝1<0．3．D解析：∵(－－)＝1<0，∴＝－1<0．又知是第三象限角，∴＝－1<0．又＝1－221<0，∴1<0＝±1<0＝±1<0．4．B解析：∵1<0＝1<0＝1<0，∴1<0＝1<0，即1<0＝2．∴1<0＝1<0＝1<0＝－1<0．5．A解析：原式＝1<0－1<0＝1<0＝1<0＝22．6．B解析：由得(－)＝1<0，即＝－1<0，又為第三象限角，∴＝－1<0．7．A解析：原式＝214°31°＋(31°－14°)＝31°14°＋31°14°＝(31°＋14°)＝45°＝1<0．8．B解析：∵A，B是△內(nèi)角，又∵0＜Α·B＜1，∴A，B∈(0，1<0)．∵0＜1<0＜1，B＞0，∴B－B＞0，即(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜1<0，∴－(A＋B)＝C＞1<0，∴△一定是鈍角三角形．9．A解析：∵1<0＝1<0，∴(2＋2)2－22·2＝1<0，∴1－1<022＝1<0，∴22＝1<0．∵2k＋＜＜2k＋1<0，來(lái)源高考∴試﹤題∴庫(kù)∴4k＋2＜2＜4k＋3．∴2＝1<0．10．A解析：6°·24°·78°·48°＝1<0＝1<0＝1<0＝1<0．二、填空題11．答案：－1<0．解析：由1<0平方相加，可求(x－y)＝1<0．∵0＜x＜1<0，0＜y＜1<0且x－y＝－1<0＜0，∴0＜x＜y＜1<0，∴－1<0＜x－y＜0，∴(x－y)＝－1<0，∴(x－y)＝－1<0．12．答案:－1<02．解析：原式＝1<0＝1<0＝1<0＝1<02|．∵1<0＜2＜，∴2＜0．∴原式＝－1<02．13．答案：1<0．解析：∵3＝，∴＝1<0．∴2＝1<0＝1<0，4＝1<0＝1<0．14．答案：-2．解析：∵1<0＜＜1<0，∴5＜2＜1<0，1<0＜1<0＜1<0，∴1<0，2均為第三象限角，為第二象限角．∵2＝－1<0，∴2＝－1<0，又2＝22－1，∴＝－1<0＝1<0＝－1<0．又2＝2＝－1<0，∴＝1<0＝1<0，∴＝1<0＝－2．15．答案：．解析：y＝1＋2x＋22x＝2x＋2x＋2＝1<0(2x＋1<0)＋2．故最小正周期為．16．答案：1<0．解析：∵1<0＝1<0＝2，∴k＝2．而(－)2＝1－2＝1－k．又1<0＜＜1