浙江省2024年第一屆啟航杯聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁浙江省2024年第一屆啟航杯聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2024年7月29日一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知集合，則的元素?cái)?shù)量是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，即可求解.【詳解】由于，故，又，故，有5個(gè)元素，故選：D.2.已知，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、減法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由題得，則，答選：B.3.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的取值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過計(jì)算找到的面積最大時(shí)，點(diǎn)在橢圓的上下頂點(diǎn)處，再通過邊的關(guān)系找到具體的值.【詳解】由題意知，，設(shè)，則，由，得時(shí)面積最大，此時(shí)，而此時(shí)，故，所以.故選：A.4.已知邊長(zhǎng)為6的正方體與一個(gè)球相交，球在正方體的每個(gè)面上的交線都為一個(gè)面積為的圓，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得截面圓半徑，再求得球心到截面圓的距離即可得球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】由對(duì)稱性，球心與正方體重心重合，且每個(gè)面的交線半徑為4.連球心與任意面中心，則連線長(zhǎng)為3，且連線垂直該面，再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5，則表面積為.故選：B5.已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.1 B.6 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出，進(jìn)一步即可得解.【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)的組合意義，，得，則中常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.6.已知對(duì)恒成立，則的最大值為（）A.0 B. C.e D.1【答案】D【解析】【分析】由題意得對(duì)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，即，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，可求出的取值范圍，從而可求出的最大值.【詳解】由，得，所以對(duì)恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，即令，則在上單調(diào)遞增，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以的最大值為1.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是通過對(duì)原不等式變形，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.7.已知且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意等式兩邊平方化簡(jiǎn)為平方得，令，結(jié)合二倍角余弦公式得，取，，利用二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算結(jié)果；【詳解】平方得，令，則，不妨取，則，故選：C.8.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的值估計(jì)的取值并計(jì)算.(若有多個(gè)使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（）A. B.C. D.與10的大小無法確定【答案】B【解析】【分析】由題可知服從二項(xiàng)分布，，結(jié)合，計(jì)算得，又和，故得.【詳解】由題，服從二項(xiàng)分布，則，最大即為滿足的最小，即為，又，故為整數(shù)時(shí)，不為整數(shù)時(shí)為大于的最小整數(shù)，而，當(dāng)為整數(shù)時(shí)顯然成立，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)大于的最小整數(shù)為的整數(shù)部分，其小于，故，答選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布常用二項(xiàng)分布的概率公式、期望和方差公式進(jìn)行計(jì)算.9.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn)，為線段MG上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.C.HD的最小值為 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意先證明線面平行結(jié)合三棱錐的體積公式判斷A；在三角形中利用余弦定理計(jì)算判斷B；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算HD的最小值判斷C；利用當(dāng)與重合計(jì)算判斷D；【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)為，連中點(diǎn)為，連，則易得且，故為平行四邊形，，又GM為中位線，故，故，又平面平面，故平面，其上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，故三棱錐體積為定值，A正確，對(duì)于B，由題，，而，故，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)HD最小，在平面內(nèi)以為原點(diǎn)，DB為軸正方向，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則到GM的距離為，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)在線段GM上，C正確，對(duì)于D，當(dāng)與重合時(shí)，，則，取明顯錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.設(shè)定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.C.不等式的解集為D.若使得時(shí)，恒成立，則的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得，利用累加判斷A，利用單調(diào)性判斷BC，根據(jù)時(shí)和單調(diào)遞增可得判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可得，累加可得，A說法正確；，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以，B說法錯(cuò)誤，由函數(shù)單調(diào)遞增可得，解得，C說法正確，由時(shí)和單調(diào)遞增可得，當(dāng)時(shí)，，取即可，另一方面，同理有，則時(shí)，，而當(dāng)時(shí)右式在時(shí)趨于，故不存在滿足條件，D說法正確故選：ACD.11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛，如題圖所示是小D同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲線.對(duì)于小恐龍曲線，下列說法正確的是（）A.該曲線與最多存在3個(gè)交點(diǎn)B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則C.存在一個(gè)，使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像D.時(shí)，該曲線中的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】AB項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為三次方程根的個(gè)數(shù)問題研究；C項(xiàng)，舉特例說明存在值使曲線是偶函數(shù)的圖象；D項(xiàng)，令，由零點(diǎn)存在性定理說明方程至少兩根，對(duì)應(yīng)值不唯一即可說明不是的函數(shù).【詳解】A項(xiàng)，曲線方程，令，得關(guān)于的一元三次方程，令，則，最多兩根，即函數(shù)最多兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程最多有三個(gè)實(shí)根，故A正確；B項(xiàng)，若曲線如題圖所示，則存在，使得與曲線圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即存在，關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根.令，則，假設(shè)，，都有，即單調(diào)遞增，則方程在最多有一個(gè)實(shí)根，與題圖矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤.故，B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線即函數(shù)的圖象，設(shè)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.且，所以是偶函數(shù).故存在，使得曲線是偶函數(shù)的圖象，故C正確：D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線方程為.令，得，令，則，由零點(diǎn)存在性定理知至少兩根，則對(duì)應(yīng)的值不唯一，不符合函數(shù)定義，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.二、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著某抽卡游戲在班級(jí)內(nèi)流行，李華統(tǒng)計(jì)了6位同學(xué)獲得某角色的抽取次數(shù)，結(jié)果如下:10，60，90，80，20，180，則以上數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為_________.【答案】20【解析】【分析】直接由下四分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】共有6個(gè)數(shù)據(jù)，則向上取整為2，從小到大的第二個(gè)數(shù)據(jù)為20.故答案為：20.13.已知正四面體棱長(zhǎng)為4，棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn).若，則的最大值為_________.【答案】##【解析】【分析】由余弦定理可得為方程兩根，一方面說明時(shí)，沒有最大值，另一方面，說明時(shí)，可以取到最大值即可求解.【詳解】由題意棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)，則，在中，由余弦定理有:，得，同理在有.一方面：若，則為方程兩根，則得，又兩根都為正，故即，但此時(shí)不可能最大，理由如下：不妨，則在上取一點(diǎn)使，在上取一點(diǎn)使，則為等邊三角形，由對(duì)稱性可知，而，從而，所以這個(gè)時(shí)候取不到最大值，另一方面：當(dāng)重合時(shí)，即時(shí)，最大，且的最大值為.當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)，由題存在這樣的，使得成立，則的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)的極小值點(diǎn)為，若的圖象上不存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】由無解，構(gòu)造函數(shù)在不存在零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析函數(shù)零點(diǎn).【詳解】由題，無解，則在不存在零點(diǎn).又時(shí)，，而，所以必有時(shí)，故必有使在時(shí)在0附近單調(diào)遞減，（否則若，若不存在正零點(diǎn)則單調(diào)遞增而恒正，若存在正零點(diǎn)，記的最小正零點(diǎn)為，則在[0，m]恒成立，不符合題意），而，故同理必有，而，同理必有，，而，故，又，故，又，故下證明充分性：即只需恒成立，而單調(diào)遞增，設(shè)零點(diǎn)為，由前述必要條件知，故，只需，而零點(diǎn)為得，故即證，即，由題必有，則，令，則，只需，即，令，即，而單調(diào)遞增且有唯一零點(diǎn)，且，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，故，原命題得證.三、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.已知中，角所對(duì)的邊分別為已知.（1）求的取值范圍；（2）求最大時(shí)，的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合三角形面積公式可得，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系可列不等式求解的范圍；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為，此時(shí)，結(jié)合三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】由于，所以.由三角形的三邊關(guān)系知:.又，所以；【小問2詳解】由余弦定理可得，，當(dāng)時(shí)取等，又，所以的最大值為，此時(shí).16.已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.（1）記直線的斜率為，直線的斜率為，求.（2）當(dāng)直線的斜率為3時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）涉及到中點(diǎn)弦，我們可以采用點(diǎn)差法得到，而由可得，兩式相比即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示坐標(biāo)為，由得斜率，由此可列方程求出參數(shù)，進(jìn)而得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所?又設(shè)，因?yàn)椋?而圓心不在坐標(biāo)軸上，從而，所以.所以，又，所以.【小問2詳解】設(shè)直線，與聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，其中.設(shè)，所以，即點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，而，即，解?因此，所以.17.浙里啟航團(tuán)隊(duì)舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，玩家一共抽取次.每次都有的概率抽中，的概率沒抽中.小明的抽獎(jiǎng)得分按照如下方式計(jì)算：1.將玩家次抽獎(jiǎng)的結(jié)果按順序排列，抽中記作1，未抽中記作0，形成一個(gè)長(zhǎng)度為的僅有01的序列.2.定義序列的得分為：對(duì)于這個(gè)序列每一段極長(zhǎng)連續(xù)的1，設(shè)它長(zhǎng)度為，那么得分即為.3.序列的得分即為每一段連續(xù)的1的得分和.例如:如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中獎(jiǎng)，那么序列即為1，0，1，1，1，0，1，得分為.可能用到的公式：若為兩個(gè)隨機(jī)變量，則.（1）若，清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量為清照的最終得分，求.（2）記隨機(jī)變量表示長(zhǎng)度為的序列中從最后一個(gè)數(shù)從后往前極長(zhǎng)連續(xù)的1的長(zhǎng)度，求.（3）若，清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量為清照的最終得分，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）的所有可能取值為0，1，2，4，9，求出對(duì)應(yīng)的概率即可得期望；（2）設(shè)所求為，由題意有以及，從而可構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行求解；（3）設(shè)所求為，則由題意有，進(jìn)一步有，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.【小問1詳解】若序列為：0，0，0，則最終得分為0，若序列為：1，0，0，或0，1，0，或0，0，1，則最終得分為1，若序列為：1，0，1，則最終得分為2，若序列為：1，1，0，或0，1，1，則最終得分為4，若序列為：1，1，1，則最終得分為9，，，，；【小問2詳解】令表示長(zhǎng)度為的序列，的答案，換言之.則有遞推關(guān)系，表示第位分別為1或0的答案.顯然，設(shè)，則，所以，解得，所以，解得：，故所求為.【小問3詳解】設(shè)表示進(jìn)行次游戲后的期望得分，即.則有遞推關(guān)系，解釋：因?yàn)?，考慮第位為1的時(shí)候?qū)π蛄械念~外貢獻(xiàn)，即為，如果為0的貢獻(xiàn)即為0，特別的，，直接累加得到:，若，帶入上式，于是得，故所求即為.18.定義:表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分，例如.數(shù)列滿足其中.若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱數(shù)為木來數(shù).（1）分別寫出當(dāng)時(shí)的值.（2）證明:是木來數(shù)（3）若為大于1的有理數(shù).且.求證:為木來數(shù)【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)定義先計(jì)算，利用得出，根據(jù)同樣的方法計(jì)算即可證明；（3）先設(shè)且互質(zhì)，利用定義判定不是整數(shù)時(shí)，有，再用反證法判定數(shù)列中存在整數(shù)即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，同理，當(dāng)時(shí)，，同理；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，即，則，由于，所以，所以，則，所以，由于，所以，則，由此知對(duì)恒成立.可知當(dāng)時(shí)，為木來數(shù)；【小問3詳解】設(shè)且互質(zhì)，可知與均不為整數(shù)時(shí)，有，顯然，且此時(shí)為正整數(shù)，又互質(zhì)，則，故，下面用反證法說明數(shù)列中存在整數(shù).由為有理數(shù)可知，也為有理數(shù).則，推出，與假設(shè)矛盾.因此為木來數(shù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問利用“木來數(shù)”定義結(jié)合可推出，同理推出即可證明結(jié)論；第三問，利用數(shù)列且互質(zhì)，利用數(shù)的互質(zhì)，先證明與均不為整數(shù)時(shí)有，再用反證法證明數(shù)列中存在整數(shù)即可.19.稱代數(shù)系統(tǒng)為一個(gè)有限群，如果1.為一個(gè)有限集合，為定義在上的運(yùn)算(不必交換)，23.稱為的單位元4.，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運(yùn)算.（1）設(shè)為有限群的子群，為中的元素.求證:(i)當(dāng)且僅當(dāng)；(ii)與元素個(gè)數(shù)相同.（2）設(shè)為任一質(zhì)數(shù).上的乘法定義為，其中[x]為不大于的最小整數(shù).已知構(gòu)成一個(gè)群，求證:(其中表示個(gè)作運(yùn)算)【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）（i）利用單位元、子群的定義判斷可得答案；（ii）首先構(gòu)造一個(gè)到的滿射，直接由的定義得到，另一方面，證明這個(gè)映射同時(shí)也是單射即可；（2）我們有如下斷言:，假設(shè)是使得的最小正整數(shù)，由（1）的結(jié)論可知可得答案.【小問1詳解】（i）如果，則，，從