浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年8月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)．將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．1 B． C．0 D．25．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．4 B．5 C．6 D．76．在中，角的對(duì)邊分別為．已知，則（）A． B． C． D．7．，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．分別是邊長為1的正方形的邊上一點(diǎn)，，則（）A．的面積為定值 B．的周長為定值C．的面積為定值 D．的周長為定值二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更符合大眾所需，現(xiàn)選擇15名志愿者對(duì)其身高和臂展（單位：厘米）進(jìn)行測量，圖1為15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖2為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其回歸直線方程為，以下結(jié)論正確的是（）A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者的身高和臂展具有正相關(guān)關(guān)系C．可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為180.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的最小正周期為B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．D．是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心11．已知四面體平面，垂足為，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則平面C．若．則D．若，則四面體體積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，滿足，則的值為______________．13．函數(shù)的最大值為______________．14．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)為在第一象限的交點(diǎn)為．若，則橢圓的離心率為______________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）一個(gè)袋子裝有大小形狀完全相同的9個(gè)球，其中6個(gè)紅球，3個(gè)白球．（1）從袋中任意取出3個(gè)球（不放回取球），求這3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率；（2）從袋中有放回地取3次球，每次取一個(gè)球，記為取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．16．（15分）如圖，正四棱錐所有棱長為分別為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在側(cè)棱上，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且平面．（1）證明：直線平面．（2）求直線與底面所成角的大?。?7．（15分）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線與雙曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）求的面積．19．（17分）對(duì)于給定的正偶數(shù)，若非零數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是“數(shù)列”；對(duì)于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．（1）若數(shù)列是“數(shù)列”，．求的值．（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列．（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，且滿足，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列成立的整數(shù)有無窮多個(gè)？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年8月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678CAABDCBB1．解：，答案為C．2．解：，答案為A．3．解：或，得或“”是“”的充分不必要條件，答案為A．4．解：為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，得，答案為B．5．解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為是公差為的等差數(shù)列．又，答案為D．6．解：，由正弦定理可知，．又，由余弦定理可知，答案為C．7．解：，答案為B．8．解：設(shè)，則，又，，又三角形的周長為定值2，答案為B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ABABCBCD9．解：對(duì)于A，身高的極差大約為21厘米，臂展的極差大約為26厘米，故A正確；對(duì)于B，由散點(diǎn)圖以及回歸直線知，身高矮一些，臂展就會(huì)短一些，身高高一些，臂展就會(huì)長一些，故B正確；對(duì)于C，身高為190厘米，從圖象上明顯得到臂展大于180.65厘米，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，身高相差10厘米的兩人臂展的估計(jì)值相差11.6厘米，但并不是準(zhǔn)確值，回歸直線上的點(diǎn)并不都是準(zhǔn)確的樣本點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．答案為AB．10．解：．對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞增，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D不正確．答案為ABC．11．解：對(duì)于A與B，平面，即，即平面，由題意得平面，即與不開直，故A不正確，B正確；對(duì)于C，，，，，故C正確；對(duì)于D，在中，可求得，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值四面體體積的最大值為，故D正確．答案為BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．613．114．12．解：．13．解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．綜上所述，的最大值為1．14．解：如圖，由題意得，，，，，即，化簡得，即．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）．（2）的取值為0，1，2，3，由題意得．的分布列為0123．16．（1）證明：連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．分別為的中點(diǎn)，．又．又平面平面．平面．（2）解：四棱錐為正四棱錐，為底面中心，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則．設(shè)平而的法向量為，由得得．平面的一個(gè)法向量為．又平百，設(shè)與平面所成的角為，則，與平百所成的角為．17．解：（1）設(shè)，由題意可得解得雙曲線的方程為．（2）當(dāng)過點(diǎn)所作圓的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線的斜率不存在，則直線的方程為，，故．當(dāng)過點(diǎn)所作圓的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，則圓心到直線的距離，解得．故直線的方程為．聯(lián)立整理得，解得．故的面積．18．解：（1）．在點(diǎn)處的切線為．（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減．在上恒成立，即在上恒成立．令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，不滿足題意．當(dāng)時(shí)，在上，成立．綜上所述，的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．令，得在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，存在唯一的，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，存在唯一的，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．19．（1）解：數(shù)列滿足，即是等比數(shù)列，成等比數(shù)列，．（2）證明：數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，，化簡得，，化簡得是等比數(shù)列．（3）解：數(shù)列滿足，即．?dāng)?shù)列滿足，即，是等比數(shù)列．同理也是等比數(shù)列，且公比相同．不妨設(shè)此公比為，則數(shù)列可以表示為．由題意得，得．假設(shè)存