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專題06圓中與切線有關(guān)的判定方法目錄熱點(diǎn)題型歸納 1一、(直線與圓公共點(diǎn)已知)切線的判定的四種方法 1題型01利用等角轉(zhuǎn)換證垂直【連半徑,證垂直】 1題型02利用平行證垂直【連半徑,證垂直】 3題型03利用三角形全等證垂直【連半徑,證垂直】 4題型04利用相似證垂直【連半徑,證垂直】 6題型05利用等腰三角形性質(zhì)證垂直【連半徑,證垂直】 8二、(直線與圓公共點(diǎn)未知)切線的判定的四種方法 9題型06利用等角轉(zhuǎn)換證垂直【作垂直,證半徑】 9中考練場(chǎng) 11 一、(直線與圓公共點(diǎn)已知)切線的判定的四種方法題型01利用等角轉(zhuǎn)換證垂直【連半徑,證垂直】【解題策略】方法技巧1.切線的判定:常用方法→有切點(diǎn),連半徑,證垂直!無切點(diǎn),作垂直,證半徑!☆特別地:題目中所需證的垂直,一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的,故有“想證⊥,先找⊥”2.切線的性質(zhì):常用方法→見切點(diǎn),連半徑,得垂直!因切線所得結(jié)論必為⊥,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題3.常見手法有全等轉(zhuǎn)化;平行轉(zhuǎn)化;直徑轉(zhuǎn)化;中線轉(zhuǎn)化等;有時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直;4.若:已知∠1+∠2=90°【典例分析】【例1】(2023·云南模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),點(diǎn)C在⊙O上,且AC=CD,∠ACD=120°.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若⊙O的半徑為3,求圖中陰影部分的面積.【變式演練】1.(2023·湖北)如圖,點(diǎn)A、B、C在圓O上,∠ABC=60°,直線AD//BC,AB=AD,點(diǎn)O在(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若圓的半徑為6,求圖中陰影部分的面積.題型02利用平行證垂直【連半徑,證垂直】【解題策略】方法技巧1.切線的判定:常用方法→有切點(diǎn),連半徑,證垂直!無切點(diǎn),作垂直,證半徑!☆特別地:題目中所需證的垂直,一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的,故有“想證⊥,先找⊥”2.切線的性質(zhì):常用方法→見切點(diǎn),連半徑,得垂直!因切線所得結(jié)論必為⊥,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題3.垂直于同一直線的兩直線互相平行?!镜淅治觥俊纠?】(2023·江蘇)如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AB是直徑,C是BD?的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:CE是⊙O的切線.(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的長(zhǎng).【變式演練】1.(2023·廣西)如圖,在△ABC中,AC=AB,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作ED⊥AC點(diǎn)E,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若DF=4,tan∠BDF=12,求題型03利用三角形全等證垂直【連半徑,證垂直】【解題策略】方法技巧切線的判定:常用方法→有切點(diǎn),連半徑,證垂直!無切點(diǎn),作垂直,證半徑!☆特別地:題目中所需證的垂直,一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的,故有“想證⊥,先找⊥”切線的性質(zhì):常用方法→見切點(diǎn),連半徑,得垂直!因切線所得結(jié)論必為⊥,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題3.關(guān)鍵:有兩個(gè)三角形全等,得出角相等?!镜淅治觥俊纠?】(2023·內(nèi)蒙古)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O,交斜邊AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連接OE,DE.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)若sinC=45,DE=5(3)求證:2DE【變式演練】1.(2023·浙江模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,AC=BC,E是OB的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使EF=CE.連接AF交⊙O于點(diǎn)D,連接BD,BF.(1)求證:直線BF是⊙O的切線;(2)若AB=2,求BD的長(zhǎng);(3)在(2)的條件下,連接AC,求cos∠ACF的值.2.(2023·江蘇模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,AD和BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn),CD與⊙O有公共點(diǎn)E,且AD=DE.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若AB=12,BC=4,求AD的長(zhǎng).題型04利用相似證垂直【連半徑,證垂直】【解題策略】方法技巧1.切線的判定:常用方法→有切點(diǎn),連半徑,證垂直!無切點(diǎn),作垂直,證半徑!☆特別地:題目中所需證的垂直,一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的,故有“想證⊥,先找⊥”2.切線的性質(zhì):常用方法→見切點(diǎn),連半徑,得垂直!因切線所得結(jié)論必為⊥,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題【典例分析】【例1】(2023·江蘇模擬)如圖,O為線段PB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB長(zhǎng)為半徑的⊙O交PB于點(diǎn)A,點(diǎn)C在⊙O上,連接PC,滿足PC2(1)求證:PC是⊙O的切線;(2)若AB=3PA,求ACBC【變式演練】1.(2023·江蘇模擬)如圖,BC是⊙O的直徑,A是⊙O上異于點(diǎn)B、C的點(diǎn).⊙O外的點(diǎn)E在射線CB上,直線EA與CD垂直,垂足為D,且DA·AC=DC·AB.(1)求證:直線EA是⊙O的切線;(2)若BC=BE,S△ACD=mS題型05利用等腰三角形性質(zhì)證垂直【連半徑,證垂直】【解題策略】方法技巧1.切線的判定:常用方法→有切點(diǎn),連半徑,證垂直!無切點(diǎn),作垂直,證半徑!☆特別地:題目中所需證的垂直,一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的,故有“想證⊥,先找⊥”2.切線的性質(zhì):常用方法→見切點(diǎn),連半徑,得垂直!因切線所得結(jié)論必為⊥,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題【典例分析】【例1】(2023·江蘇模擬)如圖,已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,求證:直線AB是⊙O的切線.【變式演練】(2023·江蘇模擬)如圖,若等腰三角形△ABC中,AB=AC,O是底邊BC的中點(diǎn),⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D,求證:AC與⊙O相切.二、(直線與圓公共點(diǎn)未知)切線的判定的四種方法題型06利用等角轉(zhuǎn)換證垂直【作垂直,證半徑】【解題策略】方法技巧1.切線的判定:常用方法→有切點(diǎn),連半徑,證垂直!無切點(diǎn),作垂直,證半徑!☆特別地:題目中所需證的垂直,一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的,故有“想證⊥,先找⊥”2.切線的性質(zhì):常用方法→見切點(diǎn),連半徑,得垂直!因切線所得結(jié)論必為⊥,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題3.若切點(diǎn)不明確,則“作垂直,證半徑”。常見手法有角平分線定理;等腰三角形三線合一,隱藏角平分線;總而言之,要完成兩個(gè)層次的證明:①直線所垂直的是圓的半徑(過圓上一點(diǎn));②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.【典例分析】【例1】(2023·寧夏模擬)如圖△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,以點(diǎn)D為圓心,BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E.(1)求證:⊙D與AC相切;(2)若AC=5,BC=3,試求AE的長(zhǎng).【變式演練】1.(2023·湖北模擬)如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上一點(diǎn),⊙P與OA相切于D,求證:OB與⊙P相切.2.(2023·江蘇模擬)如圖,ΔABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,以點(diǎn)D為圓心,BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)(1)求證:⊙D與AC相切;(2)若AC=5,BC=4,試求AE的長(zhǎng).1.(2023·山東)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BD是⊙O的直徑,AB=AC,AE//BC,E為BD的延長(zhǎng)線與AE的交點(diǎn).(1)求證:AE是⊙O的切線;(2)若∠ABC=75°,BC=2,求CD的長(zhǎng).2.(2023·北京)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的一條弦,AB⊥CD,連接AC,OD.(1)求證:∠BOD=2∠A;(2)連接DB,過點(diǎn)C作CE⊥DB,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DO,交AC于點(diǎn)F,若F為AC的中點(diǎn),求證:直線CE為⊙O的切線.3.(2023·江西)
如圖,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)D,E為ABD上一點(diǎn),且∠ADE=40°.
(1)求BE的長(zhǎng);
(2)若∠EAD=76°,求證:CB為⊙O的切線.4.(2023·四川)如圖,CD是⊙O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE⊥AP,垂足為點(diǎn)E,∠EAD=∠FAD.(1)求證:AE是⊙O的切線;(2)若PA=4,PD=
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