專題14 三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（二）（云南專用）（原卷版）

專題14三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（二）目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01等腰三角形的性質(zhì)與判定 1題型02等邊三角形的性質(zhì)與判定 3題型03直角三角形的性質(zhì)與判定 5題型04勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問題 8題型05趙爽弦圖 9題型06利用勾股定理解決實(shí)際問題 10題型07與三角形有關(guān)的折疊問題 11中考練場 13 題型01等腰三角形的性質(zhì)與判定【解題策略】等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱“等角對(duì)等邊”）.方法總結(jié)1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.3.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則b26.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．【典例分析】例1．（2023·山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，則AD的長為

例2．（2024·江西模擬）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=12x(x>0)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB【變式演練】1.（2023·上海）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于點(diǎn)D，DE//BC交AC于點(diǎn)E，BC=3cm，AB=2cm，那么△ADE的周長為__________cm．

2.（2023·北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC

是⊙O的弦，OA⊥BC于點(diǎn)D，AE

是⊙O的切線，AE

交OC

的延長線于點(diǎn)E.若∠AOC=45°，BC=2，則線段AE

的長為

．

題型02等邊三角形的性質(zhì)與判定【解題策略】等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.方法總結(jié)1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=3【典例分析】例1．（2023·湖北模擬）如圖，有一個(gè)亭子，它的地基是邊長為4m的正六邊形，則地基的面積為(

)

A.43m2 B.123例2．（2023·黑龍江模擬）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=6，∠DAC=60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①∠BDE=∠EFC；②ED=EC；③∠ADF=∠ECF；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是23，其中正確結(jié)論的序號(hào)為A.①④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④【變式演練】1.（2023·廣東模擬）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑．若OA=3，則劣弧BD的長是(

)

A.π2 B.π C.3π2 2.（2023·四川模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=2，△DEF的周長為36，則AD的長為

(

)

A.6 B.23 C.題型03直角三角形的性質(zhì)與判定【解題策略】直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個(gè)銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.面積公式：S=12ab=12【典例分析】例1．（2022·浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'2．（2022·甘肅）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC=60°，BD=43，則OE=（

A．4 B．23 C．2 D．【變式演練】1.（2023·廣東模擬）下列各組線段a、b、c中不能組成直角三角形的是(

)A.a=7，b=24，c=25 B.a=40，b=50，c=60

C.a=54，b=1，c=34 D.a=2.（2023·遼寧模擬）如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)E，若∠EAD=48°，則∠BCE的度數(shù)為(

)

A.48° B.45° C.42° D.132°3.（2023·江蘇模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′(點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′)，連接CC′，若∠B=80°，則∠CC′B′的大小是(

)A.25°

B.30°

C.35°

D.40°題型04勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問題【解題策略】1）因?yàn)檎叫尉W(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，所以在正方形網(wǎng)格中的計(jì)算都可以歸結(jié)為求任意兩個(gè)格點(diǎn)之間的長度問題，一般情況下都是設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長為1,然后應(yīng)用勾股定理來進(jìn)行計(jì)算.2）網(wǎng)格中，求頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的四邊形或五邊形等幾何圖形的面積，可利用外部補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化成用長方形(或正方形)的面積減去直角三角形面積.【典例分析】例1．（2024·陜西模擬）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（

）A．102 B．10 C．3102例2．（2023·北京模擬）圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點(diǎn)A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠ECD+∠EDC=°．【變式演練】1．（2023·吉林）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

題型05趙爽弦圖【解題策略】趙爽弦圖的幾何意義：1）證明勾股定理：c2=a2+b22)IJ=b-a3）S正方形EFGH=c2=a2+b2,S正方形IJKL=(b-a)24）S陰影=S正方形EFGH-S正方形IJKL=2ab【典例分析】例1．（2024·湖北模擬）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1=S【變式演練】1．（2023·山東模擬）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ，記空隙處正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2S1>S2，則下列四個(gè)判斷：①S1+S2=14S四邊形MNPQ②DG=2AF

題型06利用勾股定理解決實(shí)際問題【解題策略】利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：1)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；2)明確已知條件及結(jié)論；3)利用勾股定理解答，并確定實(shí)際問題的答案.【典例分析】例1．（2023·四川）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A

2．（2023·山東）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．【變式演練】1．（2023·陜西模擬）如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A2．（2023·北京模擬）一塊木板如圖所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，求此木板的面積．題型07與三角形有關(guān)的折疊問題【解題策略】利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：1）運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；2）在圖形中找到一個(gè)直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；3）利用勾股定理列方程求出x；4）進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.【典例分析】1．（2024·四川模擬）如圖，△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長為（

）A．198 B．2 C．254 2．（2024·重慶模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)∠DEB是直角時(shí)，DF的長為（

）．A．5 B．3 C．32 D．【變式演練】1．（2024·廣東模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為．2．（2023·安徽模擬）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D在邊AB上，以CD為折痕將△CBD折疊得到△CDF，CF與邊AB交于點(diǎn)E，當(dāng)DF⊥AB時(shí)，BD的長是．

1.（2023·天津）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)M，F(xiàn)，Q都在對(duì)角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于

．

2.（2023·廣東）如圖，Rt△OAB與Rt△OBC位于平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=∠BOC=30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB=3，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則k=

3.（2023·青海）一次函數(shù)y=2x?4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B(m,4)．

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)直接在圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x?4的圖象；

(3)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．4.（2023·浙江）如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，則AC的長為(

)A.12

B.1

C.325．（2023·山東·中考真題）△ABC的三邊長a，b，c滿足(a?b)2+2a?b?3+|c?32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形6．（2023·河北）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠BA．30° B．n° C．n°或180°?n° D．30°或150°7．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：18．（2022·四川）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．29．（2022·遼