2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第六講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第六講

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)性質(zhì)底數(shù)的限制條件：a>0，且a≠1對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)1的對(duì)數(shù)是0：loga1＝01.對(duì)數(shù)性質(zhì)底數(shù)的對(duì)數(shù)是1：logaa＝1對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N運(yùn)算性質(zhì)loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝

(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】換底公式的三個(gè)重要結(jié)論(3)logab·logbc＝logac.其中a，b，c均為不等于1的正數(shù)，m，n∈R，m≠0.y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減(續(xù)表)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.

【名師點(diǎn)睛】

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖2-6-1所示，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).故0＜c＜d＜1＜a＜b.圖2-6-1

由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.(2022年浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，則4a-3b＝(

)A.25B.5C.25 9D.53答案：C2.(2023年烏魯木齊市校級(jí)月考)設(shè)9a＝45，b＝log95，則(

)A.a＝b＋9C.a＝9bB.a－b＝1

解析：由9a＝45得a＝log945＝log9(5×9)＝log95＋log99＝log95＋1＝b＋1，所以a＝b＋1，所以a－b＝1，B選項(xiàng)正確，其他選項(xiàng)不正確.故選B.

答案：B答案：1【題后反思】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路

(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.

(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.

考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

[例1](1)(多選題)若函數(shù)f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，則函數(shù)f(x)，g(x)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是()ABCD

解析：易知g(x)＝loga|x|為偶函數(shù).當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＝ax-2單調(diào)遞減，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，此時(shí)A選項(xiàng)符合題意；當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝ax-2

單調(diào)遞增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)D選項(xiàng)符合題意.故選AD.答案：AD圖2-6-2圖2-6-3答案：B【題后反思】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象解決問(wèn)題的技巧

(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想.(2)對(duì)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題，常將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，再利用數(shù)形結(jié)合法求解.【變式訓(xùn)練】1.函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖象為()ABCD

解析：令f(x)＝y(tǒng)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函數(shù)項(xiàng)B.故選A.答案：Aa＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖D5可知a>1.

圖D5

答案：(1，＋∞)類型方法logax＞logab借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論logax＞b需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解

考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1解對(duì)數(shù)方程、不等式通性通法：求解對(duì)數(shù)不等式的兩種類型及方法[例2](1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為_(kāi)_______.答案：(－1，0)∪(1，＋∞)解得a＞1或－1＜a＜0.若底數(shù)相同若底數(shù)為同一常數(shù)，可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一參數(shù)，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較考向2比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小通性通法：比較對(duì)數(shù)值大小的方法)則a，b，c的大小關(guān)系為( A.c＜b＜a

C.b＜a＜c

B.c＜a＜bD.b＜c＜a答案：A(2)已知55<84，134<85.設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則()A.a<b<cC.b<c<aB.b<a<cD.c<a<b答案：A考向3對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題通性通法：(1)對(duì)于y＝logaf(x)型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u＝f(x)[f(x)>0]的單調(diào)性在a>1時(shí)相同，在0<a<1時(shí)相反.(2)研究y＝f(logax)型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f(t)的單調(diào)性即可.(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－∞，2)上為增函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：(1)由f(－1)＝－3，得log

(4＋2a)＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(3，＋∞).令μ＝x2－4x＋3，則μ在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增.【考法全練】則a，b，c的大小關(guān)系為()A.c＜a＜bB.a＜b＜cC.b＜a＜cD.a＜c＜b

解析：a＝3-2.5，c＝3-2.3，∴1＝30＞3-2.3＞3-2.5，且b＝log35＞log33＝1，∴a＜c＜b.故選D.

答案：D答案：BD⊙數(shù)形結(jié)合探討對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)[例5]已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m<n，且f(m)＝f(n).則m＋2n的取值范圍是()解析：正實(shí)數(shù)m，n滿足m<n，且f(m)＝f(n)，如圖2-6-4，畫出函數(shù)f(x)＝|log2x|的草圖，由圖可知0<m<1，n>1.圖2-6-4答案：C【反思感悟】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.【高分訓(xùn)練】1.(2022年廣州市調(diào)研)設(shè)x1，x2，x3均為實(shí)數(shù)，且＝ln(x1＋1)，

＝lg

x2，

＝ln

x3，則(

)A.x3＜x2＜x1

B.x2＜x1＜x3C.x3＜x1＜x2

D.x1＜x3＜x2圖D6解析：分別作出y＝e－x，y＝ln(x＋1)，答案：Dy＝ln

x，y＝lg

x的函數(shù)圖象如圖D6所示.由題意可得y＝e－x的圖象與y＝ln(x＋1)，