2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何探究題專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：幾何探究題專項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖，在R16.ABC中，乙BAC二90。，乙ABC=30。，點(diǎn)D是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接CD,將線段

CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段DE（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接BE.取CD的中點(diǎn)P,連接AP.

圖(1)圖（2）

AP

⑴如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)E落在線段AC上時(shí)，,直線AP叮紅線BE相交所成的較小角的度數(shù)為

BE

⑵如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)E落在平面內(nèi)其他位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖（2）的情形給出證

明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶若AC=6,CP=3,當(dāng)點(diǎn)B,D,E在同?條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng).

2.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的?個(gè)點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F、交CD于點(diǎn)G.

圖2

⑴求證.FG=.FA

FAFE'

Q）如圖2,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OE交CD于點(diǎn)H,連接FH:

@替G=1,FA=3,求tanLOEC的值：

@希干IIAC,求得

riCj

3.如圖，在匕ABC、心ADE中，AB=AC,AD=AE,設(shè)乙BAC=4AE=a.連接BD,以BC、BD為鄰邊作

BDFC,連接EF.

（I）若a=60。，當(dāng)AD、AE分別與AB、AC重合時(shí)（圖1）,易得EF=CF.當(dāng)“ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖

2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段EF、CF的數(shù)似關(guān)系.

0）若2=90。，當(dāng)“ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時(shí)，試判斷線段EF、CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論：

（3）若a為任意角度，AB=6,BC=4,AD=3,JADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)周（圖4）,當(dāng)A、E、F-.點(diǎn)共線

時(shí)，諸直接寫出AF的長(zhǎng)度.

4..已知，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)BE,在射線AD下方作以

BE為邊的矩形BEFG,且EF=5.

（2）如圖@,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，且DE=1時(shí)、求點(diǎn)F到直線AD的距離

0當(dāng)點(diǎn)F或點(diǎn)G落在正方形ABCD的邊所在的直線上時(shí)，求矩形BEFG的面積.

5.如圖I,在等邊t:.ABC中，AB=2,過點(diǎn)C作CEJ_AB,垂足為E,p為CE上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合),

把AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,分別連接BD、PD、ED.

(1)求證：BD=CP;

(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，請(qǐng)你按照題干耍求，在圖2中作出圖形，并延長(zhǎng)CE交BDF點(diǎn)F,求出BF的長(zhǎng);

⑶直接寫出線段DE長(zhǎng)度的最小值.

6.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)t觀察與猜想】

DE

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,AD上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,DEECF,則一一的值為

CF

(2)［類比探究】

CE

如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4.點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE,BD,HCD.LBD.求---的值；

BD

(3)【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABCD中，1^=乙8=90。，點(diǎn)E為AB上-一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)G,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,RAD=2,DE=3,CF=4求AB的長(zhǎng)；

7.已知在矩形ABCD中AB=4、AD=6,點(diǎn)E是邊AD上的?個(gè)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不益合).連接CE,作乙CEF=90°,交直

線BC點(diǎn)F,點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)

⑴如。01,若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，四邊形FHAB是矩形，求證：1:,.HEFV>t!!.DCE;

(2)如圖2,若將邊AD向左平移I個(gè)單位得平行四邊形A'BCD,當(dāng)點(diǎn)G落在邊A'B上時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

(3)如圖3,連接DF,點(diǎn)H是DF的中點(diǎn)，連接GH,EH,是否存在點(diǎn)E,使1:,.EGH為等腰.角形？若存在，直接

寫出DE的值

8.如圖，t:.ABC中，乙ACB=90。，CB二CA,CE上AB千E,點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BCF點(diǎn)D,

CG上AD千點(diǎn)G,連接EG.

圖1

⑴求證：CD2=DG-DA;

⑵如圖1,若點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，求證：CF=2EF;

(3)如圖2,若GC=2,GE=22,求證：點(diǎn)F是CE中點(diǎn).

9.感知發(fā)現(xiàn)：如圖(D,在正方形ABCD中，E為AB邊上點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作EF」DE交BC千點(diǎn)F.易

類比探究：如圖在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作EF」.DE交BCf點(diǎn)F.

⑴求證：從從叩。么BFE.

（2）若AB=10,AD=6,E為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng).

0）如圖@,在，心ABC中，LACB=9（T,AC=BC,AB=4.E為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重:合），連接

CE,過點(diǎn)E作LCE=450交BC于點(diǎn)F.當(dāng)DXEF為等腰■:角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為

10.如圖，己知1SBCU」，AB小C,LBAC=a.點(diǎn)D是JABC所在平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接

CD,將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段DE,連接AD、BE.

C

備用圖

（1）如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，線段BE4AD的數(shù)量關(guān)系是；直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是

(2)如圖2,當(dāng)a=90°時(shí),

@（I）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由:

@當(dāng)BEIiAC,AB=6,AD=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出l::“DCE的面積.

II.已知汗方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD±點(diǎn)（不與C、D重合），將l:.ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9（F得至此ABF,

如圖I,連接EF分別交AC、AB于點(diǎn)P、G.

(I)請(qǐng)判斷6.AEF的形狀：

⑵求證：PA=PG?PF

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)時(shí)，PE=1,求AG的長(zhǎng).

12.如圖I,正三角形ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作乙EDF=60°,分別交AB,AC「點(diǎn)E,

F.

圖

1圖2

(1)當(dāng)BE-CD時(shí)，BD與CF的關(guān)系是

(2)將空DF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE=2CD時(shí),.BD

求一一的值,

CF

(3)如圖2,若D在正三角形ABC中CB邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F落在AC延長(zhǎng)線上，AB=2,

S_1

AABh求DF|

DCF”

AC

13..在t:,.ABC中，乙ACB=——=m,D是邊BC上點(diǎn)，將1::“ABD沿AD折疊得到t:,.AED,連接BE.

90°,BC

Cc

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)m=l,AE落在直線AC上時(shí).求證：乙DAC=zLEBC;

(2)類比探究

CG

如圖2,當(dāng)呢I.AE與邊BC相交時(shí)，在AD上取?點(diǎn)G,使乙ACG=乙BCE,CG交AE于點(diǎn)H.探究一的值

CE

(用含m的式子表示)，并寫出探究過程;

(3)拓展運(yùn)用

5

在(2)條件下，當(dāng)m=Q-rD是BC的中點(diǎn)時(shí)，若EB?EH=6,直接寫出CG的長(zhǎng).

2

14.如圖I,RWLABC和RW1.ADE中，乙ACB=乙ADE=90。，ABC乙AED=aO.

E

(I)當(dāng)a=30。時(shí)，

@當(dāng)點(diǎn)D,E分別落在邊AC,AB上，猜想BE和CD的數(shù)量關(guān)系是,

@當(dāng)t:.ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)(45。V乙CADv90。).分別連接CD,BE,則@的結(jié)論是否仍然成前

若成立，詩(shī)給出證明；若不成立.請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵當(dāng)a=45。時(shí)，將t:.ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到乙DEB=90°,若AC=1O,AD=25,直接寫出線段CD的長(zhǎng).

15.小志同學(xué)在玩?副直角.?角尺時(shí)發(fā)現(xiàn)：含45。角的直角?.角尺的斜邊可與含30。角的直角??角尺的較長(zhǎng)直角邊

憲成重合(如圖O)，即1:,.CDA的頂點(diǎn)A',C分別與1:,.BAC的頂點(diǎn)A,C重合現(xiàn)在，他讓1:,.CDA固定不動(dòng)，將

1:”BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過1:,.CDA的直角頂點(diǎn)D.

(2)如圖@,將t:i.BAC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)使邊BC經(jīng)過點(diǎn)D,求證：BC//AC;

(3)如圖@,若AB=2,將t:i.BAC沿射線AC'的方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度使邊BC經(jīng)過點(diǎn)D,求m的值.

16.綜合與探究

問題情境：

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng).

ADADAD

M「工口

EQE)

圖1圖2圖3

探究發(fā)現(xiàn)：

。)如圖1,當(dāng)BE=5時(shí)，連接AE,過點(diǎn)B作BF..1AE千點(diǎn)G,交CD千點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出線段BG和BF的長(zhǎng)

度；

⑵如圖2,以BE為邊作正方形BEFG,并把正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AG和DF,發(fā)現(xiàn)DF與AG之

間存在數(shù)量關(guān)系，諸寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證

明.探究拓廣:

(3)如圖3,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C垂合，連接AC,在AB上取點(diǎn)F,使AF=8,以CF為邊作正方形CFMN,連接

AM,在圖3中補(bǔ)全圖形并直接寫出AM的長(zhǎng).

17.如圖，1:,.ABC中，AC=BC,乙C=120。，D在BC邊上、1:,.BDE為等邊：.角形，連接AE,F為AE中點(diǎn)，連

(1)請(qǐng)直接寫出CF、DF的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由：

(2)將圖1中的I:,DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<60°),其它條件不變，如圖2,試回答(I)中的結(jié)論是否成

立？并說(shuō)明理由；

⑶若將圖(I)中的t:,DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，其它條件不變，請(qǐng)完成圖3,并直接給出結(jié)論，不必說(shuō)明理

由.

18.如圖，在等邊“ABC的AC.BC邊上各取點(diǎn)E,D,使AE=CD,AD,BE相交于點(diǎn)0.

陽(yáng)1圖2

(1)求證：AD=BE;

12石

(2)若B0=60￡=,求CD的長(zhǎng).

(3)在(2)的條件下，動(dòng)點(diǎn)P在CE從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上，連結(jié)OP,PQ,滿足乙OPQ=60。，記

PC為x,DQ的長(zhǎng)為y,求y關(guān)千x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.

19..問題提出：

COFO

如圖O所示，在矩形AOCB和矩形ODEF中，一-=——=k,點(diǎn)A,0.D不在同

直線上，連接AD,CF.HO

AODO

是6.AOD的中線，那么HO,CF之間存在怎樣的關(guān)系？

(1)問題探究：先將問題特殊化，如圖@所示，當(dāng)k=l且夕叨D=90。時(shí)，HO,CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是_________

⑵問題拓展：再探究?般情形如圖@所示，當(dāng)k=l,乙40D=ft90°時(shí)，證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

(3)問題解決：回歸圖0所示，探究HO,CF之間存在怎樣的關(guān)系(數(shù)擬關(guān)系用K表示)？

20.已知矩形ABCD的-條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.

O

(I)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求LOAB的度數(shù)；

(2)如圖1,已知折痕與邊BC交廠點(diǎn)0,連結(jié)AP、OP、OA.

CD求證：f:::,OCP=從PDA;

與l:.PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng)；

0)如圖2,(2)的條件下，擦去折痕A0、線段OP,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合)，動(dòng)

點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM,連結(jié)MN交PBf點(diǎn)F,作ME..IBPF點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)

過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度.

參考答案:

(1)

解：0如圖所示，延長(zhǎng)BE交AP于F,取BE中點(diǎn)G,BC中點(diǎn)H,連接AH,AG,GH,

?KRt6ABC中，乙BAC=90。，乙鈕C=30°,H是BC的中點(diǎn)，

11

AC=2.BC,BH=CH=AH=.:..Be,乙ACB=60°,

22

AC=AH=BH=CH,

1

同理可得AG=BE=BG,

2

?將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到線段DE,

:?乙D=6(J,DB=DC.

.'.6.DCE是等邊.角形，

..乙ECD=6(F,CE=CD,

?:p是CD的中點(diǎn),

CP=?CD=CE,

22

?:c>H分別是BE,BC的中點(diǎn)，

:.GH是k.ACE的中位線，

GH=.1.CE,HGIICE,

2

：.乙BHG=乙ACB=60^HG=CP,

在t:,.AGH和1::,.BGH中

AG=BG

AH=BH,

GH=GH

:.6.AGH6-BGH(SSS),

乙AHG=乙BHG=60,乙HBG=乙HAG;

.乙ECD=60。，點(diǎn)E在AC上，

：.乙AHG=乙ECD=60。，

在1::,.AHG和1::,.ACP中,

IIG=CP

AHG=ZACP,

AH=AC

：.從AHG“：6.ACP(SAS),

:.AG=AP.

.APAG_1

BEBE2-

@?：6.AHG蘭6.ACP

：.乙HAG=乙CAP

.：乙HBG=乙HAG,

：.乙HBG=MAP,

乙AFB=I80。一乙CAP一乙AH7,ZLACB=I800—乙HBG—乙BEC,乙BEL乙

AEF,

：.乙AFB=&CB=60。，

：.直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60。;

(2)

解：(1)中結(jié)論仍然成立，理由如下：

如圖所示，連接CE,延長(zhǎng)AP交BE延長(zhǎng)線于G,

同理可得CE=CD,乙DC￡=60。，

?乙ACB=9/一乙ABC=60°,

.乙ACP=zLBCE.

..CP_CP_1AC

CECD2BC

:.6.ACPv->6.BCE,

.APACI

—=—=—，Z>CAP=Z^CBE,

BEBC2

：.乙CAP+乙ACB二乙CBEI■乙G,

:.乙G=^ACB=601即直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60。;

DA

⑶

解：如圖（3）所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，過點(diǎn)C作CNI.BD千N,

".℃P=3,P是CD的中點(diǎn)，

CD=6,

由（2）知1:,.DCE是等邊?:角形，

:.CE=DE=CD=6,EN=DN=9DE=3

2，

:.CN==3^^,

在Rt叢ABC中，Z^AC=90°,乙鈕C=30。，

BC=2AC=I2,

.BN==3而，

如圖（4）所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),過點(diǎn)C作CNI二DE千N,

同理可得EN=DN=1DE=3,BN=313,

2

BE=BN+NE=3淚+3

13flJ|-3

.AP=..;;

22

2.

(0

證明：？四邊形ABCD是正方形,

ADliBC,ABIICD,

:ADIiBC.

：.乙DAF=乙BEA,乙ADF=乙EBF,

艮ADFV?t:,.EBF.

.FA=DF

''FE-BF

?:ABIICD,

：.QDGF=4BAF,乙GDF=LABF,

1:;EX]FU?"BAF,

.DFFG

..-->

BFFA

.FG_FA

FAFE

(2)

..FGFA

O解：.=,FG=1,FA=3,

FAFE

:.FE=9,

GE=FE-FG=8,AG=AF+FG=4,

ADIIBE,

：.少AG=々EG,ZAGD=ZEGC,

I:J)AG<l/>l:fEG,

.DG_AG_￡_1

??

CGEG82

!CG=2DG,CD=3DG,

-:AD=CD,

AG=AD2+DG2,

2而

解得DG二

6而5

-CD=12而

,CE=2AD=6DG=,

如圖1,作OMj_BE于M,

13巾

由題意知0MlicD,OM=CM=CD=,EM=CM+CE=15而

255

：ZEHG=Z￡OM,組EC=乙0EM,

I:..EHC<nl:,.￡0M,

.HC_EC_HC「鳴

.?

OMEM3而15而'

55

12而

解得HC

25

12而

tan乙OEC=Q^

25=_L

EC12而25

T

:.tan乙OEC的值為二.

@解：如圖2,延長(zhǎng)FH交CE「N,

A

D

由正方形的性質(zhì)可知LBOC=90。，LBDC=45°,OB=OB,

?:FHIIAC,

：.zLNFB=ZMRD=90P,BF=FN,

設(shè)DF=a,OD=b,則CD=AD=2b.AC=BD=勸，F(xiàn)N=BF=讓一

DH=2a,CN=CH=CD-DH=2(b-a),

?:FHIIAC,

:.ZLEFN=ZJEAC,

乃壬EN=LAEC,

1:,EFN=1:,EAC,

ENFNEN2b-

——=——即=

ECACEN+5(b-a)2b'

2下=

:.EN=(b?a)(2b.a),2(b-a)(2b-a)(?(b.a)=22b(b-a)

aaa

?:ADIIBE,

：.3AG=乙CEG,1人6口=乙￡6(：,

:?心DAGc.n心CEG,

DGAD2ba

CG=EG_22b(b-a)=2(b-a),

a

?:DG+CG=2b,

—2ab

:.DG=，

2b-a

?:FH11AC,

:.zlEFH=ZEAO,

又？LFEH=LAEO,

A

D

圖2

由正方形的性質(zhì)可知LBOC=9(r,LBDC=45°,OB=OB,

?:FHIIAC,

：.zLNFB=ZMRD=90P,BF=FN,

設(shè)DF=a,OD=b,則CD=AD=2b.AC=BD=勸，F(xiàn)N=BF=讓一

DH=2a,CN=CH=CD-DH=2(b-a),

?:FHIIAC,

:.ZLEFN=ZJEAC,

乃壬EN=LAEC,

1:,EFN=1:,EAC,

ENFNEN2b-

——=——即=

ECACEN+5(b-a)2b'

2下=

:.EN=(b?a)(2b.a),2(b-a)(2b-a)(?(b.a)=22b(b-a)

aaa

?:ADIIBE,

：.3AG=乙CEG,1人6口=乙￡6(：,

:?心DAGc.n心CEG,

DGAD2ba

CG=EG_22b(b-a)=2(b-a),

a

?:DG+CG=2b,

—2ab

:.DG=，

2b-a

?:FH11AC,

:.zlEFH=ZEAO,

又？LFEH=LAEO,

又..AB=AC,AD=AE,

：.從ADB蘭乙ABC(SAS),

BD=EC,乙ABDYACE,

LABC+LACB=BC+莊CB,

?四邊形BDFC是平行四邊形，

:.BC/IDF,BD=CF

：.乙DBC+LBCFVDBC+ZECB+Z1ECF=18O。,CF=EC,

：.乙ABC+乙ACB+乙ECF=I80°,

又？乙鈕C+LACB+乙BAC=180°,

：.乙ECF=乙BAC=a,

當(dāng)a=60。時(shí)，CF=EC,

：.L::::￡CF是等邊三角形，

:.EF=CF;

(2)

解：同理(1)可得：CF=EC,LECF=LBAC=a,

當(dāng)a二90°時(shí)，CF=EC,

：.L::::￡CF是轅」自三角形，

:.EF二心6

(3)

解：分兩種情況進(jìn)行討論：

如圖3-1:AF=AE+EF,

同理1可得CF=EC,LECF=紐AC=a,

又.AB=AC,AD=AE,乙BAC=乙DAE=a.

.AB_AD_EC

“AC-AE-FC

:.心ABC.ADE-CEF,

,DEEFBC.

~,吵E=ZTEF,

,ADCEB

?:AB=6,BC=4,AD=3,

2

:.DE=2,EF=EC,

3

由(1)得：叢ADB6AEC(SAS),

：,乙ADR=ZAEC,

：.ZADE+乙ADB=〃EC+乙CEF

??河A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，乙ADE+乙ADB=ZAEC+乙CEF,

:白IA、E、F:點(diǎn)共線時(shí)，D、B、E三點(diǎn)共線，

如圖4-1,過A點(diǎn)作AHIDE,

"/'AD=AE,

I

:.DH=-=-DE=1,

2

:.AH==盧=2五，

HB二礎(chǔ)一AH2=6-(&?=2石,

BD=HB-HD=2石一1

?:EC=BD=2JT—1,

EF=2EC=2(2JT---1)

33

24打+7

AF=AE+EF=3a(2fJ1)=3

如圖42,AF=EF-AE,

E

DH

2

同理可得：HB=27,EF=;Ec,

3

BD=HB+HD=2fT+l

?:EC=BD=2打一1,

EF=3:Ee=42lf+l),

33

2，4打——7

AF=EF-AE==:;(2JT+l)-3=

33

綜上所述：AF長(zhǎng)為4打+7或4石——7

33

4.

(1)

解：在正方形A.BCD中，AB=AD=4,從=9。'

在RtMBD中，BD=5AB=45,

.點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，

:.BE=BD=42,

故答案為：4丘；

121

解：如圖，過點(diǎn)F作FM..IAD,交AD的延長(zhǎng)線千點(diǎn)M,

aED41f

■:DE-I,AD=4,

:.AE=3,

在Rt從RE中，AR=4,

.■.BE—5,

?:EF=S,

:.BE=EF,

?：ZA=zLBEF=ZLM=90°,

.kLABE+ZAEB=2SAEB+乙'EF=90°,BPLABE=ZLMEF,

...B叢蘭兇EF(咕S),

:.MF=AE=3,

即點(diǎn)F到直線AD的距離為3;

(3)

解:分三種情況討論：

0如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在AD(向延長(zhǎng)線上時(shí)，

則S的磔EFG=ABEF=4x5=20;

A(E)D

-------------------------------

@如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EH..LBC千點(diǎn)H,

:.EH=AB=4,AEHF=zSG=90°,

在RikEHF中，EF=5,

:.HF=3,

?:EFI/BG,

在Rt從RE中，AR=4,

.■.BE—5,

?:EF=S,

:.BE=EF,

?：ZA=zLBEF=ZLM=90°,

.kLABE+ZAEB=2SAEB+乙'EF=90°,BPLABE=ZLMEF,

...B叢蘭兇EF(咕S),

:.MF=AE=3,

即點(diǎn)F到直線AD的距離為3;

(3)

解:分三種情況討論：

0如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在AD(向延長(zhǎng)線上時(shí)，

則S的磔EFG=ABEF=4x5=20;

A(E)D

-------------------------------

@如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EH..LBC千點(diǎn)H,

:.EH=AB=4,AEHF=zSG=90°,

在RikEHF中，EF=5,

:.HF=3,

?:EFI/BG,

:.7.DAB=ACAP,

:?叢DAB"6bC(SAS),

:.BD=CP;

(2)

解：如圖2,

由旋轉(zhuǎn)知，AD=AP,乙DAP=60。，

占6ADP是等邊三角形，

:.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，有AE=DE,乙AED=60°,

7CE..LAB,

.".AE=BE=DE,乙BCEF1ACB=30°,

，乙

2

:?乙EBD=30°,

：.乙DBC=90。，

在Rtt::.BCF中，

BF

”."BC=2,tan乙BCE=—,

BC‘

BF=2tan30=-2/3

2

(3)

I

解：DE長(zhǎng)鮑最小值是一，

2

理由是：如圖3,

A

由⑴知：t:,.DAB蘭.6PAC,

：.取AC的中點(diǎn)H,連接PH,貝iJPH=DE,

：.PH長(zhǎng)度的最小俏就是DE長(zhǎng)的最小俏，

過點(diǎn)F作HG上CE千G,垂足G就是PH最小時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)PH=一,

1

故DE長(zhǎng)度的最小俏是一.

⑴

倘設(shè)DE與CF的交點(diǎn)為G,

?四邊形ABCD是正方形，

：.乙ANFDC=90。，AD=CD,

?DE..1CF,

：.ZiDGF=90°,

：.乙ADE+CFD=90。，乙ADE+乙AED=90°,

:.Z,CFD=Z*AED,

在1:::.AED與FC中,

ZLA=LFDC

乙CFD=乙人￡口，

AD=CD

:.從AED蘭叢DFC(AAS),

:.DE=CF,

?..?PE一-1.

CF

故答案為：1;

(2)

解：如圖2,設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G.

:.乙人=乙￡口（：二90°,

■:cE.1BD,

：.乙DGC=90°,

.乙CDG+ZECD=90°,Z1ADB—乙CDG=90。，

.ECD=ZADB,

.乙CDE=L.A,

..公ECO乙ABD,

.CE_DC4_

"BDAD7

⑶

解：如圖3,過點(diǎn)C作CHJ_AF交AF的延長(zhǎng)線千點(diǎn)H,

：.乙6=組=4A=zLB=90°,

：.四邊形ABCH為矩形，

AB=CH,ZJFCH+乙CFH=ZJDFG+乙FDG=900,

：.石CH=乙FDG=2ADE,=90°,

mEAO心CFH,,.嚴(yán)AD.產(chǎn)AD

CFCHCFAB'

?:AD=2,DE=3,CF=4,

.32

..?=，

4AB

AB=:L.

3

7.

(1)

心=乙H=90°,FH=AB=4,AE=DE=3,

..CE2H乙DCE=90°,

??乙CEF-90",

.乙CEEH■組'EF=90。，

、乙HEF=4)CE,

..AHEFOADCE,

(2)

圖2

作FH..1AD「H,作CD..1AQ「D,

」.DD=1,

由(I)得：遼GA'芻兇GB,

…設(shè)EA'=BF=x,

:F.IY=6-x,

EH=DH-DE=CF-DE=(6+x)-(1+6-x)=2x-1,

由(I)知：D.CDE=D.EHF,

?.?DE_CD

FHEH

.7-x4

"4"2x-1

_15±J可

...x=4.

AP15土J可

AE=

4'

(3)

如圖3,

圖3

作PR..1AD千R,HQ..1AD千Q,

設(shè)DE二a,則AE=6-a,

G是EF的中點(diǎn)，H是DF的中點(diǎn)，

:.GH是DFDQ的中位線，

II

：.GH=.::...DE

22

由(1)可得，

a4

4RE'

:.RE=-

a

EF=JRE+RE;116+(也，

a

EG=』EF116+(學(xué)，

:DR=DE+ER=a+—,

a

..DQ=-LDR=---(a+16

22.a"

I16116

:.EQ=DE-DQ=a-7(aH----)=—(a-----)

2a2a

116

EH2=EQ2+QH2=|-(a--5r+4,

2a

當(dāng)EG=GH時(shí)，

1162?1

-[16i(-)]=----這,

4a4

a2=8+85或夕=8-8§(舍云)，

當(dāng)EG=EH時(shí)，

1/6、2、1162.

-[16+(一)]=—6--).4'

4a4a

:.a2=32,

當(dāng)GH=EH時(shí)，

12J162

?4=T.(aa-)+

:.a2=16,

綜上所述DE2=8+85或32或16.

8.

(1)

證明：？CG..1AD,乙ACB=90。，

：.乙CGD=乙ACB=90°,

.：乙CDA=乙CDG,

AACD=MCGD,

CD:DG=DA:CD,

:.c^=DG-DA;

(2)

如圖1.過E作EHi/AD交BC于點(diǎn)H,

?:HEliAD,

:.BH:HD=BE:EA,CD:HD=CF:EF,

-.cs=CA,乙ACB=90。，CE..1AB,

:.E為AB的中點(diǎn)，

.'.BE:EA=1,

:RH:HD=RE:EA=1

?:V為BD的中點(diǎn)

:.CD=BD,

:.CD:HD=2,

?:EHi/AD

:.CD:HD=CF:EF=2

:.CF=2EF.

圖1

(3)

CB=CA,乙ACB=90°,

：.乙BAC=45。，

?CEI.AB,CGEAD,

..ZAGC=ZAEC=90°,乙ACE=45。,

:.A、C、G、E四點(diǎn)共圓，

：.乙EGF=AACF=45°,

過點(diǎn)E作EMI.AD于點(diǎn)M,

二6.EGM是等腰直角三角形,

EM=GE-sin45°=22^—=2,

2

:CG=2,

CG=EM,

.:乙CFG=^SEFM,乙CG氏L.EMF=9(T,

:一心CCF蘭心FMF,

:.CF=EF,

即點(diǎn)F是CE中點(diǎn)

9.

(1)

證明：？四邊形ABCD是矩形,

:.^=^B=90°,

：.乙ADE+乙AED=90。，

?:DE..1EF,

：.乙DEF=90。,

：.紐EF+選D=90°,

LADE-E,

:.辜DO從BFE.

(2)

解：*E為ABH/點(diǎn),

:.AE=BE=S,

由(I)如I叢AED<,6.即E,

.ADAE65

:.—=——,Rn|nJ-----=-，

BEBF.5BF

?BF)

6.

(3)

解：如圖，

@如果CE=CF,貝|JLCEF=LCFE=45。，乙ECF=90°,

則點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，不符合題意

1800-45°

@如果CE二EF,則乙EFC=/SECF==67.5°,

2

.:乙EFC為MFF力牖

：.乙EFC=^+乙BEF,

..ACB=90°,AC=BC,

:.乙A=乙B=45°,

:.乙BEF=乙EFC—乙B=67.50?45°=22.5°,

乙ACE=90°-aCF=90°-67.50=22.5°,

：.ZiACF=LBEF,

又？M=LB,CE=EF,

：.竺一心BFE,

:.BE=AC,

?:LAC^90°,空=BC,AB=4,

AC=x4=2拉，

CAB=八

22

:.BE=22.

@如果CF=EF,則LCEF=L.ECF=45。,

：.乙CFE=90°,

在i::::.BEC中，LB=LBCE=45°,

：.乙BEC=90°,

:.CE..1AB,

又AC=BC,

:.點(diǎn)E為AB中點(diǎn),

:.BE」AB=2.

2

綜h所述，BE的長(zhǎng)為2Ji或2.

10.

(1)

解：由題意AB=AC,LBACT辦；DC=DE,LCDE=60°,

AABC和t:.DCE是等邊三角形，

:.AC-BC,CD=CE,

飛.乙ACD+乙DCB=乙ACB=60。，乙BCE+ZDCB=乙DCE=60。，

.\ZACDMBCE,

.MDCMFC,

AD=BE,乙CBE=L:.CAD

如圖1,延長(zhǎng)AD交BE的延長(zhǎng)線于F,乙F即為直線BE與AD相交所成的銳角,

...乙CBE+乙BAF=乙CAD+乙BAF=乙BAC=60°

..F幻18(T_乙BAF一乙ABF

=180°-(乙BAF+乙CBE)-zlABC

=180°-60°-60°

二60'

故答案為：BE=AD,60°;

(2)

解：@不成立，BE=.f.認(rèn)D,直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是45。.

理由如下：如圖2,

設(shè)直線BE交AD千點(diǎn)N,AD交EC千點(diǎn)M.當(dāng)a=90。時(shí),

:AB=AC,

..乙ABC-ACB=45°,

??AC=sin45°-,

*BC2r-

DC5

同理可得，—=sin45°=—,

EC2

,DCAC五

'ECBC2

.：乙ACB=乙ACE+乙ECB=45°,乙DCE=乙ACE+乙DCA=45。，

..乙ECB=乙DCA,

：.心DCA5/乙ECB,

.AD_AC五

BEBC2

BE=2AD,乙CDA=乙CEB.

.：乙DMC=LEMN,

：.乙DNE=乙DCE=45氣

：.自線BE與自線AD相交所成的銳角的度數(shù)是45。.

@6.DCE的面積是13或25.

解：當(dāng)點(diǎn)D在t:..ABC外時(shí)，作EG.LCB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

一N

圖3

?AD=五，BE=3LAD,

:.BE=2,

?:BEi/AC,

、乙EBGMACB=45°,

.衛(wèi)立BG是等腰宜角三角形，

:.BG=GE=五，

..ZJBAC=90°,AB=AC=6,

BC-6五，

..CG=6五+五=7五，

在Rt!iCGE中，CE=CG氣EG2=10.

:.DE=CD=5五，

°I_L

SEx55x55=25;

?=-DECD=

22

點(diǎn)D在1:,ABC內(nèi)時(shí)，如下圖所示，

圖4

同理可得SMCE=13,

故t:.DCE的面積是13或25.

11.

(D

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AF=AE,LDAE=Z^BAF,

?四邊形ABCD是正方形，

：.乙DAB=90°,

:.z^DAE+^BAE=9O0,

：.ZBAFIZJBAE=90°,

：.乙FAE=90。，

:J:,.AEF是等腰直角三角形。

(2)

證明：？四邊形ABCD是正方形，乙CAB=45°,即乙PAG=45,

由(1)可得乙AFE=45°,

：.乙PAG乙AFP=45。,

又？乙APG=乙FPA.

：.從APG(心FPA,

.PA_PG

PF~PA

:.PA=PG?F;

(3)

解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a.

：AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到t:.ABF,

:.乙ABF=乙D=90°.DE=BF.

?乙ABC=90°,

:.乙FBC=180。，

，F(xiàn),B,C共線，

?:DE=EC=BF=a,BC=2a,

：.CF=3a,EF=島了聲=(3a)2+a2=.ffia,

-：BGJIBC.

BG:K=FB:CF=fixE=I:3,

152而

：.BG=3a,AG=3=a,GE=1a

.：乙0\1>=乙4￡6=45°,乙AGP=乙EGA,

:.6AGP(.〃6EGA,

.AG_GP

EGAG

AG=GP<J]E,

舊尸產(chǎn)主產(chǎn)

?2而

??a=5,

AG=L2而=2而

35~3

12.

(I)

解：相等，

理由：?：AABC是等邊三角形,

:乙R=乙060。，

?/EDF=60°,

:.乙BDE+乙BED=4DE+乙CDF=120°,

：.乙BED=乙CDF,

:BE=CD,

:.t::,BDE蘭叢CFD(AAS),

:.BD=CF,

故答案為：相等；

?

解：?：1::,ABC為正三角形，

:.乙8=乙C=60°,

.：乙EDC=z^EDF+乙1^>€=乙?！?+乙B,

又乙EDF=60°,

：.乙FDCYDEB,

:.6BDE(./?6CFD,

JQD二-BE

**CFCD，

"/BE=2CD,

?.BD=2CD=p

CFCD

(3)

解：.：乙ADC=乙ADB+乙FDC=60°,

乙ABC=乙ADB+乙DAB=60°,

：.乙DAB=乙FDC,

.Z.ABC=Z.ACB,

：.乙ABD=乙DCF,

:.6BDA(./?6CFD,

.：AD=AB,鼠DJB2