第六章 微專題43　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用

微專題43機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用1．單物體多過程機(jī)械能守恒問題：劃分物體運(yùn)動階段，研究每個階段中的運(yùn)動性質(zhì)，判斷機(jī)械能是否守恒；表達(dá)式一般選用E1＝E2(要選擇參考平面)或ΔEp＝－ΔEk(不用選擇參考平面)。2.多物體的機(jī)械能守恒：“輕繩模型”與“輕桿模型”：要注意兩端的物體速度大小是否相等；“輕彈簧模型”：要注意伸長量和壓縮量相同兩點(diǎn)彈性勢能相等；“非質(zhì)點(diǎn)模型”：一般分析物體重心高度變化；一般選用ΔEp＝－ΔEk或ΔEA增＝ΔEB減形式(不用選擇參考平面)。1.(2024·北京市順義區(qū)第一中學(xué)階段練習(xí))如圖所示，一條輕繩跨過定滑輪，繩的兩端各系一個小球a和b，用手托住球b，當(dāng)繩剛好被拉緊時，球b離地面的高度為h，球a靜止于地面。已知球a的質(zhì)量為m，球b的質(zhì)量為3m，重力加速度為g，定滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦均不計(jì)，不計(jì)空氣阻力。若無初速度釋放球b，則下列判斷正確的是()A．經(jīng)過時間eq\r(\f(2h,g))，球b恰好落地B．在球b下落過程中，球b所受拉力大小為mgC．在球b下落過程中，球a的機(jī)械能增加了eq\f(3,2)mghD．球b落地前瞬間速度大小為eq\r(2gh)答案C解析以小球a和b為整體，根據(jù)牛頓第二定律可得3mg－mg＝(3m＋m)a解得a＝eq\f(g,2)根據(jù)h＝eq\f(1,2)at2可得球b落地的時間為t＝2eq\r(\f(h,g))，故A錯誤；對小球b受力分析可得3mg－FT＝3ma，解得FT＝eq\f(3,2)mg，故B錯誤；在球b下落過程中，球a的動能增加量為ΔEk＝eq\f(1,2)mva2＝eq\f(1,2)m(at)2＝eq\f(1,2)mgh在球b下落過程中，球a的機(jī)械能增加量為ΔE＝ΔEp＋ΔEk＝mgh＋eq\f(1,2)mgh＝eq\f(3,2)mgh，故C正確；球b落地前瞬間速度大小為vb＝at＝eq\r(gh)，故D錯誤。2.(多選)如圖所示，用輕桿通過鉸鏈相連的小球A、B、C處于同一豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m，兩段輕桿等長?，F(xiàn)將C球置于距地面高h(yuǎn)處，由靜止釋放，假設(shè)三個小球只在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動，不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g，則在小球C下落過程中()A．小球A、B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B．小球C的機(jī)械能一直減小C．小球C落地前瞬間的速度大小為eq\r(2gh)D．當(dāng)小球C的機(jī)械能最小時，地面對小球B的支持力大于mg答案AC解析由于小球A、B、C組成的系統(tǒng)只有重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A正確；小球B的初速度為零，C落地瞬間，B的速度為零，故B的動能先增大后減小，而B的重力勢能不變，則B的機(jī)械能先增大后減小，同理可得A的機(jī)械能先增大后減小，而系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故C的機(jī)械能先減小后增大，故B錯誤；根據(jù)以上分析，設(shè)小球C落地前瞬間的速度大小為v，根據(jù)動能定理可知eq\f(1,2)mv2＝mgh，解得v＝eq\r(2gh)，故C正確；當(dāng)小球C的機(jī)械能最小時，小球B速度最大，此時小球B的加速度為零，水平方向所受的合力為零，C與B之間的桿對小球B恰好沒有力的作用，所以地面對小球B的支持力大小為mg，故D錯誤。3．(多選)內(nèi)徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內(nèi)裝水，底部閥門K關(guān)閉時兩側(cè)水面高度分別為h1和h2(h1>h2)，如圖所示。已知水的密度為ρ，重力加速度為g，不計(jì)水與筒壁的摩擦阻力。現(xiàn)把連接兩筒的閥門K打開，當(dāng)兩筒水面高度相等時，則該過程中()A．水柱的重力做正功B．大氣壓力對水柱做負(fù)功C．水柱的機(jī)械能守恒D．當(dāng)兩筒水面高度相等時，水柱的動能是eq\f(1,4)ρgS(h1－h(huán)2)2答案ACD解析把連接兩筒的閥門打開到兩筒水面高度相等的過程中大氣壓力對左筒水面做正功，對右筒水面做負(fù)功，抵消為零；水柱的機(jī)械能守恒，重力做功等于重力勢能的減少量，等于水柱增加的動能，等效于把左管高eq\f(h1－h(huán)2,2)的水柱移至右管，如圖中的陰影部分所示，重心下降eq\f(h1－h(huán)2,2)，重力所做正功為WG＝(eq\f(h1－h(huán)2,2))ρgS·(eq\f(h1－h(huán)2,2))＝eq\f(1,4)ρgS(h1－h(huán)2)2，故A、C、D正確。4.(2023·山東省模擬)如圖所示，質(zhì)量分布均勻的鐵鏈，靜止放在半徑R＝eq\f(6,π)m的光滑半球體上方。給鐵鏈一個微小的擾動使之向右沿球面下滑，當(dāng)鐵鏈的端點(diǎn)B滑至C處時其速度大小為3eq\r(2)m/s。已知∠AOB＝60°，以O(shè)C所在平面為參考平面，取g＝10m/s2。則下列說法中正確的是()A．鐵鏈下滑過程中靠近B端的一小段鐵鏈機(jī)械能守恒B．鐵鏈在初始位置時其重心高度eq\f(3\r(3),π)mC．鐵鏈的端點(diǎn)A滑至C處時其重心下降2.8mD．鐵鏈的端點(diǎn)A滑至C處時速度大小為6eq\r(2)m/s答案C解析鐵鏈下滑過程中靠近B端的一小段鐵鏈?zhǔn)艿缴线呰F鏈的拉力，該拉力做負(fù)功，故機(jī)械能不守恒，故A錯誤；根據(jù)幾何關(guān)系可知，鐵鏈長度為L＝eq\f(πR,3)＝2m，鐵鏈全部貼在半球體上時，質(zhì)量分布均勻且形狀規(guī)則，則其重心在幾何中心且重心在∠AOB的角平分線上，故鐵鏈在初始位置時其重心與半球體球心連線長度等于端點(diǎn)B滑至C處時其重心與球心連線長度，設(shè)均為h0，根據(jù)機(jī)械能守恒有mgh0－mgh0sin30°＝eq\f(1,2)mv12，代入數(shù)據(jù)解得h0＝1.8m，故B錯誤；鐵鏈的端點(diǎn)A滑至C處時，其重心在參考平面下方eq\f(L,2)處，則鐵鏈的端點(diǎn)A滑至C處時其重心下降Δh＝h0＋eq\f(L,2)＝2.8m，故C正確；鐵鏈的端點(diǎn)A滑至C處過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgΔh＝eq\f(1,2)mv22，解得v2＝2eq\r(14)m/s，故D錯誤。5.(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市模擬)如圖所示，傾角為30°的固定斜面上固定一根與斜面垂直的輕桿PQ，長為L的輕桿兩端分別用鉸鏈固定質(zhì)量相等的小球A和B，A球(中空)套在PQ上，B球與斜面接觸，重力加速度大小為g，不計(jì)一切摩擦。若將輕桿從豎直位置由靜止釋放，則當(dāng)A球剛要到達(dá)斜面時，A球的速度大小為()A.eq\r(\f(1,2)gL)B.eq\r(\f(3,2)gL)C.eq\r(2gL)D.eq\r(gL)答案C解析從靜止釋放到A球剛要到斜面時，由A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可知mgLcos30°·cos30°＋mgeq\f(L,2)sin30°＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，兩球沿長為L的輕桿方向的分速度相等，可知，A球剛要到斜面時，由于A球的速度垂直輕桿，所以沿桿方向的速度為0，故B球的速度為vB＝0，解得vA＝eq\r(2gL)，故選C。6.(多選)(2023·云南昆明市質(zhì)檢)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長且不可伸長的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m。與定滑輪等高的A點(diǎn)和定滑輪之間的距離為d＝3m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略?，F(xiàn)將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)運(yùn)動到C點(diǎn)速度為0，忽略一切摩擦力，重力加速度g取10m/s2，則下列說法正確的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．A、C間距離為4mB．小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)C．小環(huán)下落過程中減少的重力勢能始終等于物塊增加的機(jī)械能D．當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時，小環(huán)與物塊的動能之比為2∶1答案AD解析小環(huán)運(yùn)動到C點(diǎn)時，對系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得：mgLAC＝Mg(eq\r(d2＋LAC2)－d)，解得LAC＝4m，故A正確；假設(shè)小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)，則繩中的拉力大小等于2mg，在C點(diǎn)對小環(huán)有：FT＝eq\f(mg,sin53°)＝eq\f(5,4)mg≠2mg，所以假設(shè)不成立，小環(huán)不能靜止，故B錯誤；由機(jī)械能守恒可知，小環(huán)下落過程中減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為物塊增加的機(jī)械能和小環(huán)增加的動能，故C錯誤；將小環(huán)的速度沿繩和垂直繩方向分解，沿繩方向的速度即為物塊的速度，則繩與桿的夾角為60°時有vM＝vmcos60°，由Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，小環(huán)與物塊的動能之比為2∶1，故D正確。7.(多選)(2024·河南省檢測)如圖所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道ABC與光滑的水平面無縫對接于C點(diǎn)，AC是豎直直徑，B點(diǎn)距離水平面高度為R，質(zhì)量均為m的小球甲、乙(均視為質(zhì)點(diǎn))用輕質(zhì)細(xì)桿連接，小球甲套在半圓弧軌道上的A點(diǎn)，小球乙放置在C點(diǎn)，甲、乙均處于靜止?fàn)顟B(tài)，甲球受到輕微的擾動而沿半圓弧軌道向下運(yùn)動，乙球沿著水平面向左運(yùn)動，重力加速度為g，則甲從A運(yùn)動到B的過程中，下列說法正確的是()A．甲的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為甲的動能B．甲克服桿的作用力做的功等于桿對乙所做的功C．甲運(yùn)動到B點(diǎn)時，甲、乙的速度大小之比為3∶1D．甲運(yùn)動到B點(diǎn)時，甲的動能為eq\f(3,4)mgR答案BD解析甲的速度沿切線方向，在B點(diǎn)時，根據(jù)幾何關(guān)系可知，桿與豎直方向夾角為60°，則此時v1cos60°＝v2cos30°所以乙的速度不為零，則甲的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為甲和乙的動能之和，故A錯誤；因?yàn)闂U是輕桿，根據(jù)機(jī)械能守恒可知，甲克服桿的作用力做的功等于桿對乙所做的功，故B正確；甲運(yùn)動到B點(diǎn)時，甲、乙的速度大小之比為eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(3),1)，故C錯誤；甲運(yùn)動到B點(diǎn)時，根據(jù)機(jī)械能守恒mgR＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)mv22甲的動能為Ek＝eq\f(1,2)mv12＝eq\f(3,4)mgR，故D正確。8．(多選)(2024·河南平頂山市檢測)如圖所示，質(zhì)量為mA＝2.5kg的物體A，其下端拴接一固定在水平地面上的輕質(zhì)彈簧，彈簧的勁度系數(shù)k＝100N/m。物體A的上端通過不可伸長的細(xì)線跨過兩個光滑的小定滑輪連接中間有孔的小球B，小球B套在傾角θ＝37°的光滑直桿上，D為桿的底端，O2D與固定桿的夾角也是θ，細(xì)線O1O2B水平，此時細(xì)線的拉力是F＝45N。小球B的質(zhì)量mB＝1.5kg，C是桿上一點(diǎn)且O2C與桿垂直，O2C＝0.6m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8?，F(xiàn)由靜止釋放小球B，彈簧一直在彈性限度內(nèi)，下列說法正確的是()A．物體A、B系統(tǒng)的機(jī)械能守恒B．小球B第一次運(yùn)動到C點(diǎn)時的動能為17.2JC．小球B第一次運(yùn)動到C點(diǎn)時細(xì)線對B做的功為10JD．小球B第一次運(yùn)動到D點(diǎn)時A的動能為零答案BC解析物體A與小球B組成的系統(tǒng)除了受到重力以外，彈簧彈力對A做功，即其他力所做功不為零，則物體A與小球B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故A錯誤；小球B第一次運(yùn)動到C點(diǎn)時，物體A下降的高度為hA1＝BO2－O2C＝eq\f(O2C,sinθ)－O2C＝0.4m小球B下降的高度為hB1＝O2Ccosθ＝0.48m未釋放小球B時，設(shè)彈簧的形變量為Δx1，對物體A有kΔx1＋mAg＝F解得Δx1＝0.2m故此時彈簧被拉伸，當(dāng)小球B第一次運(yùn)動到C點(diǎn)時Δx2＝hA1－Δx1＝0.2m此時彈簧被壓縮，故此時彈簧的彈性勢能與未釋放小球B時相等，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有mAghA1＋mBghB1＝eq\f(1,2)mvA12＋eq\f(1,2)mvB12由于小球B在C點(diǎn)時，細(xì)線與小球B速度方向垂直，可知vA1＝0故解得EkB＝mAghA1＋mBghB1＝17.2J，故B正確；小球B從釋放到第一次運(yùn)動到C點(diǎn)，對小球B，根據(jù)動能定理可得W線＋mBghB1＝EkB＝17.2J，解得W線＝10J，故C正確；由幾何知識可得BO2＝DO2故小球B第一次運(yùn)動到D點(diǎn)時物體A回到初始位置，設(shè)此時小球B的速度為vB2，物體A的速度為vA2，則vA2＝vB2cosθ小球B下降的高度為hB2＝2hB1＝0.96m此時彈簧的彈性勢能與未釋放B時相等，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有mBghB2＝eq\f(1,2)mAvA22＋eq\f(1,2)mBvB22聯(lián)立解得EkA＝eq\f(1,2)mAvA22＝7.43J故D錯誤。9.(2023·山東省模擬)如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過細(xì)線繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的足夠長光滑斜面上。用手按住C，使細(xì)線恰好伸直但沒有拉力，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行。已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為M(M＞2m)，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。釋放C后它沿斜面下滑，當(dāng)A恰好要離開地面時，B獲得最大速度(B未觸及滑輪，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g)。求：(1)釋放物體C之前彈簧的壓縮量；(2)物體B的最大速度vm。答案(1)eq\f(mg,k)(2)2mgeq\r(\f(1,kM＋m))解析(1)釋放物體C之前，細(xì)線恰好伸直，繩子拉力為零，彈簧處于壓縮狀態(tài)，設(shè)彈簧的壓縮量為x，物體B受重力與彈簧彈力作用而靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件及胡克定律得mg＝kx，解得x＝eq\f(mg,k)(2)當(dāng)A恰好要離開地面時，地