蘇科版八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題1.4直角三角形全等的判定特訓(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題1.4直角三角形全等的判定【名師點睛】1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．【典例剖析】【例1】（2021·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．(1)求證：△BEC≌△DEA；(2)求∠DFC的度數(shù)．【變式】（2021·江蘇·鎮(zhèn)江市江南學校八年級期中）已知：如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF，求證：（1）△AED≌△BFC；（2）AE∥BF．【滿分訓練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?如皋市期中）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL2．（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS3．（2020秋?無錫期末）下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等 C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等4．（2020秋?中山區(qū)期末）下列關(guān)于全等三角形的說法中，正確的是（）A．周長相等的兩個等邊三角形全等 B．周長相等的兩個等腰三角形全等 C．周長相等的兩個直角三角形全等 D．周長相等的兩個鈍角三角形全等5．（2019秋?東?？h期中）下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．一組銳角和斜邊分別對應相等 B．兩個銳角分別對應相等 C．兩組直角邊分別對應相等 D．斜邊和一組直角邊分別對應相等6．（2019秋?沭陽縣期中）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點O．如果AB＝AC，那么圖中全等的直角三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2019秋?邳州市期中）下列條件不可以判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊對應相等 B．兩個銳角對應相等 C．一條直角邊和它所對的銳角對應相等 D．一個銳角和銳角所對的直角邊對應相等8．（2019秋?興化市期中）如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′9．（2021春?榆陽區(qū)期末）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（2017春?來賓期末）如圖，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以證明△BAD≌△BCD的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．AAS二．填空題（共6小題）11．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．12．（2020秋?秦淮區(qū)期末）結(jié)合圖，用符號語言表達定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF．13．（2020秋?洛陽期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件．14．（2021春?普寧市期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需加條件．15．（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BF＝AC，CD＝DF，證明圖中兩個直角三角形全等的依據(jù)是定理．16．（2019秋?高郵市月考）下列說法正確的有個．（1）兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等．（2）有一銳角和斜邊對應相等的兩直角三角形全等．（3）一條直角邊和一個銳角對應相等的兩直角三角形全等．（4）面積相等的兩個直角三角形全等．三．解答題（共6小題）17．（2020秋?嵩縣期中）如圖，已知點A，B，C，D在同一條直線上，EA⊥AB，F(xiàn)D⊥AD，AB＝CD，若用“HL”證明Rt△AEC≌△Rt△DFB，需添加什么條件？并寫出你的證明過程．18．（2020春?岱岳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．19．（2019秋?鐵東區(qū)期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求證：Rt△ABC≌Rt△DEF．20．（2019春?合浦縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．21．（2019秋?桐城市期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF＝BE+CF；（2）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE＝10，CF＝3，求：FE長．22．（2019秋?北流市期末）如圖（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，試說明BC⊥CE的理由；如圖（2），若△ABC向右平移，使得點C移到點D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的結(jié)論是否成立，并說明理由．【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題1.4直角三角形全等的判定【名師點睛】1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．【典例剖析】【例1】（2021·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．(1)求證：△BEC≌△DEA；(2)求∠DFC的度數(shù)．【解析】【分析】（1）由“HL”可證Rt△BEC≌Rt△DEA；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠D，由三角形內(nèi)角和定理可求∠DFC=90°．(1)證明：∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEA=90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中：BE=DEBC=DA∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）；(2)解：∵Rt△BEC≌Rt△DEA，∴∠B=∠D，∵∠DAE=∠BAF，∴∠BFA=∠DEA=90°，∴∠DFC=90°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式】（2021·江蘇·鎮(zhèn)江市江南學校八年級期中）已知：如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF，求證：（1）△AED≌△BFC；（2）AE∥BF．【解析】【分析】（1）求出∠EDA=∠FCB=90°，AD=BC，根據(jù)HL證明RtΔ（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B，根據(jù)平行線的判定得出即可．【詳解】解：（1）∵ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴∠EDA=∠FCB=90°∵AC＝BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC在RtΔAED和AD=BCAE=BF∴Rt（2）由（1）知Rt∴∠A=∠B∴AE∥BF．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和平行線的判定，能熟練地運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【滿分訓練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?如皋市期中）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．【解答】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個角及其夾邊．∴根據(jù)三角形的判定方法ASA可解決此題．故選：C．2．（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【分析】由“HL”可證Rt△ABD和Rt△CDB．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故選：A．3．（2020秋?無錫期末）下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等 C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對4個選項逐個分析，然后即可得出答案．【解答】解：A、兩邊分別相等，但是不一定是對應邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；B、一條邊和一銳角對應相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對應相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等，故此選項符合題意；故選：D．4．（2020秋?中山區(qū)期末）下列關(guān)于全等三角形的說法中，正確的是（）A．周長相等的兩個等邊三角形全等 B．周長相等的兩個等腰三角形全等 C．周長相等的兩個直角三角形全等 D．周長相等的兩個鈍角三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的概念、性質(zhì)定理和判定定理判斷即可．【解答】解：A、周長相等的兩個等邊三角形的三邊對應相等，則這兩個等邊三角形全等，故本選項說法正確；B、周長相等的兩個等腰三角形的對應邊（對應角）不一定相等，則這兩個等腰三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；C、周長相等的兩個直角三角形的對應邊（對應角）不一定相等，則這兩個等腰三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；D、周長相等的兩個鈍角三角形全等的對應邊（對應角）不一定相等，則這兩個等腰三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；故選：A．5．（2019秋?東?？h期中）下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．一組銳角和斜邊分別對應相等 B．兩個銳角分別對應相等 C．兩組直角邊分別對應相等 D．斜邊和一組直角邊分別對應相等【分析】由直角三角形全等判定依次判斷可求解．【解答】解：A、若一組銳角和斜邊分別對應相等，可證這兩個直角三角形全等，故選項A不符合題意；B、若兩個銳角分別對應相等，不能證明這兩個直角三角形全等，故選項B符合題意；C、若兩組直角邊分別對應相等，可證這兩個直角三角形全等，故選項C不符合題意；D、若斜邊和一組直角邊分別對應相等，可證這兩個直角三角形全等，故選項D不符合題意；故選：B．6．（2019秋?沭陽縣期中）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點O．如果AB＝AC，那么圖中全等的直角三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】共有3對，分別為△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做題時要從已知條件開始結(jié)合圖形利用全等的判定方法由易到難逐個尋找即可．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；∴共有3對全等直角三角形，故選：C．7．（2019秋?邳州市期中）下列條件不可以判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊對應相等 B．兩個銳角對應相等 C．一條直角邊和它所對的銳角對應相等 D．一個銳角和銳角所對的直角邊對應相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對4個選項逐個分析，然后即可得出答案．【解答】解：A、兩條直角邊對應相等，可利用全等三角形的判定定理SAS來判定兩直角三角形全等，故本選項正確；B、兩個銳角對應相等，再由兩個直角三角形的兩個直角相等，AAA沒有邊的參與，所以不能判定兩個直角三角形全等；故本選項錯誤；C、一條直角邊和它所對的銳角對應相等，可利用全等三角形的判定定理ASA來判定兩個直角三角形全等；故本選項正確；D、一個銳角和銳角所對的直角邊對應相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS來判定兩個直角三角形全等；故本選項正確；故選：B．8．（2019秋?興化市期中）如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法HL即可直接得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故選：C．9．（2021春?榆陽區(qū)期末）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)直角三角形的全等的條件進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①當AC＝AD時，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②當∠ABC＝∠ABD時，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③當BC＝BD時，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故選：D．10．（2017春?來賓期末）如圖，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以證明△BAD≌△BCD的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．AAS【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB．題中還隱含了公共邊這個條件，由此就可以證明△BAD≌△BCD，全等容易看出．【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，DB＝DB，∴△BAD≌△BCD（HL）．故選：A．二．填空題（共6小題）11．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件AB＝DE，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法解決此題．【解答】解：補充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．12．（2020秋?秦淮區(qū)期末）結(jié)合圖，用符號語言表達定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DFAB＝DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據(jù)條件可知，少一組斜邊，所以可添加為：AB＝DE．【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案為：AB＝DE．13．（2020秋?洛陽期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件AB＝AC．【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）可得需要添加條件AB＝AC．【解答】解：還需添加條件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案為：AB＝AC．14．（2021春?普寧市期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需加條件AB＝AC．【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）可得需要添加條件AB＝AC．【解答】解：還需添加條件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案為：AB＝AC．15．（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BF＝AC，CD＝DF，證明圖中兩個直角三角形全等的依據(jù)是定理HL．【分析】根據(jù)HL可證明Rt△ACD≌Rt△BFD．【解答】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．故答案為：HL．16．（2019秋?高郵市月考）下列說法正確的有3個．（1）兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等．（2）有一銳角和斜邊對應相等的兩直角三角形全等．（3）一條直角邊和一個銳角對應相等的兩直角三角形全等．（4）面積相等的兩個直角三角形全等．【分析】利用全等三角形的判定方法逐個判斷即可．【解答】解：（1）當這兩條邊都是直角邊時，結(jié)合直角相等，則可用SAS可判定兩個三角形全等，當這兩條邊一條是斜邊一條是直角邊時，可用HL判定這兩個直角三角形全等，故（1）正確；（2）有一銳角和斜邊對應相等時，結(jié)合直角，可用AAS來判定這兩個直角三角形全等，故（2）正確；（3）當一條直角邊和一個銳角對應相等時，結(jié)合直角，可用AAS或ASA來證明這兩個直角三角形全等，故（3）正確；（4）當兩個三角形面積相等時，這兩個直角三角形不一定會等，故（4）不正確；綜上可知正確的有3個，故答案為：3．三．解答題（共6小題）17．（2020秋?嵩縣期中）如圖，已知點A，B，C，D在同一條直線上，EA⊥AB，F(xiàn)D⊥AD，AB＝CD，若用“HL”證明Rt△AEC≌△Rt△DFB，需添加什么條件？并寫出你的證明過程．【分析】先求出AC＝BD，∠A＝∠D＝90°，再根據(jù)HL定理推出即可．【解答】條件是EC＝BF，證明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD，∵EA⊥AB，F(xiàn)D⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△AEC和△Rt△DFB中∴Rt△AEC≌△Rt△DFB（HL）．18．（2020春?岱岳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因為∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．【解答】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．19．（2019秋?鐵東區(qū)期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求證：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】先由BF＝EC得到BC＝EF，再根據(jù)“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．20．（2019春?合浦縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB＝CB，AE＝CF，利用HL可證Rt△ABE≌Rt△CBF．【解答】證明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．21．（2019秋?桐城市期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過B、C向過A的直