人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題04反比例函數(shù)與一次函數(shù)的有關問題(原卷版+解析)

專題04反比例函數(shù)與一次函數(shù)的有關問題考點一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷考點二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題考點三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用考點一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷例題：（2022·江蘇無錫·八年級期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（

）A．B．C． D．【變式訓練】1．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象大致是（）A．B．C． D．2．（2022·重慶黔江·八年級期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．3．（2022·山東青島·九年級期末）反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象可能是（

）A．B．C．D．4．（2021·湖南·道縣朝陽學校九年級階段練習）已知一次函數(shù)的圖像如圖，那么正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖像大致是(

)A．B．C．D．5．（2022·山東省濟南第五十六中學九年級階段練習）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象是（

）A．B．C．D．6．（2022·四川·仁壽縣鰲峰初級中學八年級期中）如圖，函數(shù)y＝kx＋k和函數(shù)y＝在同一坐標系內(nèi)的圖像大致是（

）A． B． C． D．7．（2022·山東菏澤·中考真題）根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)的圖象，判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．8．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學校八年級期中）如圖，關于x的函數(shù)y＝kx﹣k和（k≠0），它們在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是（

）A． B． C． D．考點二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題例題：（2021·廣西·北海市外國語實驗學校九年級階段練習）如圖，已知直線y1＝x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)（k≠0，x＜0）交于C，D兩點，且C點的坐標為（﹣1，2）．(1)求出反比例函數(shù)的表達式；(2)求出點D的坐標；(3)利用圖象直接寫出：當x在什么范圍內(nèi)取值時，y1＞y2．【變式訓練】1．（2022·山東·九年級階段練習）如圖，正比例函數(shù)（為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象相交于A（2，m）和兩點，則不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．或2．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學校模擬預測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（m為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過A(-1，2)，B(2，-1)，結合圖象，則不等式的解集是（

）A． B． C．或 D．或3．（2022·江蘇·張家港市梁豐初級中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）兩點，與x軸交于點C．則不等式的解集為______．4．（2022·全國·九年級專題練習）若雙曲線與直線AB：只有一個公共點P，則k=________．5．（2022·廣東·華南師大附中三模）如圖，過點A（4，5）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于B，C兩點，若函數(shù)的圖象與△ABC的邊有2個公共點，則k的取值范圍是______．6．（2022·山東濱州·九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限的交點為點C，CD⊥x軸，垂足為點D，若，，的面積為3.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出當時，的解集.7．（2021·湖南·道縣朝陽學校九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)圖象與軸，軸分別相交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點、，已知點，點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)求△EOF的面積；(3)結合該圖象直接寫出滿足不等式的解集．8．（2022·遼寧·沈陽市第七中學九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和點．(1)求一次函數(shù)的表達式及m的值；(2)根據(jù)圖象直接寫出當時，的取值范圍；(3)將一次函數(shù)的圖象平移，使其經(jīng)過坐標原點．當另一反比例函數(shù)的圖象與平移后的一次函數(shù)圖象無交點時，直接寫出k的取值范圍．9．（2022·湖南·李達中學九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第二、四象限內(nèi)的點和點，過點A作軸的垂線，垂足為點C，的面積為4．(1)分別求出和的值；(2)結合圖象直接寫出的解集；(3)在軸上取一點P，當取得最大值時，求P點的坐標．10．（2021·江蘇·宿遷市鐘吾國際第一初級中學八年級期中）如圖，直線y＝ax＋b與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象相交于點A、點B，與x軸交于點C，其中點A的坐標為（-2，6），點B的橫坐標為-6，(1)試確定反比例函數(shù)的關系式；(2)求點C的坐標；(3)點M是x軸上的一個動點．①若點M在線段OC上，且△AMB的面積為8，求點M的坐標；②點N是平面直角坐標系中的一點，當以A、B、M、N四點為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點N的坐標，考點三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用例題：（2022·全國·九年級單元測試）當下教育主管部門提倡加強高效課堂建設，要求教師課堂上要精講，把時間、思考、課堂還給學生．通過實驗發(fā)現(xiàn)：學生在課堂上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始后，學生的學習興趣遞增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)高效狀態(tài)，后階段注意力開始分散．學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當和時，圖象是線段，當時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．(1)求點對應的指標值．(2)如果學生在課堂上的注意力指標不低于30屬于學習高效階段，請你求出學生在課堂上的學習高效時間段．【變式訓練】1．（2022·湖南郴州·九年級階段練習）通過心理專家實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，指標達到或超過36時為認真聽講階段，學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖所示．當和圖像是線段，當時是反比例函數(shù)的一部分．(1)求點對應的指標值；(2)李老師在一節(jié)課上講一道數(shù)學綜合題需17分鐘，他能否經(jīng)過適當安排使學生在認真聽講階段進行講解，請說明理由．2．（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關學校九年級階段練習）某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷售量與上市的天數(shù)之間成正比，當廣告停止后，銷售量與上市的天數(shù)之間成反比（如圖），現(xiàn)已知上市30天時，當日銷售量為120萬件．(1)寫出該商品上市以后銷售量y（萬件）與時間x（天數(shù)）之間的表達式；(2)求上市至第100天（含第100天），日銷售量在36萬件以下（不含36萬件）的天數(shù)；(3)廣告合同約定，當銷售量不低于100萬件，并且持續(xù)天數(shù)不少于12天時，廣告設計師就可以拿到“特殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設計師能否拿到“特殊貢獻獎”？3．（2022·湖北省直轄縣級單位·九年級階段練習）為應對全球爆發(fā)的新冠疫情，某疫苗生產(chǎn)企業(yè)于年月份開始了技術改造，其月生產(chǎn)數(shù)量（萬支）與月份之間的變化如圖所示，技術改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解答下列問題：(1)該疫苗生產(chǎn)企業(yè)月份的生產(chǎn)數(shù)量為多少萬支？(2)該疫苗生產(chǎn)企業(yè)有多少個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過萬支？4．（2022·全國·九年級專題練習）某醫(yī)藥研究所研制了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.2微克，第100分鐘達到最高，接著開始衰退．血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數(shù)關系如圖，并發(fā)現(xiàn)衰退時y與x成反比例函數(shù)關系．(1)_____________；(2)當時，y與x之間的函數(shù)關系式為_____________；當時，y與x之間的函數(shù)關系式為_____________；(3)如果每毫升血液中含藥量不低于10微克時是有效的，求出一次服藥后的有效時間多久？5．（2022·江蘇·濱?？h教師發(fā)展中心二模）小麗家飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱，此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）滿足一次函數(shù)關系，當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降，此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）成反比例關系，當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱……，重復上述程序（如圖所示），根據(jù)圖中提供的信息，解答問題：(1)當時，求水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關系式；(2)求圖中t的值；(3)若小麗在通電開機后即外出散步，請你預測小麗散步70分鐘回到家時，飲水機內(nèi)的溫度約為多少℃？6．（2022·浙江·寧波市曙光中學二模）如圖是一次藥物臨床試驗中受試者服藥后學業(yè)中的藥物濃度（微克/毫升）與用藥的時間（小時）變化的圖象．第一次服藥后對應的圖象由線段和部分雙曲線組成，服藥6小時后血液中的藥物濃度達到最高，16小時后開始第二次服藥，服藥后對應的圖象由線段和部分曲線組成，其中與平行．血液中的濃度不低于5微克/毫升時有療效．(1)分別求受試者第16小時，第22小時血液中的藥物濃度；(2)受試者第一次服藥后第二次服藥前這16小時內(nèi)，有療效的持續(xù)時間達到6小時嗎?(3)若血液中的藥物濃度不高于4微克/毫升時才能進行第三次服藥，問受試者第二次服藥后至少經(jīng)過幾小時可進行第三次服藥?專題04反比例函數(shù)與一次函數(shù)的有關問題考點一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷考點二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題考點三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用考點一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷例題：（2022·江蘇無錫·八年級期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定k和b的符號，進一步確定反比例函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：A選項中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故A選項不符合題意；B選項中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故B選項不符合題意；C選項中，一次函數(shù)b=0，∵kb≠0，故C選項不符合題意；D選項中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與參數(shù)的關系是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象大致是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)k的取值范圍，分別討論和時的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點進行選擇正確答案．【詳解】解：①當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過一、三象限，故B選項的圖象符合要求，②當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過二、四象限，沒有符合條件的選項．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)．一次函數(shù)：①當，時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限；②當，時，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限；③當，時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限；④當，時，一次函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限；反比例函數(shù)的（k≠0），①當時，反比例函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過一、三象限；②當時，反比例函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過二、四象限．2．（2022·重慶黔江·八年級期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)進行判斷即可得解．【詳解】當時，，則一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故排除C，D選項；當時，，則一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故排除B選項，故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)與函數(shù)圖象的關系是解決本題的關鍵．3．（2022·山東青島·九年級期末）反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象所處的象限．【詳解】解：由反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=kx-3可知，當k＞0時，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，一次函數(shù)的圖象通過一、三、四象限，當k＜0時，反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，一次函數(shù)的圖象通過二、三、四象限，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2021·湖南·道縣朝陽學校九年級階段練習）已知一次函數(shù)的圖像如圖，那么正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖像大致是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖像得出和的取值，然后根據(jù)和的取值確定正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像即可．【詳解】解：根據(jù)一次函數(shù)的圖像可知，圖像經(jīng)過二、三、四象限，隨增大而減小，函數(shù)圖像與軸交于負半軸，，正比例函數(shù)的圖形經(jīng)過二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，則正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖像大致是：，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖形性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)是解本題的關鍵．5．（2022·山東省濟南第五十六中學九年級階段練習）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，用排除法解答即可．【詳解】解：A．∵的圖象應經(jīng)過原點，故A不正確；B．由的圖象得，由的圖象得，矛盾，故B不正確；C．由的圖象得，由的圖象得，故C正確；D．由的圖象得，由的圖象得，矛盾，故D不正確；故選C．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)綜合，熟練掌握正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵．6．（2022·四川·仁壽縣鰲峰初級中學八年級期中）如圖，函數(shù)y＝kx＋k和函數(shù)y＝在同一坐標系內(nèi)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將一次函數(shù)化簡為，得出x軸的交點為，據(jù)此排除選項A、C，考慮時及時，判斷兩個函數(shù)經(jīng)過的象限即可得出結果．【詳解】解：AC.，函數(shù)與x軸的交點為，故A、C不合題意；B.函數(shù)，且為常數(shù)中時，反比例函數(shù)圖像在一、三象限，此時的圖像在第一、二、三象限，故B符合題意；當函數(shù)，且為常數(shù)中時，反比例函數(shù)圖像在二、四象限，此時的圖像在第二、三、四象限，故D錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像是解題關鍵．7．（2022·山東菏澤·中考真題）根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)的圖象，判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象，確定a、b、c的符號，再根據(jù)a、b、c的符號判斷反比例函數(shù)y與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象經(jīng)過的象限即可．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知a＞0，c＜0，由對稱軸x0，可知b＜0，所以反比例函數(shù)y的圖象在一、三象限，一次函數(shù)y＝bx+c經(jīng)過二、三、四象限．故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，關鍵在于通過二次函數(shù)圖象推出a、b、c的取值范圍．8．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學校八年級期中）如圖，關于x的函數(shù)y＝kx﹣k和（k≠0），它們在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限判斷出k的符號；然后由k的符號判定一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限，圖象一致的選項即為正確選項．【詳解】解：A、反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k＞0．所以一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負半軸，故本選項錯誤；B、反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k＜0．所以一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；C、反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k＞0．所以一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負半軸，故本選項正確；D、反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k＜0．所以一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特點：①反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；②當k＞0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；③當k＜0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．考點二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題例題：（2021·廣西·北海市外國語實驗學校九年級階段練習）如圖，已知直線y1＝x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)（k≠0，x＜0）交于C，D兩點，且C點的坐標為（﹣1，2）．(1)求出反比例函數(shù)的表達式；(2)求出點D的坐標；(3)利用圖象直接寫出：當x在什么范圍內(nèi)取值時，y1＞y2．【答案】(1)y2＝﹣(2)D（﹣2，1）(3)當﹣2＜x＜﹣1時，y1＞y2【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即求得；（2）解析式聯(lián)立，解方程組即可求得D點的坐標；（3）根據(jù)函數(shù)圖像的位置關系，即可求得．（1）∵點C（-1，2）在反比例函數(shù)y2＝（k≠0，x＜0）上，∴k=-1×2=-2，∴反比例函數(shù)的表達式為y2＝﹣；（2）解得或∴D（-2，1）（3）由圖象可知：當﹣2＜x＜﹣1時，y1＞y2．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·山東·九年級階段練習）如圖，正比例函數(shù)（為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象相交于A（2，m）和兩點，則不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征求得B（2，m），然后根據(jù)函數(shù)的圖象的交點坐標即可得到結論．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，且a≠0）和反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象相交于A（2，m）和B兩點，∴B（2，m），∴不等式的解集為x＜-2或0＜x＜2，故選：D．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，關鍵是注意掌握數(shù)形結合思想的應用．2．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學校模擬預測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（m為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過A(-1，2)，B(2，-1)，結合圖象，則不等式的解集是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的的取值范圍便是不等式的解集．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)為常數(shù)且的圖象上方時，的取值范圍是：或，不等式的解集是或，故選C．【點睛】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結合是解題的關鍵．3．（2022·江蘇·張家港市梁豐初級中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）兩點，與x軸交于點C．則不等式的解集為______．【答案】或【分析】用函數(shù)的觀點將不等式問題轉化為函數(shù)圖象問題；【詳解】解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）兩點，∴由圖象可得，不等式的解集為或，故答案為：或【點睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題，用函數(shù)的觀點解決不等式問題．4．（2022·全國·九年級專題練習）若雙曲線與直線AB：只有一個公共點P，則k=________．【答案】3【分析】聯(lián)立，，可得，根據(jù)雙曲線和直線AB只有一個公共點P，結合一元二次方程的根的判別式，列式并求解即可獲得答案．【詳解】解：聯(lián)立，，可得，整理得，∵雙曲線y=與直線AB只有一個公共點P，∴有兩個相等實數(shù)根，即，解得k=3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用、一元二次方程的根的判別式等知識，熟練掌握相關性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想分析問題是解題關鍵．5．（2022·廣東·華南師大附中三模）如圖，過點A（4，5）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于B，C兩點，若函數(shù)的圖象與△ABC的邊有2個公共點，則k的取值范圍是______．【答案】5＜k＜8或9＜k＜20【分析】根據(jù)題意可以分別求得點B、點C的坐標，從而可以得到k的取值范圍．【詳解】解：∵過點A（4，5）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y＝?x＋6于B、C兩點，∴點B的縱坐標為5，點C的橫坐標為4，將y＝5代入y＝?x＋6，得x＝1，將x＝4代入y＝?x＋6得，y＝2，∴點B的坐標為（1，5），點C的坐標為（4，2），令，整理得，，Δ＝36?4k＝0，解得k＝9，∵函數(shù)（x＞0）的圖象與△ABC的邊有兩個公共點，點A（4，5），點B（1，5），C（4，2），∴1×5＜k＜4×2或9＜k＜4×5，即5＜k＜8或9＜k＜20，故答案為：5＜k＜8或9＜k＜20．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．6．（2022·山東濱州·九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限的交點為點C，CD⊥x軸，垂足為點D，若，，的面積為3.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出當時，的解集.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角形面積求出OA，得出A、B的坐標，代入一次函數(shù)的解析式即可求出解析式，再求出C的坐標，把C的坐標代入反比例函數(shù)的解析式求出即可；（2）根據(jù)圖象即可得出的解集．（1）（1）∵，，∴，∴，，代入得：，解得：，，∴一次函數(shù)，∵，∴，軸，當時，，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式是；（2）∵兩圖像的交點，如下圖所示，當時，得，即一次函數(shù)的圖形在反比例函數(shù)的上方，∴當時，的解集是.【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題、函數(shù)的圖象的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和計算能力.7．（2021·湖南·道縣朝陽學校九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)圖象與軸，軸分別相交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點、，已知點，點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)求△EOF的面積；(3)結合該圖象直接寫出滿足不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為；(2)；(3)或．【分析】（1）把點的坐標代入，利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)解析式求得的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點坐標，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式求得點坐標，然后根據(jù)即可求得的面積；（3）根據(jù)圖象即可求得不等式的解集．（1）解：把代入一次函數(shù)解析式得：，解得：，即一次函數(shù)解析式為，把代入一次函數(shù)解析式得：，∴，點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：一次函數(shù)的圖象與軸相交于點，∴．聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式得：，解得：或，∴點，則；（3）解：根據(jù)圖象得不等式的解集為：或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、三角形的面積、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點，解題的關鍵是求得兩函數(shù)的解析式．8．（2022·遼寧·沈陽市第七中學九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和點．(1)求一次函數(shù)的表達式及m的值；(2)根據(jù)圖象直接寫出當時，的取值范圍；(3)將一次函數(shù)的圖象平移，使其經(jīng)過坐標原點．當另一反比例函數(shù)的圖象與平移后的一次函數(shù)圖象無交點時，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)，m=6(2)(3)【分析】(1)首先將A、B兩點的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，即可求得m的值及點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可；(2)當x=2時，，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求得；(3)將一次函數(shù)平移后即可得到新的一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的圖象，即可判斷出反比例函數(shù)的系數(shù)k的取值范圍．（1）解：將點A的坐標代入，得m=6，，將點B的坐標代入，得，解得n=-3，故點B的坐標為(-3,-2)，將A、B的坐標分別代入，得解得故一次函數(shù)的解析式為；（2）解：當x=2時，，在第一象限內(nèi)，隨x的增大而減小，當時，的取值范圍為：；（3）解：將一次函數(shù)的圖象平移，使其經(jīng)過坐標原點，可得，此函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，要使反比例函數(shù)的圖象與平移后的一次函數(shù)的圖象無交點，則反比例函數(shù)的圖象必經(jīng)過第二、四象限，故，故k的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．9．（2022·湖南·李達中學九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第二、四象限內(nèi)的點和點，過點A作軸的垂線，垂足為點C，的面積為4．(1)分別求出和的值；(2)結合圖象直接寫出的解集；(3)在軸上取一點P，當取得最大值時，求P點的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）利用的幾何意義，求出反比例函數(shù)解析式，再求出兩點坐標，待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)圖象，找到雙曲線在直線上方時，的取值范圍即可；（3）作關于軸的對稱點，連接，交軸與點，求出直線的解析式，再求出點坐標即可．（1）解：由得，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴，∴反比例函數(shù)：，將，代入，解得，；（2）由（1）知，，結合圖象可知的解集為或；（3）解：作關于軸的對稱點，連接交軸與點，連接，則當且僅當，，，三點共線時，取“=”號，有最大值.設，代入，，有，解得，∴，取，得，∴；故當取得最大值時：．．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應用．正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關鍵．10．（2021·江蘇·宿遷市鐘吾國際第一初級中學八年級期中）如圖，直線y＝ax＋b與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象相交于點A、點B，與x軸交于點C，其中點A的坐標為（-2，6），點B的橫坐標為-6，(1)試確定反比例函數(shù)的關系式；(2)求點C的坐標；(3)點M是x軸上的一個動點．①若點M在線段OC上，且△AMB的面積為8，求點M的坐標；②點N是平面直角坐標系中的一點，當以A、B、M、N四點為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點N的坐標，【答案】(1)反比例函數(shù)的關系式為：y=-；(2)C（-8，0）；(3)①M（-4，0）；②點N的坐標為：（2，4）或（，4）或（-8，8）．【分析】（1）把點A的坐標代入反比例函數(shù)y=中，可得k的值，寫出反比例函數(shù)的關系式；（2）先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，再令y=0，可得點C的坐標；（3）①設M（x，0），根據(jù)面積差列式：=8，可得x的值，則M（-4，0）；②以A、B、M、N四點為頂點的四邊形是菱形時，分AB為邊和對角線兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)可計算點N的坐標．（1）解：∵點A的坐標為（-2，6），∴k=-2×6=-12，∴反比例函數(shù)的關系式為：y=-；（2）解：當x=-6時，y=-=2，∴B（-6，2），把點A（-2，6）和B（-6，2）代入y=ax+b得：，解得：，∴y=x+8，當y=0時，x+8=0，x=-8，∴C（-8，0）；（3）解：①設M（x，0），∵D（0，8），∴OD=8，∵=8，∴=8，∴×8×6-?(x+8)×2-×6(-x)=8，x=-4，∴M（-4，0）；②如圖2，過A作AEy軸，過B作BEx軸，∵A（-2，6），B（-6，2），∴AE=BE=4，∴AB=4，過B作BF⊥x軸于F，如圖2，則BF=2，分兩種情況：①以AB為邊，當M在F的右側時，∵FM==2，∴OM=2-6，∴點M（2-6，0），根據(jù)“點B向右平移4個單位，向上平移4個單位得到點A”的平移規(guī)律，可得N的坐標為（2-6+4，0+4），∴N（2，4）；當M在F的左側時，同理求得FM=2，∴OM=-2-6，∴點M（-2-6，0），同理由平移的性質(zhì)得N（，4）；②以AB為對角線時，如圖3，此時因為A、B對稱，所以M與O重合，∵AB的解析式為：y=x+8，∴OD=OC=8，C（-8，0），D（0，8），∴△OHD是等腰直角三角形，∵四邊形ANBM是菱形，∴AB⊥MN，∴點G是CD的中點，也是MN的中點，∴點G（-4，4），∴點N（-8，8）；綜上所述，點N的坐標為：（2，4）或（，4）或（-8，8）．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，也考查了三角形面積公式、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，并注意運用分類討論的思想解決問題．考點三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用例題：（2022·全國·九年級單元測試）當下教育主管部門提倡加強高效課堂建設，要求教師課堂上要精講，把時間、思考、課堂還給學生．通過實驗發(fā)現(xiàn)：學生在課堂上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始后，學生的學習興趣遞增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)高效狀態(tài)，后階段注意力開始分散．學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當和時，圖象是線段，當時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．(1)求點對應的指標值．(2)如果學生在課堂上的注意力指標不低于30屬于學習高效階段，請你求出學生在課堂上的學習高效時間段．【答案】(1)點對應的指標值為20，(2)注意力指標不低于30的高效時間段是上課4分鐘到30分鐘之間，【分析】（1）用待定系數(shù)法，設反比例函數(shù)為，將點代入可得反比例函數(shù)解析式，再將代入可解；（2）用待定系數(shù)法求出AB段的直線方程，再分類討論可解．（1）解：設反比例函數(shù)為，由圖可知點在的圖象上，∴，∴將代入得：點對應的指標值為（2）（2）設直線的解析式為，將、代入中，得，解得∴直線的解析式為①當時，解得：，②當時，45>30,顯然注意力指標高于30，③當時，，解得：，綜上所述：∴注意力指標不低于30的高效時間段是上課4分鐘到30分鐘之間．【點睛】本題考查，待定系數(shù)法，分段函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，審清題意求出函數(shù)解析式和分類討論是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·湖南郴州·九年級階段練習）通過心理專家實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，指標達到或超過36時為認真聽講階段，學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖所示．當和圖像是線段，當時是反比例函數(shù)的一部分．(1)求點對應的指標值；(2)李老師在一節(jié)課上講一道數(shù)學綜合題需17分鐘，他能否經(jīng)過適當安排使學生在認真聽講階段進行講解，請說明理由．【答案】(1)20(2)能，理由見解析【分析】（1）設當時，反比例函數(shù)的解析式為，將點C代入確定反比例函數(shù)解析式即可確定點D的坐標，確定點A的坐標；（2）設當時，的解析式為，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的值為求解即可．（1）解：設當時，反比例函數(shù)的解析式為，將代入得：，解得，反比例函數(shù)的解析式為，當時，，，，即對應的指標值為20；（2）設當時，的解析式為，將、代入得：，解得，的解析式為當時，，解得，由（1）得反比例函數(shù)的解析式為，當時，解得，當時，注意力指標都不低于36，指標達到36為認真聽講，而，李老師能經(jīng)過適當?shù)陌才牛箤W生在認真聽講時，進行講解．【點睛】題目主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)及應用是解題關鍵．2．（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關學校九年級階段練習）某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷售量與上市的天數(shù)之間成正比，當廣告停止后，銷售量與上市的天數(shù)之間成反比（如圖），現(xiàn)已知上市30天時，當日銷售量為120萬件．(1)寫出該商品上市以后銷售量y（萬件）與時間x（天數(shù)）之間的表達式；(2)求上市至第100天（含第100天），日銷售量在36萬件以下（不含36萬件）的天數(shù)；(3)廣告合同約定，當銷售量不低于100萬件，并且持續(xù)天數(shù)不少于12天時，廣告設計師就可以拿到“特殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設計師能否拿到“特殊貢獻獎”？【答案】(1)；(2)8(3)能【分析】（1）分類討論當時或當時，分別設函數(shù)解析式，代入求值即可；（2）分類討論當時或當時，分別不等式即可求解；（3）分類討論當時或當時，分別不等式即可求解；（1）解：根據(jù)題意可知：當時，設與的函數(shù)解析式為，∴，解得：，∴；當時，設與的函數(shù)解析式為，∴，解得：∴綜上所述，該商品上市以后銷售量y（萬件）與時間x（天數(shù)）之間的表達式為：；．

（2）解：當時，令，解得：，∴，∴銷量不到36萬件的天數(shù)為8天；當時，令，解得：（不符合題意），∴上市至第100天（含第100天），日銷售量在36萬件以下（不含36萬件）的天數(shù)為8天；（3）解：當時，令，解得：∴，∴銷量超過100萬件的天數(shù)為6天，當時，令，解得：∴，銷量超過100萬件的天數(shù)為6天，綜上所述，銷售量不低于100萬件，并且持續(xù)天數(shù)為12天，廣告設計師可以拿到“特殊貢獻獎”．【點睛】本題考查了分段函數(shù)的實際運用，把握正比函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)和運用分類討論思想是解決本題的關鍵．3．（2022·湖北省直轄縣級單位·九年級階段練習）為應對全球爆發(fā)的新冠疫情，某疫苗生產(chǎn)企業(yè)于年月份開始了技術改造，其月生產(chǎn)數(shù)量（萬支）與月份之間的變化如圖所示，技術改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解答下列問題：(1)該疫苗生產(chǎn)企業(yè)月份的生產(chǎn)數(shù)量為多少萬支？(2)該疫苗生產(chǎn)企業(yè)有多少個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過萬支？【答案】(1)45萬支(2)6個月【分析】（1）根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出技術改造完成前對應的函數(shù)解析式，然后將代入求出相應的的值即可；（2）根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出技術改造完成前、后與的函數(shù)解析式，再結合為正整數(shù)，利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．（1）解：由題意，當時，可設與的函數(shù)關系式為，點在該函數(shù)圖象上，，解得，，當時，，即該疫苗生產(chǎn)企業(yè)4月份的生產(chǎn)數(shù)量為45萬支．（2）解：當時，，當時，，在內(nèi)，反比例函數(shù)的隨的增大而減小，當時，，設技術改造完成后對應的函數(shù)解析式為，點，在該函數(shù)圖象上，，解得，則技術改造完成后對應的函數(shù)解析式為，當時，，解得，在內(nèi)，一次函數(shù)的隨的增大而增大，當時，，綜上，，又為正整數(shù)，的所有可能的取值為2，，，，，，共有6個，答：該疫苗生產(chǎn)企業(yè)有6個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過萬支．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法和反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．4．（2022·全國·九年級專題練習）某醫(yī)藥研究所研制了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.2微克，第100分鐘達到最高，接著開始衰退．血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數(shù)關系如圖，并發(fā)現(xiàn)衰退時y與x成反比例函數(shù)關系．(1)_____________；(2)當時，y與x之間的函數(shù)關系式為_____________；當時，y與x之間的函數(shù)關系式為_____________；(3)如果每毫升血液中含藥量不低于10微克時是有效的，求出一次服藥后的有效時間多久？【答案】(1)19(2)；(3)135分鐘【分析】（1）利用第5分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.2微克即可得到第100分鐘相應的a值；（2