山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGEPAGE20山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)和科類填寫(xiě)在答題卡和答題紙規(guī)定的位置上.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必需寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫(xiě)在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不能運(yùn)用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.填空題請(qǐng)干脆填寫(xiě)答案，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第Ⅰ卷（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)虛部為.A.-2 B.-1 C.1 D.2.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則去計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，虛部是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部推斷，難度較易.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，留意利用平方差公式的形式將分母實(shí)數(shù)化去計(jì)算2.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由函數(shù)在某一點(diǎn)處的定義可知，.考點(diǎn)：函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義.3.已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)n的值為（）A.4 B.6 C.8 D.24【答案】B【解析】【分析】干脆用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算即可.【詳解】由題意①，②，由①②可得，，所以，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知二項(xiàng)分布的期望和方差求參數(shù)的問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道基礎(chǔ)題.4.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品概率算出來(lái)，再依據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可算出．【詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的概率,解題時(shí)要留意二項(xiàng)分布公式的敏捷運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題．5.同時(shí)拋擲一顆紅骰子和一顆藍(lán)骰子，視察向上的點(diǎn)數(shù)，記“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4”為事務(wù)，“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”為事務(wù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法分別寫(xiě)出事務(wù)和紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4且兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7的基本領(lǐng)件，再依據(jù)條件概率的公式求出.【詳解】解：由題可知，事務(wù)為“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4”，而紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4的有：1，2，3，共3種狀況，則，而“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4且兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”有：，共3種狀況，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用條件概率公式求概率，考查分析問(wèn)題實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力.6.已知?jiǎng)t（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】令,可得，令代入等式，可得，從而得到答案..【詳解】由令得：，則令得：所以，則故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求解系數(shù)和，系數(shù)和問(wèn)題一般是利用賦值法進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，是可導(dǎo)函數(shù)，直線是曲線在處的切線，令，是的導(dǎo)函數(shù)，則（）．A.－1 B.0 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程得出的值，得出以及，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，即可得出的值．【詳解】將點(diǎn)代入直線的方程得，得，所以，，由于點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在處理直線與函數(shù)圖象相切的問(wèn)題時(shí)，抓住以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點(diǎn)是切線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)．8.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)增，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上大于等于零恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其最值，求得結(jié)果.【詳解】，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，則在上恒成立，令，則，可以得出時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為依據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)增，確定參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題目.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分9.以下為真命題的是（）A.純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于 B.若，則C.若，則與互為共軛復(fù)數(shù) D.若，則與互為共軛復(fù)數(shù)【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)純虛數(shù)的概念即可推斷A選項(xiàng)；依據(jù)實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可推斷BCD選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，若為純虛數(shù)，可設(shè)，則，即純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于，故A正確；對(duì)于B，由，得出，可設(shè)，則，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，則，但不肯定相等，所以與不肯定互為共軛復(fù)數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，則與互為共軛復(fù)數(shù)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題的真假性，考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，涉及實(shí)數(shù)、純虛數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012450.30.20.20.1若離散型隨機(jī)變量滿意，則下列結(jié)果正確的有（）A B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求得，可求出和，再由離散型隨機(jī)變量滿意，從而可求出.【詳解】解：由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：，則，，即，因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量滿意，故結(jié)果正確的有AC.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假性的推斷，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，考查運(yùn)算求解實(shí)力.11.如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列推斷正確的是（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.是的微小值點(diǎn)C.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)D.是的極大值點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值的關(guān)系推斷．【詳解】在上，遞減，A錯(cuò)；，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以是的微小值點(diǎn)，B正確；在上，，遞增，在上，遞減，C正確；在區(qū)間上是增函數(shù)，不是的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)．故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值的關(guān)系，駕馭用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性的方法是解題關(guān)鍵．12.下列命題正確的是（）A.已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，且，則B.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回來(lái)方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回來(lái)直線方程為，若.，則D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解；對(duì)B，將兩邊取對(duì)數(shù)，可得，結(jié)合已知，進(jìn)行求解；對(duì)C，依據(jù)回來(lái)直線方程必過(guò)樣本點(diǎn)中心，求解；對(duì)D，依據(jù)二項(xiàng)式定理，寫(xiě)出綻開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】對(duì)A，隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，，，且可得：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，兩邊取對(duì)數(shù)，可得令，可得，故B正確；對(duì)C，其回來(lái)直線方程為，且.回來(lái)直線方程必過(guò)樣本點(diǎn)中心，，解得，故C正確；對(duì)D，即化簡(jiǎn)可得：，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是駕馭正態(tài)分布的特征和回來(lái)直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心，及其二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)的橫線上）13.復(fù)數(shù)______．【答案】1【解析】【分析】利用運(yùn)算的周期性求解【詳解】故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，涉及運(yùn)算的周期性，是基礎(chǔ)題14.在楊輝的《詳解九章算法》中載有一個(gè)“開(kāi)方作法本源”圖，就是“楊輝三角”．我們可以從中發(fā)覺(jué)下列的等式：第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，第5行：，那么由此可得，第2024行的等式等號(hào)右側(cè)的數(shù)值為_(kāi)________．（結(jié)果保留最簡(jiǎn)形式）【答案】【解析】【分析】視察前幾行可得規(guī)律為，，，可歸納猜想得第行為，得出答案.【詳解】第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，第5行：歸納猜想可得第行為所以第2024行的等式等號(hào)右側(cè)的數(shù)值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，依據(jù)有限的信息得出規(guī)律，歸納出一般結(jié)論，考查學(xué)生的抽象概括實(shí)力，屬于中檔題.15.現(xiàn)隨機(jī)支配甲、乙、丙3名志愿者為某學(xué)生輔導(dǎo)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科，每名志愿者至少輔導(dǎo)1門(mén)學(xué)科，每門(mén)學(xué)科由1名志愿者輔導(dǎo)，則數(shù)學(xué)學(xué)科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】先求出3名志愿者輔導(dǎo)4門(mén)學(xué)科狀況總數(shù)，再計(jì)算出數(shù)學(xué)學(xué)科由甲輔導(dǎo)的種數(shù)，由古典概型的計(jì)算公式即可得到答案.【詳解】甲、乙、丙輔導(dǎo)某學(xué)生4門(mén)學(xué)科，每名志愿者至少輔導(dǎo)1門(mén)學(xué)科，每門(mén)學(xué)科由1名志愿者輔導(dǎo)，則有一名志愿者輔導(dǎo)了2門(mén)，共有種不同的狀況，數(shù)學(xué)學(xué)科恰好由甲輔導(dǎo)共有種不同狀況，由古典概型的概率計(jì)算公式可知，所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)單題.16.若點(diǎn)是函數(shù)的圖象上隨意兩點(diǎn)，且函數(shù)分別在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線相互垂直，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題得，即得，.所以，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，點(diǎn)處的切線的斜率為，點(diǎn)處的切線的斜率為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)，處的切線相互垂直時(shí)，有，由，，可得，即，因?yàn)?，所?所以，設(shè)，可得，即在，遞增，可得有最大值，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.四、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.若綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64．（1）求n的值；（2）求綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）6；（2）60【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求出指數(shù)，再寫(xiě)出綻開(kāi)式通項(xiàng)后可得常數(shù)項(xiàng).【詳解】（1）由題意得，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，；（2）通項(xiàng)公式為，令，得綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】該題主要考查二項(xiàng)式定理，在綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)為，只與指數(shù)有關(guān)，求特定項(xiàng)時(shí)要留意通項(xiàng)的正確應(yīng)用.18.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）3；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為．微小值，無(wú)極大值．【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率求出實(shí)數(shù)的值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，，即，；（2）由（1）得，，令，得，令，得，即的增區(qū)間為，減區(qū)間為．在處取得微小值，無(wú)極大值．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題．19.第35屆牡丹花會(huì)期間，我班有5名學(xué)生參與志愿者服務(wù)，服務(wù)場(chǎng)所是王城公園和牡丹公園.(1)若學(xué)生甲和乙必需在同一個(gè)公園，且甲和丙不能在同一個(gè)公園，則共有多少種不同的安排方案？(2)每名學(xué)生都被隨機(jī)安排到其中的一個(gè)公園，設(shè)分別表示5名學(xué)生安排到王城公園和牡丹公園的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）8；（2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）利用分布計(jì)數(shù)乘法原理解答即可；（2）的全部可能取值是1，3，5，分別求出各隨機(jī)變量的概率，從而可得分布列，由期望公式可得結(jié)果.試題解析：(1)依題意甲，乙，丙三人的安排方法有2種，其余二人的安排方法有種，故共有種不同的安排方案.(2)設(shè)5名學(xué)生中恰出名被分到王城公園的事務(wù)為，的全部可能取值是1，3，5.，，，則隨機(jī)變量的分布列為135故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.20.“十三五”規(guī)劃確定了到2024年消退貧困的雄偉目標(biāo)，打響了精準(zhǔn)扶貧的攻堅(jiān)戰(zhàn)，為完成脫貧任務(wù)，某單位在甲地成立了一家醫(yī)療器械公司吸納旁邊貧困村民就工，已知該公司生產(chǎn)某種型號(hào)醫(yī)療器械的月固定成本為20萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入5.4萬(wàn)元，設(shè)該公司一月內(nèi)生產(chǎn)該型號(hào)醫(yī)療器械x千件且能全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，已知（1）請(qǐng)寫(xiě)出月利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）月產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一型號(hào)醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲月利潤(rùn)最大？并求出最大月利潤(rùn)（精確到0.1萬(wàn)元）．【答案】（1）（2）當(dāng)月產(chǎn)量為8千件時(shí)，該公司在這一型號(hào)醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為14.1萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）分別求出和兩種狀況所對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出（1）中分段函數(shù)的最大值即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2）①當(dāng)時(shí)，，令，可得時(shí)，時(shí)，，時(shí)，（萬(wàn)元）；②當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．綜合①②知，當(dāng)時(shí)，y取最大值14.1，故當(dāng)月產(chǎn)量為8千件時(shí)，該公司在這一型號(hào)醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為14.1萬(wàn)元．【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.21.《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2024年秋季中學(xué)入學(xué)的新生起先，不分文理科；2024年高考總成果由語(yǔ)數(shù)外三門(mén)統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目組成，將每門(mén)選考科目的考生原始成果從高到低劃分為、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，選考科目成果計(jì)入考生總成果時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成果，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、，八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成果．某市高一學(xué)生共6000人，為給高一學(xué)生合理選科供應(yīng)依據(jù)，對(duì)六門(mén)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中化學(xué)考試原始成果大致聽(tīng)從正態(tài)分布．（1）求該市化學(xué)原始成果在區(qū)間的人數(shù)；（2）以各等級(jí)人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成果在區(qū)間的人數(shù)，求．（附：若隨機(jī)變量，則，，）【答案】（1）4911人（2）【解析】【分析】（1）由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性計(jì)算概率；（2）依據(jù)已知條件得等級(jí)成果在區(qū)間內(nèi)的概率為，則的全部可能取值為0，1，2，3，且，，由二項(xiàng)分布概率公式可計(jì)算出概率．【詳解】解：（1）∵化學(xué)原始成果，．∴化學(xué)原始成果在的人數(shù)為（人）；（2）因?yàn)橐愿鞯燃?jí)人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，且等