2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步章末檢測卷含解析北師大版必修2

PAGE第一章章末檢測卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．給出下列幾個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相像，但側(cè)棱長肯定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：①不肯定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相像且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不肯定相等．答案：B2．下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的隨意一點的連線都是母線解析：A錯誤．如圖1所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．C錯誤．若六棱錐的全部棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必定要大于底面邊長．D正確．答案：D3．如圖所示是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()解析：先視察俯視圖，由俯視圖可知選項B和D中的一個正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項D正確，故選D.答案：D4．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4πB．3πC．2πD．π解析：由題意可知該幾何體是底面半徑r＝1，母線l＝1的圓柱，故S側(cè)＝2πrl＝2π×1×1＝2π.故選C.答案：C5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點，則直線A1B與直線EFA．相交B．異面C．平行D．垂直解析：因為A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F(xiàn)，A1，B四點都在平行四邊形A1BCD1上，所以E，F(xiàn)，A1，B四點共面，所以EF與A1答案：A6．(2015·長沙高一檢測)已知等邊三角形的邊長為1，那么它的平面直觀圖面積為()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(\r(6),8)D.eq\f(\r(6),16)解析：底邊長為1，高為eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×sin45°＝eq\f(\r(6),8)，∴S＝eq\f(\r(6),16).答案：D7．一個錐形的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不行能是該錐體的俯視圖的是()解析：若俯視圖為選項C，側(cè)視圖的寬應(yīng)為俯視圖中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯視圖不行能是選項C.答案：C8．(2024·沈陽市教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一))“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在探討球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好像兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線．當其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()解析：依據(jù)直觀圖以及圖中的協(xié)助四邊形分析可知，當正視圖和側(cè)視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B.答案：B9．已知α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列結(jié)論正確的是()A．若m⊥α，m⊥n，則n∥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若mβ，且α⊥β，則m⊥αD．若m⊥β，且α∥β，則m⊥α解析：A中可能nα；B中m，n還可能相交或異面；C中m，α還可能平行或斜交；一條直線垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個，所以D正確．答案：D10．(2015·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A．8cm3B．12cm3C.eq\f(32,3)cm3D.eq\f(40,3)cm3解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個正方體和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長為2cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面邊長為2cm，高為2cm的正四棱錐，體積V2＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f(32,3)(cm3)．答案：C11．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為()A.eq\f(\r(3)π,2)B．3πC.eq\f(\r(2)π,3)D．2π解析：如圖，取BD的中點為E，BC的中點為O，連接AE，OD，EO，AO.因為AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因為AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2).所以AO＝eq\f(\r(3),2).在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為eq\f(\r(3),2).所以該球的體積V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).答案：A12．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(6),3)解析：畫出圖形(如圖所示)，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角．在三棱錐DACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心，即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，則cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3).答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．(2024·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，其底面為上底長為1，下底長為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)14．(2024·萊州高二期末)已知PA，PB，PC兩兩垂直且PA＝eq\r(2)，PB＝eq\r(3)，PC＝2，則過P，A，B，C四點的球的體積為________．解析：以PB，PA，PC為長方體的長、寬、高作長方體，則長方體的對角線長為eq\r(PA2＋PB2＋PC2)＝3，即球半徑為eq\f(3,2)，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π15．(2024·天津卷)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3.解析：由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長為2，對應(yīng)高為1，所以其體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×2×1×3＝2.答案：216．(2024·全國卷甲)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③假如α∥β，m?α，那么m∥β.④假如m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫全部正確命題的編號)解析：對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤．對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確．對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確．對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．答案：②③④三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知一個幾何體的三視圖如圖，試求它的表面積和體積．(單位：cm)解析：圖中的幾何體可看成是一個底面為直角梯形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，且棱柱的某個側(cè)面在水平面上．直角梯形的上底為1，下底為2，高為1；棱柱的高為1.可求得直角梯形的四條邊的長度為1,1,2，eq\r(2).所以此幾何體的體積V＝S梯形·h＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)(cm3)．表面積S表面＝2S底＋S側(cè)＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋eq\r(2))×1＝(7＋eq\r(2))(cm2)．18．(12分)已知一正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積的和，求棱臺的高．解析：如圖，正三棱臺ABC－A1B1C1中，O，O1為兩底面的中心，D，D1是BC，B1C1的中點，則DD由已知可得A1B1＝20cm，AB＝30cm，則OD＝5eq\r(3)cm，O1D1＝eq\f(10\r(3),3)cm.由其側(cè)面積等于兩底面面積的和可得eq\f(1,2)(60＋90)·DD1＝eq\f(\r(3),4)(202＋302)，解得DD1＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq\r(DD\o\al(2,1)－OD－O1D12)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(3),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r(3)－\f(10\r(3),3)))2)＝4eq\r(3)(cm)，即棱臺的高為4eq\19．(12分)(2024·常德高一檢測)如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明：(1)在△PAC中，D，E分別為PC，AC的中點，則PA∥DE，PA?平面DEF，DE?平面DEF，因此PA∥平面DEF.(2)在△DEF中，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4，DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，所以DE⊥EF，又PA⊥AC，所以DE⊥AC.因為EF∩AC＝E，所以DE⊥平面ABC，DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.20．(12分)如圖，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝AD＝DF＝a，AD⊥DF，M，G分別是AB，DF的中點．(1)求該直三棱柱的體積與表面積；(2)在棱AD上確定一點P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．解析：(1)由題意，可知該直三棱柱的體積為eq\f(1,2)×a×a×a＝eq\f(1,2)a3，表面積為eq\f(1,2)a2×2＋eq\r(2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r(2))a2.(2)當點P與點A重合時，GP∥平面FMC.取FC的中點H，連接GH，GA，MH.∵G是DF的中點，∴GH綊eq\f(1,2)CD.又M是AB的中點，AB綊CD，∴AM綊eq\f(1,2)CD.∴GH∥AM且GH＝AM，∴四邊形GHMA是平行四邊形，∴GA∥MH.∵MH平面FMC，GA平面FMC，∴GA∥平面FMC，即當點P與點A重合時，GP∥平面FMC.21．(12分)(2024·貴州省適應(yīng)性考試)已知長方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起，使AC＝a，得到一個四面體A－BCD，如圖所示．(1)試問：在折疊的過程中，直線AB與CD能否垂直？若能，求出相應(yīng)a的值；若不能，請說明理由；(2)求四面體A－BCD體積的最大值．解析：(1)直線AB與CD能夠垂直．因為AB⊥AD，若AB⊥CD，AD∩CD＝D，則有AB⊥平面ACD，從而AB⊥AC.此時，a＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，即當a＝eq\r(7)時，有AB⊥CD.(2)由于△BCD面積為定值，所以當點A到平面BCD的距離最大，即當平面ABD⊥平面BCD時，該四面體的體積最大，此時，過點A在平面ABD內(nèi)作AH⊥BD，垂足為H，則有AH⊥平面BCD，AH就是該四面體的高．在△ABD中，AH＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，S△BCD＝eq\f(1,2)×3×4＝6，此時VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AH＝eq\f(24,5)，即為該四面體體積的最大值．22．(12分)(2024·濟寧高一檢測)四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為AC和PB上的點，它的