高考總復習文數(shù)（北師大版）課件第8章第2節(jié)空間圖形的基本關系與公理

立體幾何第八章第二節(jié)空間圖形的基本關系與公理考點高考試題考查內容核心素養(yǎng)空間點、線、面的位置關系2014·全國卷Ⅱ·T18·12分線線垂直的證明及體積的計算直觀想象邏輯推理2013·全國卷Ⅰ·T19·12分線面平行的證明及點面間的距離命題分析高考對本節(jié)內容的考查以棱柱、棱錐為依托，考查點、線、面的位置關系以及幾何體體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，難度中等.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．空間圖形的基本位置關系(1)空間點與直線的位置關系有兩種：____________和_____________.(2)空間點與平面的位置關系有兩種：____________和_____________.(3)空間兩條直線的位置關系有三種：①平行直線：在____________內，而且沒有__________的兩條直線．②相交直線：_______________________________________的兩條直線．③異面直線：__________的兩條直線．點在直線上點在直線外點在平面內點在平面外同一平面公共點在同一平面內，有且只有一個公共點不共面(4)空間直線與平面的位置關系有三種：①直線在平面內：直線和平面有__________公共點．②直線和平面相交：直線和平面__________公共點．③直線和平面平行：直線和平面__________公共點．(5)空間平面與平面的位置關系有兩種：①平行平面：兩個平面__________公共點．②相交平面：兩個平面不重合，并且__________公共點．無數(shù)個只有1個沒有沒有有2．空間圖形的公理及等角定理有且只有存在兩點在此在平面有一個公共點有且只有α∩β＝l，且A∈l

平行a∥c

B′O′3．異面直線所成的角(1)定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2，這兩條相交直線所成的___________________就是異面直線a，b所成的角．如果兩條異面直線所成的角是__________，則稱這兩條直線互相垂直．(2)范圍：________________.銳角(或直角)直角提醒：辨明三個易誤點(1)異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線”，實質上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交．(2)直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內”．(3)兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(

)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(

)(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(

)(4)經過兩條相交直線，有且只有一個平面．(

)(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(

)答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×2．(教材習題改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(

)A．30°

B．45°

C．60°

D．90°C

解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.3．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有(

)A．4個

B．3個C．2個

D．1個A

解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．4．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

)A．m∥l

B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC

5．(教材習題改編)兩兩相交的三條直線最多可確定________個平面．解析：當三條直線共點且不共面時，最多可確定3個平面．答案：3[明技法]共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．02課堂·考點突破平面的基本性質(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．[提能力]【典例】

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：E、C、D1、F四點共面．[母題變式]

本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點”？[明技法]空間兩直線位置關系的判斷方法空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決．空間兩條直線的位置關系[提能力]【典例】

(1)下列結論正確的是(

)①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③

B．②④C．③④

D．②③B

解析：選①錯，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；②由公理4可知正確；③錯，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；④由平行直線的傳遞性可知正確．故選B．C

解析：(2)如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但a∩c＝A，故A錯誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯誤；如圖(3)，α∩β＝c，a∥c，則a與b不相交，故D錯誤．[刷好題]1．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是(

)A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關系不確定D

解析：構造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥l4，故排除A、B、C，選D．2．已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數(shù)為(

)A．0

B．1C．2

D．3B

解析：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯，③顯然成立．異面直線所成的角[明技法]用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．[