人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)：幾何探究問題壓軸題專項訓(xùn)練

人教版數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)：幾何探究問題壓軸題專項訓(xùn)練

1.如圖1,ZiABC是等腰直角三角形，四邊形AOEF是正方形，D、尸分別在AB、AC邊上，此時

BD=CF,BOJ_CF成立.

⑴當(dāng)正方形AOEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)J(0。<0<90。)時，如圖2,BD=CF成立嗎?若成立，請證明；若

不成立，請說明理由.

(2)當(dāng)正方形AOEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。時，如圖3,延長交CF于點G.求證：BDLCF-,

⑶在(2)小題的條件下，AC與8G的交點為M,當(dāng)AB=4,A￡>=應(yīng)時，求線段CM的長.

2.如圖，△4OC和△BDE均為等腰三角形，ZCAD=ZDBE,AC=AD,BD=BE,連接CE,點尸為CE

的中點.

(1)如圖1,A,。、8在同一直線上，NCAQ=N￡)BE=90。，AC=AD^l,BD=BE=2,求。尸的長度;

(2)如圖2,A、D、尸在同一直線上，G為AF延長線上一點(AF<FG),J3.GE=AC,連接A8,求證：

ZAGE=2ZBAD；

(3)如圖3,在(1)間的條件下，將AAOC繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)，連接8凡將△BD尸沿著BD翻折得

△BDH,連接E”，當(dāng)C尸最大時，直接寫出此時點B到直線E/7的距離.

3.如圖，將一個矩形ABC。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)c(O°<&W9O°),得到矩形4BG。，連接3D

⑴探究：

①如圖1,當(dāng)。=90。時，點C1恰好在的延長線上，若鉆=1,求8C的長；

②如圖2,連接AG，過點R作〃/〃AG交8。于點M,線段與0M相等嗎？請說明理由.

⑵在探究(1)②的條件下，射線OB分別交4%,4G于點P,N(如圖3).求證:

①MN=AN；

@MN2=PN-DN.

4.如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,點E為邊AC上一點，以AE為斜邊，在AABC外，作

△AOE,使得NAOE=90。，HDE=DA.現(xiàn)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連接

BE.

圖1圖2

(1)如圖2,當(dāng)a=15。且BE〃A。時，求BE的長;

(2)連接CE,設(shè)CE的中點為點尸，AE的中點為點H,連接。凡直線。F與線段BE交于點G,連接GH.

①求證：DFA.BE；

②探索線段GH,GD,GE之間的數(shù)量關(guān)系.

5.如圖，已知正方形A3CD,點E為AB上的一點，EFYAB,交8。于點F.

(1)如圖1,直按寫出看的值_______；

AE

(2)將△E8F繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF,猜想。F與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論；

(3)如圖3,當(dāng)BE=84時，其他條件不變，AEBF繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<360。)，當(dāng)a

為何值時E4=E￡>?請在圖3或備用圖中畫出圖形并求出a的值.

6.小明遇到這樣一個問題：如圖1,在他AABC中，NBAC=90。，AB=AC,點。，￡在邊BC上,

ZDAE=45°.若B￡>=3,CE=1,求。E的長.

小明發(fā)現(xiàn)，將AAB。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到△AC凡聯(lián)結(jié)EF(如圖2),由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

等腰直角三角形的性質(zhì)以及/D4E=45。，可證AME也△D4E,得FE=DE.解AFCE,可求得FE(即

DE)的長.

(1)請回答：在圖2中，/FCE的度數(shù)是,OE的長為.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

(2)如圖3,在四邊形A8CD中，AB^AD,ZB+ZD=180°.E,尸分別是邊8C,C。上的點，且/￡4尸=

|ZBAD.猜想線段BE,EF,產(chǎn)力之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

7.如圖，兩個等腰直角和ACDE：中，ZACB=ZDCE=90°.

(1)觀察猜想如圖1,點E在8c上，線段AE與BQ的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

(2)探究證明把ACDE繞直角頂點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

(3)拓展延伸：把△C￡>E繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=BC=13,DE=\O,當(dāng)A、E、。三點在同一條

直線上時，請直接寫出A。的長.

8.在邊長為2面的正方形A8C。中，點N為區(qū)4延長線上一點，連接。N.

(1)如圖1,以8c為邊向內(nèi)作正ABCM,連接MN,當(dāng)C,M,N三點共線時，求：AAON的面積；

(2)如圖2,以BC為邊向外作正△BCM,連接。M,C尸平分/BCD交。M于點P,連接P8,當(dāng)/4NZ)=

60。時，連接NP.證明：DN+BN=y5PN;

(3)如圖3,當(dāng)N4NO=45。，點P為正方形內(nèi)一任意點，連接BP,CP,DP,NP,當(dāng)BP+CP+OP取最小值

時，直接寫出P解的值.

9.己知A4?C是等腰三角形，AB=AC,將A45C繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)得到AA'BC,

(1)感知：如圖①，當(dāng)8C'落在48邊上時，與NC'CB之間的數(shù)量關(guān)系是(不需要證明)；

(2)探究：如圖②，當(dāng)8C'不落在AB邊上時，NA3B與NCCB是否相等？如果相等；如果不相等，請說

明理由；

(3)應(yīng)用：如圖③，若N5AC=90。，CC'交于點E,則ZA'EC=_____度.

10.問題背景：在解決“半角模型''問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法.如圖①，在四邊形ABC。中，

AB=AD,ZBAD=120°,ZB=WC=90。，點E,尸分別是8C,C￡>上的點，且/E4尸=60。，連接

EF,探究線段BE,EF,力尸之間的數(shù)量關(guān)系.

圖①圖②

(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是將△/記《繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120。至AADG的位置，使得AB與AD重合，

然后證明△AGF絲ZX4砂，從而得出結(jié)論：；

(2)拓展延伸：如圖②，在正方形A8CZ)中，E、F分別在邊BC、CZ)上，且㈤F=45。，連接EE(1)中

的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由.

(3)嘗試應(yīng)用：在(2)的條件下，若BE=3,DF=2,求正方形ABC。的邊長.

11.如圖1,在RSA8C中，N4CB=90。，A8=10,BC=6.D、E分別是AB、AC邊的中點，連接

OE.現(xiàn)將△ACE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接BQ,CE并延長交于點F.

(1)如圖2,點E正好落在A8邊上，CF與交于點P.

①求證：AE-AB=AD-AC；

②求8尸的長；

(2汝口圖3,若A尸恰好平分ND4E,直接寫出CE的長.

12.如圖，在ABC中，NBAC=90。，AB=AC,點P是AB邊上一動點，作PO_L8C于點￡),連接

AD,把AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AE,連接CE,DE,PE.

(1)求證：四邊形PDCE是矩形；

⑵如圖2所示，當(dāng)點P運動BA的延長線上時，OE與AC交于點兒其他條件不變，已知BD=2C。，求

訴的值；

(3)點尸在AB邊上運動的過程中，線段A。上存在一點Q,使Q4+QB+QC的值最小，當(dāng)QA+QB+QC

的值取得最小值時，若4Q的長為2,求PO的長.

13.如圖，四邊形A8CQ是正方形，△ABE是等邊三角形，點M是線段8。(不含B點)上的點.

(1)當(dāng)點M是CE與B力的交點時，如圖1,求/。MC的度數(shù)；

(2)若點M是8。上任意一點時，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接EM如圖2,求證:

EN=CM；

(3)當(dāng)點M在何處時，8W+2cM的值最小，說明理由.

14.如圖，在及“ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度a得到

△■DEC,點A,B的對應(yīng)點分別是點。，E.

(1)如圖①，當(dāng)點E恰好在AC邊上時，連接AQ,求/AQE的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)a=60時，若點F為AC邊上的動點，當(dāng)/F2C為何值時，四邊形為平行四邊形？請

說出你的結(jié)論并加以證明

15.己知AO是等邊△ABC的高，AC=2,點。為直線上的動點(不與點A重合)，連接80,將線段30

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段OE,連接CE、BE.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,當(dāng)點。在線段A。上時，線段AO與CE的數(shù)量關(guān)系為,NACE的度數(shù)是

(2)問題探究：

如圖2,當(dāng)點。在線段A0的延長線上時，(1)中結(jié)論是否還成立？請說明理由.

(3)問題解決：

當(dāng)NAEC=30。時，求出線段B。的長

16.在AABC中，ZAC8=90°,NBAC=60。，點。在斜邊AB上，且滿足將線段OB繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)至記旋轉(zhuǎn)角為a,連接AE,BE,以AE為斜邊在其一側(cè)作直角三角形AEF,且NAFE=

90°,Z￡AF=60°,連接CF.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)a=180。時，請直接寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系；

⑵當(dāng)0°VaV180°時,

①如圖2,(1)中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？諸說明理由；

②如圖3,當(dāng)B,E,尸三點共線時，連接CE,判斷的形狀，并證明.

17.如圖1,在RfAABC中，/AC3=90。，E是邊AC上任意一點(點E與點A,C不重合)，以CE為一

直角邊作RoEC￡>,ZECD=90°,連接BE,AD.若AC=BC,CE=CD.

(1)猜想線段BE,AO之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；

(2)現(xiàn)將圖1中的放△日7￡)繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成

立，請證明；若不成立，請說明理由.

18.如圖①，菱形ABC。和菱形4EAG有公共頂點A,點E,G分別落在邊A8,AD上，連接DF,

BF.

⑴求證：DF=BF；

⑵將菱形用'G繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)角/84￡=研0。4夕4180。)，且A8=6,AE=^3,

Z.DAB=ZGAE=60°.

①如圖②，當(dāng)a=90。時，則線段￡>尸的長度為.

②連接B。，當(dāng)為直角三角形時，則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為'

19.如圖1,點E為正方形ABC。內(nèi)一點，ZAEB=90°,現(xiàn)將放△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得

到△C8F(點A的對應(yīng)點為點0,延長4E交C尸于點G.

(1)求證：四邊形BEG尸是正方形；

(2)連接QE,①如圖2,若AB=15,CG=3,試求BE的長；②如圖3,#DA=DE,求證：CG=FG.

20.(1)如圖1,AABC和“MN都是等腰直角三角形，直角頂點為點A,AABC固定不動，AAMN可以繞

著點A旋轉(zhuǎn).

①如圖2,將繞點4旋轉(zhuǎn)，使點M落在8C邊上，連接CN.

直接寫出圖中的全等三角形：；直接寫出線段CN,CM,CB之間滿足的等量關(guān)系為：

②如圖2,試探索線段MA,MB,MC之間滿足的等量關(guān)系，并完整地證明你的結(jié)論；

(2)如圖3,尸是等腰直角AABC內(nèi)一點，ZBAC=90°,連接BA,PB,PC,將△BAP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

90。后得到△C4。，連接P。.已知必=2,PB=3,若/PQC=90。，求PC的長.

參考答案:

解：BD=CF成立.

理由：?二△43C是等腰直角三角形，四邊形AQEF是正方形,

AAB=ACfAD=AFfABAC=ADAF=90°,

ZBAD=ZBAC-ZDAC,ZCAF=ZDAF-ADAC,

:.NBAD=NCAF,

在△JRA。和VC4廠中，

AB=AC

</BAD=/CAF,

AD=AF

：.△BAD^ACAF,

???BD=CF；

(2)

證明：設(shè)8G交AC于點M,如圖所示：

由(1)可得：△84。絲△蜀!廠，

：.ZABM=ZGCM,

■:ABMA=/CMG,

:?ABMAS.CMG,

：.NBGC=N&4C=90。，

:.BDLCF；

(3)

解：過點尸作EN_LAC于點M

c

???在正方形ADEF中，AD=DE=C，

???AE=dAD?+DE?=2，

???AN=FN=-AE=\,

2

???在等腰直角△ABC中，AB=4,

??CN=AC—AN—3,BC-\lAB24-AC2=4,$/29

FN1

在Ri&FCN中，tan/kCN=-----=—,

CN3

???在Rt&ABM中，tanNA3M-----tan/FCN=—,

AB3

14

/.AM=-AB=-,

33

48

：.CM=AC-AM=4——=-.

33

2.

(1)

解：??AC=AD,BD=BE,ZCAD=ZDBE=90°,

^ZACD=ZADC=45°,ZBDE=ZBED=45°,

???ZCDE=180°-ZADC-/BDE=90°,

??.令CDE為直角三角形,

vAC=AD=l,BD=BE=2,

???CD=\JAC2+AD2=V2>DE=YIBD2+BE2=272>

■CE=ylCDr+DE1=而,

???F為CE中點，

?.?Dr=i-sCE=V-i-o-;

22

(2)

證明：過點E作曲//AC,

:?ZACF=4FEH,

在一ACr與尸中，

ZCM=ZEFW

vCF=EF,

ZACF=NFEH

:.^ACF—HEF,

：.AC=EH,/EHF=/CAD=/DBE,

?：AC=GE,

：?EH=GE,

:?AEHG=/EGH,

?：/EHG+/EHF=180。,

???NDBE+NHGE=180。,

在四邊形5OGE中，

ZB￡G+ZBDF=180°,

vZBDF+ZBZM=180°,

:?/BEG=/BDA,

-AC=ADfAC=GEf

:,AD=GE,

在-AOB與-GEB中，

AD=GE

<NBDA=/BEG,

BD=BE

:.^ADB=^GEB,

:,BA=BG,/BAD=ZBGE,

:?/BAD=/BGD,

ZAGE=ZAGB+ZBGE=2/BAD；

⑶

解：在，C/)/中，CF<CD+DF,

當(dāng)C、D、E三點共線時，且尸為CE中點，

止匕時CF=CO+E>F=LC￡,CF取得最大值，

2

由（1）可得CO=&，DE=2&.,

:?CE=3近,

.■.CF=EF=-CE=-^2,

22

,?L）r=DE一CF——,

2

??NFDB=45。，DF=—

2f

?.ZHDB=45。，DH=—,

2

???NFDH=90。,

在R2EDH中,

EH=\lDE2+DH2=J（2V2）2+與=號,

如圖所示：過點“作FG_LBE,過點"作“MLEG的延長線于點M,

:、FG//DB//HM.

CA

:??EFG2EDB,

”=空，即FGM

BDED丁宰

.-.FG=-

2

???點F、”關(guān)于3。對稱，且尸G，3E,HMLEM,

3

:,FG=HM=-

2

設(shè)點8到EH的距離為人

貝I1S“HR='XEBXHM=-xEHxh,

八"4ttZHD22

-r組「31后,

可得一x2x—=—x---xh,

2222

解得：h=^L

34

???當(dāng)Cb最大時，點8到直線石〃的距離為鼠區(qū).

34

3.

(1)

①如圖1,

?..四邊形ABC。是矩形，

：.CD=AB,BC=DA,ZBAD=90°,

,/將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形ABCDi,

N0/0=/840=90°,CIDI=CD=AB=\,

與A￡>/重合，即點A、B、力/在同一條直線上，

設(shè)BC=D4=D/A=x,貝UDjB=x-l,

"：ZDi=ZBAD=90°,ZD/BCi=ZABD,

:./\DIBCIS/\ABD,

.DB_C,D,

??t一,

ABDA

?.?1—―,

1x

解得不=與叵,無2=上千

經(jīng)檢驗，為=與叵,々=是原方程的解，但々=與6<0（不符合題意，舍去），

.?.BC=.

2

@DiM=DMf理由如下：

jZADiD=^ADDif

?:DC=AB,ZCiDiA=ZBAD=90°fAD/=DAf

：./\CIDIA^/\BAD(SAS),

???/D】AC產(chǎn)/ADB,

■:DiMHACi,

：.NADIM=/DJACI,

：./ADiM=/ADB,

：.ZADiD-ZADiM=ZADDi-ZADB,

:.NMDiD=NMDM

：.DiM=DM.

(2)

證明：如圖3,連結(jié)AM,

必

DA

圖3

?*：AD,=AD9D1M=DM,AM=AM,

：./\ADiM^/\ADM(SSS),

AZADtM=ZADMfZMAD/=ZMAD,

??/ADiM=/NADi,

：./NAD尸/ADM,

：.ZNADi+ZMADi=ZADM+ZMADt

■:/NAM=/NADI+/MADI,NNMA=NADM+NMAD,

:?/NAM=NNMA,

:?MN=AN.

②?.?NM4O尸NADM,

：.ZNAP=ZNDA,

丁4ANP=/DNA,

：.AANFsADNA,

.PN__AN_

??麗一麗’

:.AN^PNRN,

工MN2=PN,DN.

4.

(1)

解：如圖2,過點A作于M,

D

VZADE=90°,DE=DA,

???ZDAE=ZDEA=45°,

9：BE//AD,

：.ZAEM=ZDAE=45°,

VAMIBE,

???ZEAM=ZAEM=45°f

：.AM=EMf

Va=15°,

???/￡>48=90。+15。+45。=150。，

?:AD〃BE,

：.ZABE+ZDAB=180°,

；?NA8E=30。，

AM=^AB=2=ME,BM=64M=273,

Z.BE=BM+ME=26+2；

(2)

①證明：如圖3,延長EC至N,使DN=DE,連接AN,連接NC交BE于點O,

VZAD￡=90°,DN=DE,

：.AE=AN,

：.NAEN=NANE=45。,

：.NNAE=9G=/BAC,

：.ZBAE=ZCANf

又〈AN=AE,AB=ACf

：./\ABE^/\ACN(SAS),

???NABE=/ACN,

VZABE+ZCBE+ZACB=90°,

??.ZCBE+ZACB+ZAC7V=9O°,

???ZBOC=90°,

:?BE工NC,

?；DN=DE,點F是EC中點、,

：.DF//NC,

：.DF±BE；

②解：GD-GE=CGH,理由如下：

如圖4,連接。"，過點H作“PL/7G,交DG于P,

D

BC

圖4

,ZADE=90°,。心。￡點”是AE的中點,

：.DH=HE,DHLAE,NOEA=45。，

工ZDHE=90°,

■:HP1HG,

：.NPHG=NDHE=9U。,

：.ZDHP=ZEHG,

■:DGLBE,

：.NDGE=NDHE=90。,

???點。，點”，點G,點E四點共圓，

??.ZDEH=ZDGH=45°9

：./HPG=/DGH=45。,

:?PH=HG,

:?PG=6GH,

?：PH=HG,/DHP=/EHG,DH=HE,

：./\DPH^/\EHG(SAS),

：.DP=GEf

?；DG-DP=PG,

：.DG-GE=y/2HG,

5.

(1)

Q5O是正方形ABCD的對角線，

ZABD=45°,BD=y/iAB，

NBEF=900,

.\ZBFE=ZABD=45°t

:.BE=EF,

二.BF=6BE，

DF=BD-BF=CAB-CBE=y[2(AB-BE)=CAE，

故答案為：-Jl;

(2)

DF=CAE，

理由：由(1)知，BF=?BE，BD=-JiAB-ABFE=ZABD=45°,

近,

BEAB

由旋轉(zhuǎn)知，ZABE=ZDBF,

:.Z\ABE^Z\DBF,

.佇=空=&,

AEAB

DF=y/2AE：

(3)

如圖3,連接。E,CE

圖3

；EA=ED,

...點E在AZ)的中垂線上，

：.AE=DE,BE=CE,

??,四邊形ABC。是正方形，

:.ZBAD=ZABC=90°,AB=BC,

BE=CE=BC,

.?.△BCE是等邊三角形,

.'.ZCBE=60°,

/.ZABE=ZABC-ZCBE=90°-60°=30°,即：a=30°,

如圖4,同理，△BCE是等邊三角形，

.?.ZABE=ZABC+NC3E=90°+60°=150°,即：a=150°,

故答案為：30。或150。.

6.

(1)

解：?.?將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到AACF,

...YADBZVAFC

:.ZACF=ZABD

■.■AB=AC,ZBAC=90°

Z4CB=ZABC=45°

.■.ZACf=ZABD=45°

：.ZFCE=ZACF+ZACB=90°

在心VFCE中，

?.?8。=3,CE=1,FC=BD=3

EF=yJCF2+CE2=>/32+l2=V10

故答案為：90°；Vio

(2)

猜想：EF=BE+FD；

理由如下：

如圖，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AO重合，得到△ADG,

:?BE=DG,AE=AG,/DAG=NBAE,NB=NADG,

VZB+ZADC=180°,ZB=ZADGt

：.ZADG+ZADC=180°,即點RD,G在同一條直線上.

9

：ZEAF=^ZBADf

：.NGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+NDAF=ZBAD-NEAF=ZEAF,

即NGAF=NEA￡

AE=AG,

在AAE/和^AG尸中，ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：.AAEF^AAGF,

：.EF=FG

?：FG=DG+FD=BE+DF,

:?EF=BE+FD

7.

(1)

如圖1中，延長AE交8。于〃.

'：AC=CBfZACE=ZBCD,CE=CD,

：.AACE^ABCD,

：.AE=BD,/EAC=/CBD,

VZEAC+ZAEC=90°,/AEC=/BEH,

；?NBEH+/EBH=9。。,

：.ZEHB=90°fBPAELBD,

故答案為AE=8。，AELBD.

(2)

結(jié)論：AE=BD,AE±BD.

理由：如圖2中，延長4E交8。于H,交8c于0.

5

圖2

NACB=NECD=9。。,

：.ZACE=ZBCD9

U：AC=CB,/ACE=NBCD,CE=CD,

：.△ACE9XB3,

：?AE=BD,/EAC=/CBD,

???NEAC+NAOC=90。，ZAOC=/BOH,

:?/BOH+/OBH=90。,

???NO"B=90。，

即AE±BD.

(3)

當(dāng)射線AD在直線AC的上方時，作CHLAD于H.

B

圖3

,:CE=CD,ZECD=9009CHLDE,

：.EH=DH,CH=^DE=5,

在RSAC”中，

VAC=13,CH=5,

r.AW=7132-52=12.

?.AD=AH+DH=12+5=17.

②當(dāng)射線A。在直線4c的下方時，作C，_LA。于H.

A

同法可得：AH=\2,故AO=AH-。”=12-5=7,

綜上所述，滿足條件的AD的值為17或7.

8.

(1)

解：：四邊形A8CD是正方形，邊長為2"

AB=BC=CD=AD=2遍

NBAD=NABC=90°

：△BCM是正三角形

,ZBCM=60°

在Rt/8CN中，

BN廠

*.*--=tanZBCM=73

BC

；?BN=6BC=66

：.AN=BN-AB=6叵一2屈

VZDAN=180°-ZB71Z>900

???△4VO是直角三角形

?*.=I(6&-2G)x2而

=12瓜12

(2)

證明：???四邊形A2CZ）是正方形，邊長為2遍

AB=BC=CD=AD=2底

ZBAD=ZABC=90°

ZDAN=180°-ZBAD=90°

.?.△ANQ是直角三角形

在△AN。中，ZAND=60°,

AD=2限

An

,/——=sinNAN￡>=sin60°

DN

AN=￡Wxcos6(T=272

如圖4,作于點H,交CD于點G,

作ME_L8C于點E,作MF_L￡>C交

DC的延長線于點F,則GHLQ。于點H

則四邊形8CGM四邊形4”G。、四邊形CEMF都是是矩形.

設(shè)CG=BH=x,則DG=DC~CG=2限一x,

:CP平分NBCD

：.NGCP=』NBCD=45。

,：ZCGP=90°

：.ZGCP=ZPCG==45°

...△PGC是等腰直角三角形

，GP=GC=x,PH=GH-GP=2逐一x

???△8CM正三角形

r.ZMCE=60°,CE=3BC=m

：.FM=CE=R

在RsMCE中，CM=BC=2屈

ZCEA/=90°

ME=CMsinNMCE=CMsin60°=38

:.CF=ME=3&

：.DF=DC+CF=2瓜+3近

"：ZDGP=ZF=90°

NPDG=NMDF

：?〉PDGs〉MDF

?PGDG

^~MF~~DF

?X_2y/6~X

"幾一26+3應(yīng)

解得x=底一五

：.CG=GP=BH="一應(yīng)，DG=AH=PH=#+正

:.NH=AN+AH=n+3正，

BN=NH+BH=76+3^+76-72

=2#+2應(yīng)

,DN+BNR應(yīng)+2#+2&

=672+2^6=276(\^+1)

在RtAPHN中，

PN2=PH2+NH2

=(V6+>/2)2+(述+3&尸

=8(百+1產(chǎn)

，PN=2虛(百+1)

/.DN+BN=>/3PN

(3)

PN?=64+16拒

理由如下：

如圖5,

圖5

將△BCP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,

得到ABC'P,連接PP,

二ZPBP'=60°

△BCP咨WP

,CP=C'P'

BP=BP

ZBPC'=Z.BPC

???忙為等邊三角形

BP=PP

：.BP+CP+DP=PP'+CP+DP

當(dāng)O、P、F、￡四點共線時，

BP+CP+DP=PP'+CP'+OP最小.

此時，NBP'C+NB戶尸=180°,

/.NBPC=4BPC=180°-60°=l20°

NCPC'=NBPC-NBPP=120。-60。=60°

,?NCPD+NCPC'=180。

：.ZCPD=180°-ZCPC=120°

將"CP沿CP翻折，BP落在DP上，

,:DC=BC

，￡>C與BC重合

:.NBCP=NDCP=45°

:.NCDP=NCBP=15°

過點P作PHLAB于點H,交CD于點G,

由(2)知CG=PG=6-0

PH=DG=AH=屈+及

VZAND=45°,ZDAN=90°

AD=2yf6

:.AN=AD=2底

：.NH=AN+AH=2>/6+6+正

=3限+五

，PN2^PH2+NH2

—(yfb+y/l.)?+(3y/b+\/2)2

=64+1673.

9.

(1)

感知：???將-ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到?A'BC,ZA'BC'=ZABC,

ZA'BC'+ZC'BA=ZABC+ZCBA,當(dāng)8C'落在AB邊上時，

即ZA'BA=NC'8C,

"A'B=AB,C'B=BC,

1800-ZA'BA_180°-ZC'BC

22

即NzrA8=NC'C8,

故答案為：相等；

(2)

探究：ZA,AB=ZC'CB,證明如下：

???將?A8C繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到?A/C,

.-.A'B=AB,C'B=BC,ZA'BA=ZC'BC,

BCBC'

??正一而’

/.ZA,AB=ZC'CB；

(3)

應(yīng)用：???NA'AB=NCCB,

,,

：.ZBAA=ZCCBf

?：C'B=CB,

：,/C'CB=/CCB,

???N&4'A=NCCB

設(shè)。4與AE相交于點O,如圖所示:

:ZA'OB=/C'OE,

???/CEO=/OBA'=ZACB,

vAB=AC,ZBAC=90°,

.-.ZACB=45°=ZC,EO,

.%ZA,EC=18()O-ZC'EO=135°.

10.

(1)

解：???八43石繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120。至“OG的位置，使得A3與4。重合,

：.ZEAG=ZBAD=\20°,

??ZBAE=ZBAD-ZEAD=\200-ZEADfZDAG=ZEAG-ZEAD=nO°-ZEADf

：.NBAE=NDAG,

且AE=AG,

：./\BAE^/\DAG(AAS)f

???NEBA=NGZM=90。，GD=BE,

???ZGDA+ZADF=900+90°=180°,

???G、D、尸三點共線，

又由已知：ZEAF=60°,

???ZGAF=ZEAG-ZEAF=\20°-60°=60°,

AE=AG

在AAG/7和△A￡F中：＜Z-EAF=ZGAF=60,

AF=AF

：.A.AGF^^AEF(SAS),

:.EF=GF=GD+DF=BE+DF.

(2)

解：(1)中的結(jié)論依然成立，BP：EF=BE+DF,理由如下:

將△尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，。點落在3點處，尸點落在G點處，連接G3,如上圖,

*/Z￡AF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=45°f

;旋轉(zhuǎn)90。，即NE4G=90。，

???ZBAG+ZBAE=90o-ZDAF=90o-45o=45°,

：.ZDAF=ZBAG,

AG=AF

在△G45和△必。中：\ZBAG=ZDAFt

AB=AD

???△GAB名△"O(SAS),

AZABG=ZADF=90%BG=DF,

???ZABG+ZAB￡=90°+90°=180°,

:?G、B、E三點共線,

又已知NE4F=45。，

???ZGAE=90°-ZEAF=90o-45o=45°,

AZGAE=ZEAFf

AG=AF

在AGAE和△E4E中：＜ZGAE=ZFAE=45,

AE=AE

：./\GAE^/\FAE{SAS),

：.EF=GE=GB+BE=DF+BE.

(3)

解：設(shè)正方形邊長為-貝ijEC=8C-8E1-3,FC=CD-DF=x-2f

由(2)中結(jié)論可知：E/=8E+DF=3+2=5,

22

在RSEFC中，由勾股定理有：EC+CP=EFf代入數(shù)據(jù)：

A(x-3)2+(x-2)2=25,

解出:x/=6,州=?1(負值舍去)

?,?正方形的邊長為6.

11.

(1)

①證明：:。、E分別是A3、AC邊的中點，

：.DE//BCf

：./\ADE^/\ABC,

.AE_AD

??就一瓦‘

：.AE-AB=AD-AC；

②解：如圖1,

作CGJ_AB于G,作于",

在RMABC中，A8=10,BC=6,

.*MC=8,

：.AE=49

：.BE=AB-AE=6f

,BC618

???BG=BC?cosZABC=6------=6x—=—

AB105

,824

CG=BC?sinNABC=6x—=—,

105

:?EG=BE-BG=6——=—,

55

tanZFEH=tanZCEG==2,

EG

FH

tanZFEH=-----=2,

EH

設(shè)FH=2a,

FH"=2,

VtanZF^E

萬7BE

:?BH=4a,

*：BH-EH=BE,

4ci-a=6,

.??a=2,

:?FH=4,BH=8,

,BF=ylFH2+BH2-742+82=4逐;

故答案為：4x/5.

(2)

如圖2,

當(dāng)AF平分ND4E時，AFLBD,

：.ZAFD=ZAED^=90°,

...點A、E、F、O共圓，

:.NDEF=NDAF,

設(shè)4尸與QE的交點為。，作OGLAO于G,作A//LCF于”,

平分/D4E,

：?OG=OE,AG=AF=4,

:.DG=AD-AG=\t

設(shè)OG=OE=x,

OD=3-x,

在RgOOG中，

(3-x)2-x2=l2,

.4

??x=一,

4

:.OG=OE=—，

3

4

-

1

3?/r^ArvlO/nAf35/10

tanZ￡)/4F=OG=-=-smZDAF=,cosZDAF=——

43

AG1010

*/ZAED=90°,

???NAEH+NDEF=90。,

*/ZAEH+ZEAH=90°t

：.ZEAH=ZDEF=NDAF,

：.EH=AE^sinZEAH=4x^-=3叵，

105

ur，/r，u3-x/fO6V?0

AAH=AAE*cosZEAH=4AX-----=——,

105

:,CH=VAC2-AH2=M一(縉＞=,

：.CE=EH+CH=Zz/^+2^^,

5

故答案為：2回+2國

5

12.

證明："：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZACB=45°,

'：ZDAE=ZBAC=90°fAD=AEf

：.ZBAD=ZCAEf

在△84。和△CAE中，

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

：.ZB=ZACE=45°,BD=CE,

：.ZECD=NACE+NAG5=90。，

?；PD工BC,

：.ZBDP=ZECD=90°f

：.PD//CEf

*：ZB=ZBPD=45°,

：.PD=BD,

:?PD=EC,

???四邊形PDCE是平行四邊形，

■:NPDC=90。，

，四邊形PDCE是矩形；

(2)

如圖2中，過點4作AM_LBC于點M,過點尸作WLBC于點M

圖2

設(shè)CD=2m,則BD=2CD=4m,BC=6m,

9

：AB=ACfNBAC=90。，AM1BC,

：.BM=MC=3mf

.\AM=BM=3m9AB=AC=3y/3mfBD=PD=4m,PB=4&m,

:?PA=叵m

：.BD=EC=4mf

設(shè)CN=FN=x,

YFN//CE,

.FN_DN

??二—而‘

:.DN=^x,

gx+x=2加，

.4

??x=一

3

；?CF=4&m,AF=AC-CF=3y/2m~m=^3LM

333

APy[lm3

???AF-5A/2-5;

-----m

3

(3)

如圖3-1,將48。。繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,連接QN,

:?BQ=BN,QC=NM,NQ8N=60。，

???△8QN是等邊三角形，

:?BQ=QN,

：.QA+Q5+QC=AQ+QN+MN,

???當(dāng)點A,點。，點N,點M共線時，Q4+Q8+QC值最小,

此時,如圖3-2,連接MC

A(P)

???將△BQC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,

:,BQ=BN,BC=BM,/。8260。=NC8M,

是等邊三角形，△C8M是等邊三角形，

:?NBQN=/BNQ=60。,BM=CM,

?:BM=CM,AB=ACf

???AM垂直平分BC,

VAD±BC,ZBQD=60°f

:?BD=6QD,

U

：AB=AC9ZBAC=90°,ADLBC,

：.AD=BDf此時尸與A重合，設(shè)尸。=x,則。。=尤-2,

:?x=0(x-2),

.??K=3+5

，尸0=3+6.

13.

(1)

解：:四邊形ABC。是正方形，△Ag"是等邊三角形，

:?BC=AB=BE,ZABC+ZABE=150°,ZMBC=45°,

ZBCM=15°,

:.ZDMC=ZMBC+ZBCE=60°；

(2)

證明：由題意知：BM=BN,ZABD=NDBC,

ZABM+ZABN=ZEBN+ZABN=60°，

ZABM=NEBN,

,NCBM=4EBN,

,/BC=BE,

：.△8WC絲△8N￡（SAS）,

:.EN=CM；

（3）

當(dāng)點M在CE與的交點時，2CW+BM的值最小.理由如下：

將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接EN,MN,則△BMN是等邊三角形,

BM=MN,

如圖甲，由（2）知EN=CM,

：.2CM+BM=MC+MN+EN,

...當(dāng)C,M,N,E在一條直線上時MC+MN+EN最小，即2CM+&0最小,

二當(dāng)點M在CE與8。的交點時，如圖乙，2a0+8M的值最小.

14.

(1)

解：?.,將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度a得到AOEC,E點在AC上，

/.CA^CD,NE8=/BC4=30°,

ZCAD=/CDA=1(180°-30°)=75°,

又；ZDEC^ZABC=90°,

ZAD￡=90o-75°=15°；

⑵

//BC=30。時，四邊形BEDE為平行四邊形,

：.ZFBC=ZACB=30°f

???ZABF=ZA=60°,

:.BF=CF=AF,

?'.△AB尸是等邊三角形，

:?BF=AB,

???將△ABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△OEC,

：.DE=AB,&BCE是等邊三角形,ZDEC=ZABC=90°,

，NCBE=NBEC=60。,

,ZEBF=ZEBC-ZFBC=30°,

工NDEB+NEBF=18。。,

:.DE=BF,DE//BF,

.,?四邊形BFDE為平行四邊形.

15.

(1)

解:AO=CE,NACE=90。,

理由如下：

??,線段BO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60%得到線段OE,

:?BO=OE,ZBOE=60°9

???△30E為等邊三角形，

：,/OBE=6U。,BE=BO,

：.ZOBE=600=ZOBD+ZDBE,

???△ABC為等邊三角形，

AZABC=60°=ZABO+ZOBD,AB=AC,

：.NABO=NCBE,

在4480和4C8E■中，

AB^AC

<AABO=NCBE,

BO=BE

：.△ABO絲△CB￡(SAS),

：.AO=CE,ZBAO=ZBCE,

,：AD是等邊三角形ABC的高，

AZACB=60°,A。也是NBAC的平分線,

ZBAO=300=ZBCE,

ZACE=ZBCE+ZACB=30o+60°=90°,

故答案為：AO=CE,N4CE=90。；

(2)

解：成立，理由如下：

如圖：連接BE.

?.?線段BO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)了60。得EO,

圖1

：.BO=EO,NBOE=60。，

.?.△8OE是等邊三角形，

：.BO=BE,ZOBE=6Q°,

；△ABC是等邊三角形，

：.BA=BC,/4BC=60°,

，ZABC+ZOBC=ZOBE+ZOBC,即ZABO=ZCBE,

在小ABO和ACBE中,

AB=AC

<ZABO=ZCBE

BO=BE

：.△ABOdC阻SAS),

：.AO=CE,NBAO=/BCE,

?.?AO是等邊△ABC的高，

AZBCE=ZBA0=30°,ZBCA=60°,

???ZACE=ZBCE+ZACB=30°+60°=90°,

：.AO=CEtZACE=90°；

(3)

解：①當(dāng)點0/在線段A。的延長線上時，

由(1)和(2)知I：△BQ?是等邊三角形，ZACE/=90°,

VZACEi=90°fNAE/G30。，

???ZE/AC=60°,

VNBA060。，

.?.點A、B、目在一條直線上，

???在欣△ACE/中，AC=2,ZAE/C=30°,

AAEi=4f

：.B0/=BE/=2；

②當(dāng)點。2在線段DA的延長線上時，

VZACE2=90°,/AE2c=30°,AC=2,

2222

AE2=4,CE2=7^￡2-AC=V4-2=,

,/△AB02絲△CBE2(SAS),

，A0?=CEi=26

是等邊△ABC的高，AB=AC=2,

；.8D=1,AD=yjAB2-BD2=V22-12=>/3>

在放△。2。8中，BD=\,

而。2。=4。2+4)=26+6=36

22

二BO,=y)O2D+BD=J(3G『+『=；

綜上，80=2或26.

16.

(1)

解：(1)BE=2CF,理由如下：

VZACB=90°,NBAC=60°,

ZABC=30°,

：.AC=^AB,

'：BD^AB,將線段OB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至力E,

12

:?BD=DE=—AB,BE—AB,

33

>\AE=-AB

31

VZAFE=90°,ZEAF=60°,

???ZA￡F=30°,

：.AF=^AE=-AB,

-6

:.CF=AC-AF=-AB

39

：.BE=2CF；

(2)

(2)①結(jié)論仍然成立，理由如下：

VZBAC=ZEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAFf

▽??生」一絲

乂?一——，

AB2AE

：.AABE^AACF,

.CFAF\

??=——,

BEAE2

，BE=2CF；

②ACEr是等邊三角形，理由如下:

VB,E,尸三點共線,

,ZA￡B+ZAEF=180°,

；?NAE8=150。，

AABE^AACF,

/.ZAEB=ZAFC=150°f

AZEFC=150°-90°=60°,

如圖3,過點。作。HJ_BE于",

:.BH=HE,

■:BE=2CF,

:,BH=HE=CF,

■:DH1.BE,AF1.BE,

J.DH//AF,

.BHBD1

??麗一茄—2'

:?HF=2BH,

:?EF=HE=BH,

:.EF=CF,

???△￡”是等邊三角形.

17.

(1)

BE=AD,BELAD；

理由：在△BCE和△ACO中，

CA=CB

<ZACB=ZACD,

CE=CD

：./\BCE^/\ACD(SAS),

:?BE=AD,NBEC=NADC,

???/EBC+/BEC=90°,

AZEBC+ZADC=90°,

延長BE,交AO于點凡

AZBFD=90°,

：.BE±AD.

⑵

BE=AD,