專題9 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì) (北師大版2019)

專題9導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì)(北師大版2019)主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為北師大版2019年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)“專題9導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題”，主要涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及如何利用同構(gòu)思想解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系主要體現(xiàn)在：本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)、求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用等知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題。教材中涉及到的同構(gòu)思想有助于學(xué)生深化對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題，提升邏輯思維與數(shù)學(xué)抽象能力。

2.通過(guò)解決同構(gòu)問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算技能。

3.增強(qiáng)問(wèn)題解決意識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的基本概念、求導(dǎo)法則，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖像分析中的應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)。

2.學(xué)習(xí)興趣：學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用表現(xiàn)出較高的興趣，對(duì)于同構(gòu)問(wèn)題可能較為陌生，但好奇心驅(qū)使他們?cè)敢馓剿餍路椒ā?/p>

學(xué)習(xí)能力：學(xué)生在數(shù)學(xué)邏輯思維和抽象思維方面具備一定的基礎(chǔ)，能夠理解并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的基本概念。

學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生習(xí)慣通過(guò)例題和練習(xí)來(lái)鞏固知識(shí)，喜歡在探究中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：對(duì)同構(gòu)概念的理解可能存在障礙，將同構(gòu)思想應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中可能會(huì)感到困惑，以及解決復(fù)雜同構(gòu)問(wèn)題時(shí)可能缺乏有效的策略和方法。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源-教科書(shū)：北師大版2019年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)

-教學(xué)PPT

-黑板與粉筆

-計(jì)算器

-數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）

-白板與白板筆

-實(shí)物模型（如有需要）

-課程教學(xué)平臺(tái)（如學(xué)校指定的在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（用時(shí)5分鐘）

-教師通過(guò)展示一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題，例如物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述這種變化。

-提出問(wèn)題：“在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)找到物體在某一時(shí)刻的速度？”

-學(xué)生思考并回答，教師總結(jié)并引出本節(jié)課的主題“導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題”。

2.講授新課（用時(shí)20分鐘）

-教師首先解釋同構(gòu)的概念，并通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生直觀感受同構(gòu)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

-接著，教師通過(guò)具體例題，展示如何將同構(gòu)思想應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的解決過(guò)程中。

-例題1：給定函數(shù)f(x)，求f'(x)的同構(gòu)函數(shù)。

-例題2：利用同構(gòu)思想求極值問(wèn)題。

-在講解過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生積極參與，通過(guò)提問(wèn)和解答問(wèn)題來(lái)檢查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解程度。

3.鞏固練習(xí)（用時(shí)10分鐘）

-教師給出幾個(gè)練習(xí)題，要求學(xué)生在紙上獨(dú)立完成，并及時(shí)給出答案和解析。

-練習(xí)題1：給定一個(gè)復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，要求學(xué)生利用同構(gòu)思想簡(jiǎn)化問(wèn)題并求解。

-練習(xí)題2：討論同構(gòu)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-教師選取幾名學(xué)生上黑板展示解題過(guò)程，其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)和討論。

4.課堂提問(wèn)與師生互動(dòng)（用時(shí)5分鐘）

-教師提問(wèn)：“通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你們認(rèn)為同構(gòu)思想在數(shù)學(xué)中有什么重要作用？”

-學(xué)生回答，教師總結(jié)并強(qiáng)調(diào)同構(gòu)思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的價(jià)值。

-教師再次提問(wèn)：“在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，你們認(rèn)為還有什么方法可以簡(jiǎn)化問(wèn)題？”

-學(xué)生分享自己的想法，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。

5.總結(jié)與拓展（用時(shí)5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)同構(gòu)思想在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解決中的應(yīng)用。

-提出拓展性問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行思考和探索。

-布置作業(yè)：要求學(xué)生在課后完成幾道與同構(gòu)問(wèn)題相關(guān)的練習(xí)題，并準(zhǔn)備在下節(jié)課上分享解題思路。

整個(gè)教學(xué)過(guò)程注重學(xué)生的參與和互動(dòng)，通過(guò)實(shí)例和練習(xí)，幫助學(xué)生理解同構(gòu)思想在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問(wèn)題解決能力。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-《高等數(shù)學(xué)》中關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分方程的章節(jié)，以加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

-《數(shù)學(xué)分析》中涉及到的極限、連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)理論，為同構(gòu)問(wèn)題的深入理解提供理論基礎(chǔ)。

-數(shù)學(xué)科普書(shū)籍，如《數(shù)學(xué)之美》中關(guān)于數(shù)學(xué)思想的探討，幫助學(xué)生從更廣泛的角度理解同構(gòu)思想。

-在線教育平臺(tái)上的相關(guān)課程和教學(xué)視頻，如KhanAcademy、Coursera等，提供額外的學(xué)習(xí)資源。

-學(xué)術(shù)論文和期刊文章，特別是那些探討導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用的論文。

2.拓展建議：

-鼓勵(lì)學(xué)生閱讀《高等數(shù)學(xué)》的相關(guān)章節(jié)，特別是關(guān)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和微分方程的初步知識(shí)，以加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解。

-建議學(xué)生自學(xué)《數(shù)學(xué)分析》中關(guān)于極限、連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)的基本理論，這有助于他們?cè)谟龅礁鼜?fù)雜的同構(gòu)問(wèn)題時(shí)，能夠從理論上進(jìn)行分析和解決。

-推薦學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)科普書(shū)籍，特別是關(guān)于數(shù)學(xué)思想和方法的部分，這有助于他們拓寬視野，理解同構(gòu)思想在數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。

-建議學(xué)生利用在線教育平臺(tái)，如KhanAcademy和Coursera，觀看相關(guān)的教學(xué)視頻，以鞏固和拓展課堂所學(xué)知識(shí)。

-鼓勵(lì)學(xué)生查閱相關(guān)的學(xué)術(shù)論文和期刊文章，了解導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用的理解。

-建議學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，這些活動(dòng)能夠提供實(shí)際問(wèn)題的解決經(jīng)驗(yàn)，并鍛煉他們運(yùn)用同構(gòu)思想解決問(wèn)題的能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生組建學(xué)習(xí)小組，共同探討和解決同構(gòu)問(wèn)題，通過(guò)合作學(xué)習(xí)，互相啟發(fā)思維，提高問(wèn)題解決能力。

-建議學(xué)生在日常生活中留意與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的現(xiàn)象，如物體的運(yùn)動(dòng)、溫度變化等，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這些現(xiàn)象，從而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問(wèn)：在課堂教學(xué)中，教師通過(guò)提問(wèn)的方式檢查學(xué)生對(duì)同構(gòu)問(wèn)題的理解和掌握程度。問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)涵蓋基礎(chǔ)知識(shí)、應(yīng)用能力和思維拓展等方面。例如，教師可以提問(wèn)：“如何將一個(gè)復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同構(gòu)問(wèn)題？”或“你能給出一個(gè)同構(gòu)思想解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的實(shí)例嗎？”

-觀察：教師在課堂上觀察學(xué)生的參與度、反應(yīng)和合作情況，以及他們?cè)诮鉀Q同構(gòu)問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程。教師應(yīng)注意學(xué)生在解題過(guò)程中是否能夠正確應(yīng)用同構(gòu)思想，以及他們是否能夠有效地與他人合作交流。

-測(cè)試：在課程結(jié)束時(shí)，教師可以安排一個(gè)小測(cè)驗(yàn)，以評(píng)估學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的掌握情況。測(cè)試題應(yīng)包括選擇題、填空題和解答題，旨在檢測(cè)學(xué)生對(duì)同構(gòu)概念的理解和運(yùn)用能力。

-及時(shí)解決問(wèn)題：在評(píng)價(jià)過(guò)程中，教師應(yīng)及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題，并提供個(gè)性化的指導(dǎo)和建議。對(duì)于普遍存在的問(wèn)題，教師應(yīng)適時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保學(xué)生能夠克服困難。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-批改：教師應(yīng)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，不僅關(guān)注答案的正確性，還要關(guān)注解題過(guò)程和思路的合理性。批改作業(yè)時(shí)，教師應(yīng)記錄下學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤和不足之處，以便在課堂上進(jìn)行針對(duì)性的講解。

-點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)批改后，教師應(yīng)選擇具有代表性的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。點(diǎn)評(píng)可以是全班性的，也可以是個(gè)別性的，旨在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的進(jìn)步和不足。

-反饋：教師應(yīng)及時(shí)向?qū)W生反饋?zhàn)鳂I(yè)評(píng)價(jià)結(jié)果，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。反饋可以包括書(shū)面的評(píng)語(yǔ)，也可以是面對(duì)面的交流。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生針對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行反思，并提出改進(jìn)措施。

-鼓勵(lì)：對(duì)于在作業(yè)中表現(xiàn)出色的學(xué)生，教師應(yīng)給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力。同時(shí)，教師也應(yīng)鼓勵(lì)那些在作業(yè)中遇到困難的學(xué)生，幫助他們建立信心，克服挑戰(zhàn)。重點(diǎn)題型整理題型一：求導(dǎo)數(shù)同構(gòu)函數(shù)

題目：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的同構(gòu)函數(shù)。

解答：首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x。同構(gòu)函數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的形式，因此f'(x)的同構(gòu)函數(shù)可以表示為g(x)=3x^2-6x+c，其中c為任意常數(shù)。

題型二：利用同構(gòu)思想求極值

題目：函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-6x+1在x∈[0,3]區(qū)間內(nèi)求極值。

解答：首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x^3-12x^2+12x-6。令f'(x)=0，得到x的值。通過(guò)分析f'(x)的符號(hào)變化，確定極值點(diǎn)。解得x=1和x=2，計(jì)算f(1)和f(2)的值，比較大小，得到極大值和極小值。

題型三：導(dǎo)數(shù)同構(gòu)在物理中的應(yīng)用

題目：一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移函數(shù)s(t)=t^3-6t^2+9t+1（t為時(shí)間，單位：秒，s為位移，單位：米）。求物體在t=2秒時(shí)的速度和加速度。

解答：首先求出位移函數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)s'(t)=3t^2-12t+9，這是物體在任意時(shí)刻t的速度函數(shù)v(t)。再求v(t)的導(dǎo)數(shù)a(t)=6t-12，這是物體的加速度函數(shù)。將t=2代入v(t)和a(t)，得到物體在t=2秒時(shí)的速度v(2)=-3米/秒，加速度a(2)=-6米/秒^2。

題型四：導(dǎo)數(shù)同構(gòu)在函數(shù)圖像分析中的應(yīng)用

題目：分析函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)的單調(diào)性和凹凸性。

解答：首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。令f'(x)<0，解得-1<x<1，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。接著求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x，令f''(x)>0，解得x>0，函數(shù)在x>0時(shí)凹。令f''(x)<0，解得x<0，函數(shù)在x<0時(shí)凸。

題型五：綜合應(yīng)用題

題目：已知函數(shù)g(x)=x^2+bx+c在x=1時(shí)取得極值，且g'(1)=3。求b和c的值，并求出g(x)在x∈[-2,3]區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。

解答：首先求出g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x)=2x+b。由于g'(1)=3，代入得b=1。又因?yàn)間(x)在x=1時(shí)取得極值，所以g'(1)=0，解得b=-2。因此，b=-2，c的值未知。接著求二階導(dǎo)數(shù)g''(x)=2，由于g''(x)>0，函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)凹。最后，通過(guò)計(jì)算g(-2)、g(1)和g(3)的值，比較大小，得到函數(shù)在x∈[-2,3]區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。教學(xué)反思與總結(jié)在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，我圍繞“導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題”這一主題，力求通過(guò)多種教學(xué)手段和方法，幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)知識(shí)。現(xiàn)在，我對(duì)這次教學(xué)進(jìn)行反思和總結(jié)。

教學(xué)反思：

在教學(xué)方法上，我嘗試通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題的方式激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，但在實(shí)際操作中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)情境的遷移能力較弱，難以將情境與導(dǎo)數(shù)同構(gòu)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。這提示我在今后的教學(xué)中，需要更加深入地了解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)計(jì)更加貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的情境。

在教學(xué)策略上，我注重了知識(shí)的系統(tǒng)性和連貫性，但在講解同構(gòu)思想的應(yīng)用時(shí)，可能過(guò)于側(cè)重理論，導(dǎo)致一些學(xué)生在實(shí)際操作中仍然感到困惑。今后，我需要更多地結(jié)合具體實(shí)例，讓學(xué)生在實(shí)踐中理解和掌握同構(gòu)思想。

在課堂管理上，我努力營(yíng)造了一個(gè)輕松、自由的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)和表達(dá)自己的觀點(diǎn)。但我也注意到，一些學(xué)生在討論時(shí)可能會(huì)偏離主題，需要我更加細(xì)致地引導(dǎo)和調(diào)控課堂節(jié)奏。

教學(xué)總結(jié)：

本節(jié)課在知識(shí)傳授方面，我認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了導(dǎo)數(shù)的基本概念和求導(dǎo)法則，對(duì)同構(gòu)思想也有了一定的認(rèn)識(shí)。在技能培養(yǎng)方面，學(xué)生通過(guò)練習(xí)鞏固了對(duì)同構(gòu)問(wèn)題的解決方法，提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在情感態(tài)度方面，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣有所提高，對(duì)同構(gòu)問(wèn)題的好奇心也明顯增強(qiáng)。

然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處。例如，部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的同構(gòu)問(wèn)題時(shí)，仍然感到困難重