2025年高考數學總復習 19 第三章 第一節(jié) 導數的概念及運算

第一節(jié)導數的概念及運算考試要求：1．了解導數概念的實際背景．2．理解導數的幾何意義．3．能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡單的復合函數的導數．自查自測知識點一導數的概念1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)f′(x0)是函數y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(×)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(×)(3)曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與過點P(x0，y0)的切線相同．(×)2．已知函數f(x)在x＝x0處的導數為12，則limΔx→0A．－4 B．4C．－36 D．36A解析：根據題意，由函數f(x)在x＝x0處的導數為12，得limΔx→0fx0－Δx－f3．一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數關系為s＝18t2，則t＝2時，此木塊在水平方向的瞬時速度為(BA．14 B．C．1 D．24．函數y＝x在x＝x0(x0≠0)處的導數為12x0，在點(1，1)核心回扣1．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數如果當Δx→0時，平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．導數的幾何意義函數y＝f(x)在x0處的導數f′(x0)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．注意點：(1)y＝f′(x)是一個函數，f′(x0)是函數y＝f′(x)在x0處的函數值．(2)函數y＝f(x)的導數y＝f′(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”．自查自測知識點二導數的運算1．(多選題)(教材改編題)下列導數的運算中正確的是(ABD)A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC．cosxx′D．(sinxcosx)′＝cos2x2．設f(x)＝ex＋ln2的導函數為f′(x)，則f′(1)的值為(DA．0 B．eC．e+12 3．設函數f(x)＝e2xx+a，若f′(0)＝1解析：由題意可知f′(x)＝2e2xx+a－e2xx+a2，由f′(0)＝1，得2a－14．若函數f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則f′(1)＝－2．核心回扣1．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα-1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝12.若f′(x)，g′(x)存在，則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx'＝f'x3.復合函數的導數一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數之間的關系為yx'＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導數等于y對u的導數與u對【常用結論】1.奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．2.熟記以下結論：(1)1x′＝－1x2；(2)(x)′＝12x；(3)1fx′＝－f'xfx2(f(x)≠0)；(4)[af(x)±應用1若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為(C)A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)應用2若f(x)＝ax2－1且f′(1)＝2，則a導數的計算1．若函數f(x)＝x2，則limΔxA．－2 B．－1C．12 D．A解析：因為f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以limΔx→0f1－f2．(多選題)下列結論正確的是()A．若y＝cos1x，則y′＝1xB．若y＝ln1+2x，則yC．若y＝1tanx，則y′D．若y＝x2024＋log2x，則y′＝2024x2023＋1ABD解析：對于A，y′＝－sin1x·1x′＝1x2sin1x，A正確；對于B，因為y＝ln1+2x＝12ln(1＋2x)，所以y′＝12·11+2x·(1＋2x)′＝11+2x，B正確；對于C，y＝1tanx＝cosxsinx，y′＝3．已知函數f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝________.e2解析：因為f′(x)＝12x－3·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝22x－3＋ae－x－axe－x，所以f′(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-21．求導之前，應利用代數運算、三角恒等式等對函數進行化簡，然后求導，盡量避免不必要的商的求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯．2．(1)若函數為根式形式，可先化為分數指數冪，再求導．(2)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時可進行換元．導數的幾何意義考向1求切線方程【例1】(1)(2024·撫州模擬)設f′(x)為函數f(x)的導函數，若f(x)＝(x＋1)ex－f′(0)x，則曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為()A．y＝－x＋1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x＋1 D．y＝x＋1D解析：因為f(x)＝(x＋1)ex－f′(0)x，所以f′(x)＝(x＋2)ex－f′(0)．令x＝0，得f′(0)＝2－f′(0)．故f′(0)＝1，所以f(x)＝(x＋1)ex－x，所以f(0)＝1.故曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1.(2)過點(0，3)且與曲線y＝x3－2x＋1相切的直線方程為()A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0B解析：由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2.設切點坐標為(x0，x03－2x0＋1)，則切線的斜率k＝3x02－2，切線方程為y－(3x02－2x0＋1)＝(3x02－2)(x－x0)．由切線過點(0，3)，代入切線方程解得x0＝－1，所以切線方程為y－2＝求曲線過點P的切線方程的方法(1)當點P(x0，f(x0))是切點時，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)當點P(x0，f(x0))不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點的坐標P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(x0，f(x0))代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，f(x0))的切線方程．考向2求切點坐標【例2】(1)若曲線y＝x24－3lnx在x＝x0處的切線的斜率為12，則x3解析：由y＝x24－3lnx，得y′＝12x－3x(x>0)，故12x0－3x0＝12，解得x0＝3或x0＝－(2)設曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝1x(x＞0)上點P處的切線垂直，則點P的坐標為(1，1)解析：點(0，1)在曲線y＝ex上．因為y′＝ex，所以曲線y＝ex在點(0，1)處的切線的斜率k1＝e0＝1.設P(m，n)，因為y＝1x(x>0)的導數為y′＝－1x2(x>0)，所以曲線y＝1x(x>0)在點P處的切線斜率k2＝－1m2(m>0)．因為兩切線垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點求切點坐標的思路已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數，再讓切點的導數等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，再將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標．考向3求參數的值或取值范圍【例3】(1)(2024·江門模擬)若曲線y＝e2ax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：直線x＋2y＋1＝0的斜率為k＝－12，由題設知y＝e2ax在(0，1)處的切線的斜率為2，而y′＝2a·e2ax，所以y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1.故選C(2)若函數f(x)＝2lnx＋x2＋mx＋1的圖象上任意一點的切線的斜率都大于0，則實數m的取值范圍為()A．(－∞，－4) B．(－∞，4)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)C解析：f(x)的定義域是(0，＋∞)，依題意，f′(x)＝2x＋2x＋m>0恒成立，即－m<2x＋2x恒成立．由于2x＋2x≥22x·2x＝4，當且僅當2x＝2x，即x＝1時等號成立，所以利用導數的幾何意義求參數的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．提醒：(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．考向4導數與函數圖象的關系【例4】已知函數f(x)的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D解析：f′(2)和f′(3)分別表示函數f(x)在x＝2和x＝3處的切線的斜率，結合圖象可得0<f′(3)<f′(2)，而f(3)－f(2)＝f3－f23－2，表示過(2，f(2))和(3，f(3))兩點的直線的斜率，則0<f′(3)<f(3)函數圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數圖象在相應點處的變化情況．由切線的斜率大小可以判斷出函數圖象升降的快慢．1．(2024·煙臺模擬)若曲線y＝x3＋bx2＋c在點M(1，0)處的切線與直線x－y－2＝0垂直，則c的值為()A．－1 B．0C．1 D．2C解析：設f(x)＝x3＋bx2＋c，則f′(x)＝3x2＋2bx，又直線x－y－2＝0的斜率為1，由題意可得f'1=32．已知直線y＝ax－1與曲線y＝lnx＋x相切，則a＝()A．1 B．2C．e D．2eB解析：函數y＝lnx＋x的定義域為(0，＋∞)．設切點為(t，lnt＋t)(t＞0)，由y′＝1x＋1，得切線的斜率為1t＋1，則切線方程為y－(lnt＋t)＝1t+1(x－t)，整理得y＝1t+1x－1＋lnt3．(2022·新高考全國Ⅱ卷)寫出曲線y＝ln|x|過坐標原點的切線方程：__________，__________.y＝1exy＝－1ex解析：因為y＝ln|x當x>0時y＝lnx，設切點為(x0，lnx0)，由y′＝1x，得y′|x＝x0＝1x0，所以切線方程為y－lnx0＝1因為切線過坐標原點，所以－lnx0＝1x0(－x0)，解得x0＝所以切線方程為y－1＝1e(x－e)，即y＝1e當x<0時y＝ln(－x)，設切點為(x1，ln(－x1))，由y′＝1x，得y′|x＝x1＝1x1，得切線方程為y－ln(－x1)＝1x1(x－x1).因為切線過坐標原點，所以－ln(－x1)＝1x1(－x1)，解得x1＝－e，所以切線方程為y－1＝－1課時質量評價(十五)1．已知曲線y＝f(x)＝2xcosx在x＝0處的切線為l，則l的斜率為()A．ln2 B．－ln2C．1 D．－1A解析：對f(x)＝2xcosx求導，得f′(x)＝(ln2)×2xcosx－2xsinx，由題意可知曲線y＝f(x)＝2xcosx在x＝0處的切線l的斜率為kl＝f′(0)＝(ln2)×20·cos0－20·sin0＝ln2.2．(2024·邢臺模擬)在一次跳水運動中，某運動員跳水過程中的重心相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系：h(t)＝－4t2＋4t＋11.該運動員在t＝1s時的瞬時速度(單位：m/s)為A．－4 B．4C．11 D．－11A解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即該運動員在t＝1s時的瞬時速度為－4m/s.3．函數y＝f(x)的圖象與其在點P處的切線如圖所示，則f(1)－f′(1)等于()A．－2 B．0C．2 D．4D解析：由題圖可知切線經過點(2，0)，(0，4)，可得切線的斜率為k＝4－00－2＝－2，即f′(1)＝－2，則切線方程為y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)－f′(1)＝4．(2024·揭陽模擬)已知曲線y＝f(x)＝x3＋2ax2＋x＋b在點(1，0)處的切線的傾斜角為3π4，則a＋b＝(A．－34 B．－C．－2 D．－11A解析：f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由題意可知曲線在點(1，0)處的切線斜率k＝tan3π4＝－1，則f1=2+2a+b=0，f'15．已知函數f(x)＝3x+1，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為A．3x＋4y＋5＝0 B．3x－4y＋5＝0C．x＋4y＋7＝0 D．x－4y＋7＝0B解析：由已知可得，f(x)＝3x+1＝3x+112，所以f′(x)＝123x+1－12×3＝323x+1－12.根據導數的幾何意義可知，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為k＝f′(1)＝32×3×16．(多選題)已知函數y＝f(x)(x∈R)圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列結論正確的是()A．f′(1)＝－5B．在x＝2處的切線平行或重合于x軸C．切線斜率的最小值為1D．f′(4)＝12AB解析：由題意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)．對于A，f′(1)＝－5，A正確；對于B，當x＝2時，f′(2)＝0，故在x＝2處的切線平行或重合于x軸，B正確；對于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值為－9，故C錯誤；對于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D錯誤．7．(多選題)已知函數f(x)＝ex，則下列結論正確的是()A．曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1B．曲線y＝f(x)的切線斜率可以是－1C．過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條D．過點(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有2條AC解析：因為函數f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.對于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1，故A正確；對于B，令f′(x)＝ex＝－1，此方程無解，所以曲線y＝f(x)的切線斜率不可以是－1，故B錯誤；對于C，設切點為(x0，ex0)，則切線方程為y-ex0＝ex0(x－x0)，因為直線經過(0，1)，所以有1-ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即為切點，過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有一條，故C正確；對于D，設切點為(x0，ex0)，則切線方程為y-ex0＝ex0(x－x08．已知函數f(x)＝1ax－1＋excosx，若f′(0)＝－1，則2解析：因為f′(x)＝－aax－12＋excosx－exsinx，所以f′(0)＝－a＋1＝－9．一個小球作簡諧振動，其運動方程為s＝2sinπ6t+π3，其中s(單位：cm)是小球相對于平衡點的位移，t(單位：s)為運動時間，則小球在t0解析：由s＝2sinπ6t+π3，得s′＝π3cosπ6t+π310．(2024·許昌模擬)點P是曲線y＝f(x)＝2x2－3lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－4的最短距離為________.522解析：由題可得f′(x)＝4x－3x(x>0)，令f′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=－34舍去.又f(1)＝2，所以與直線y＝x－4平行且與曲線y＝f(x)相切的直線的切點為(1，2)，所以點P到直線y11．已知曲線y＝2ax＋lnx在點(1，2a)處的切線與直線y＝12x＋2垂直，則常數a的值是(A．－12 B．C．－32 D．C解析：由y＝2ax＋lnx，得y′＝2a＋1x，所以在點(1，2a)處的切線的斜率為k＝2a＋1.又曲線y＝2ax＋lnx在點(1，2a)處的切線與直線y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－12．(多選題)已知函數f(x)及其導函數f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”．下列選項中有“巧值點”的函數是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanxAC解析：若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f(x)＝e－x，則f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，則f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐標系內作出函數y＝lnx與y＝1x的圖象(作圖略)，可得兩函數的圖象有一個交點，所以方程f(x)＝f′(x)存在實數解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，則f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化簡得sinxcos13．若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋2)的切線，則b的值為()A．0 B．1C．0或1 D．0或－1B解析：設y＝kx＋b是y＝lnx＋2在點(a，lna＋2)處的切線，則k=1a，lna+2=ka+b.同理設y＝kx＋b是y＝ln(x＋2)在點(c，ln(c＋2))處的切線，則k=1c+14．(2024·綿陽模擬)若函數f(x)＝x2－ax與g(x)＝lnx＋2x的圖象在公共點處有相同的切線，則實數a＝()A．－2 B．－1C．e D．－2eB解析：設函數f(x)＝x2－ax與函數g(x)＝lnx＋2x的圖象公共點的坐標為(x0，y0)，求導得f′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依題意，得于是x02+lnx0－1=0，a=2x0－1x0－2.令函數