2025年高考數(shù)學總復習 19 第三章 第一節(jié) 導數(shù)的概念及運算

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算考試要求：1．了解導數(shù)概念的實際背景．2．理解導數(shù)的幾何意義．3．能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，會求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)．自查自測知識點一導數(shù)的概念1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(×)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(×)(3)曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與過點P(x0，y0)的切線相同．(×)2．已知函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)為12，則limΔx→0A．－4 B．4C．－36 D．36A解析：根據(jù)題意，由函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)為12，得limΔx→0fx0－Δx－f3．一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關系為s＝18t2，則t＝2時，此木塊在水平方向的瞬時速度為(BA．14 B．C．1 D．24．函數(shù)y＝x在x＝x0(x0≠0)處的導數(shù)為12x0，在點(1，1)核心回扣1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)如果當Δx→0時，平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．注意點：(1)y＝f′(x)是一個函數(shù)，f′(x0)是函數(shù)y＝f′(x)在x0處的函數(shù)值．(2)函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)y＝f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”．自查自測知識點二導數(shù)的運算1．(多選題)(教材改編題)下列導數(shù)的運算中正確的是(ABD)A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC．cosxx′D．(sinxcosx)′＝cos2x2．設f(x)＝ex＋ln2的導函數(shù)為f′(x)，則f′(1)的值為(DA．0 B．eC．e+12 3．設函數(shù)f(x)＝e2xx+a，若f′(0)＝1解析：由題意可知f′(x)＝2e2xx+a－e2xx+a2，由f′(0)＝1，得2a－14．若函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則f′(1)＝－2．核心回扣1．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα-1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝12.若f′(x)，g′(x)存在，則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx'＝f'x3.復合函數(shù)的導數(shù)一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)之間的關系為yx'＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對【常用結(jié)論】1.奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．2.熟記以下結(jié)論：(1)1x′＝－1x2；(2)(x)′＝12x；(3)1fx′＝－f'xfx2(f(x)≠0)；(4)[af(x)±應用1若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為(C)A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)應用2若f(x)＝ax2－1且f′(1)＝2，則a導數(shù)的計算1．若函數(shù)f(x)＝x2，則limΔxA．－2 B．－1C．12 D．A解析：因為f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以limΔx→0f1－f2．(多選題)下列結(jié)論正確的是()A．若y＝cos1x，則y′＝1xB．若y＝ln1+2x，則yC．若y＝1tanx，則y′D．若y＝x2024＋log2x，則y′＝2024x2023＋1ABD解析：對于A，y′＝－sin1x·1x′＝1x2sin1x，A正確；對于B，因為y＝ln1+2x＝12ln(1＋2x)，所以y′＝12·11+2x·(1＋2x)′＝11+2x，B正確；對于C，y＝1tanx＝cosxsinx，y′＝3．已知函數(shù)f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝________.e2解析：因為f′(x)＝12x－3·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝22x－3＋ae－x－axe－x，所以f′(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-21．求導之前，應利用代數(shù)運算、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導，盡量避免不必要的商的求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯．2．(1)若函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導．(2)復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時可進行換元．導數(shù)的幾何意義考向1求切線方程【例1】(1)(2024·撫州模擬)設f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，若f(x)＝(x＋1)ex－f′(0)x，則曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為()A．y＝－x＋1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x＋1 D．y＝x＋1D解析：因為f(x)＝(x＋1)ex－f′(0)x，所以f′(x)＝(x＋2)ex－f′(0)．令x＝0，得f′(0)＝2－f′(0)．故f′(0)＝1，所以f(x)＝(x＋1)ex－x，所以f(0)＝1.故曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1.(2)過點(0，3)且與曲線y＝x3－2x＋1相切的直線方程為()A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0B解析：由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2.設切點坐標為(x0，x03－2x0＋1)，則切線的斜率k＝3x02－2，切線方程為y－(3x02－2x0＋1)＝(3x02－2)(x－x0)．由切線過點(0，3)，代入切線方程解得x0＝－1，所以切線方程為y－2＝求曲線過點P的切線方程的方法(1)當點P(x0，f(x0))是切點時，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)當點P(x0，f(x0))不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點的坐標P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(x0，f(x0))代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，f(x0))的切線方程．考向2求切點坐標【例2】(1)若曲線y＝x24－3lnx在x＝x0處的切線的斜率為12，則x3解析：由y＝x24－3lnx，得y′＝12x－3x(x>0)，故12x0－3x0＝12，解得x0＝3或x0＝－(2)設曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝1x(x＞0)上點P處的切線垂直，則點P的坐標為(1，1)解析：點(0，1)在曲線y＝ex上．因為y′＝ex，所以曲線y＝ex在點(0，1)處的切線的斜率k1＝e0＝1.設P(m，n)，因為y＝1x(x>0)的導數(shù)為y′＝－1x2(x>0)，所以曲線y＝1x(x>0)在點P處的切線斜率k2＝－1m2(m>0)．因為兩切線垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點求切點坐標的思路已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，再讓切點的導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，再將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標．考向3求參數(shù)的值或取值范圍【例3】(1)(2024·江門模擬)若曲線y＝e2ax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：直線x＋2y＋1＝0的斜率為k＝－12，由題設知y＝e2ax在(0，1)處的切線的斜率為2，而y′＝2a·e2ax，所以y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1.故選C(2)若函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2＋mx＋1的圖象上任意一點的切線的斜率都大于0，則實數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，－4) B．(－∞，4)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)C解析：f(x)的定義域是(0，＋∞)，依題意，f′(x)＝2x＋2x＋m>0恒成立，即－m<2x＋2x恒成立．由于2x＋2x≥22x·2x＝4，當且僅當2x＝2x，即x＝1時等號成立，所以利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．提醒：(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．考向4導數(shù)與函數(shù)圖象的關系【例4】已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D解析：f′(2)和f′(3)分別表示函數(shù)f(x)在x＝2和x＝3處的切線的斜率，結(jié)合圖象可得0<f′(3)<f′(2)，而f(3)－f(2)＝f3－f23－2，表示過(2，f(2))和(3，f(3))兩點的直線的斜率，則0<f′(3)<f(3)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況．由切線的斜率大小可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢．1．(2024·煙臺模擬)若曲線y＝x3＋bx2＋c在點M(1，0)處的切線與直線x－y－2＝0垂直，則c的值為()A．－1 B．0C．1 D．2C解析：設f(x)＝x3＋bx2＋c，則f′(x)＝3x2＋2bx，又直線x－y－2＝0的斜率為1，由題意可得f'1=32．已知直線y＝ax－1與曲線y＝lnx＋x相切，則a＝()A．1 B．2C．e D．2eB解析：函數(shù)y＝lnx＋x的定義域為(0，＋∞)．設切點為(t，lnt＋t)(t＞0)，由y′＝1x＋1，得切線的斜率為1t＋1，則切線方程為y－(lnt＋t)＝1t+1(x－t)，整理得y＝1t+1x－1＋lnt3．(2022·新高考全國Ⅱ卷)寫出曲線y＝ln|x|過坐標原點的切線方程：__________，__________.y＝1exy＝－1ex解析：因為y＝ln|x當x>0時y＝lnx，設切點為(x0，lnx0)，由y′＝1x，得y′|x＝x0＝1x0，所以切線方程為y－lnx0＝1因為切線過坐標原點，所以－lnx0＝1x0(－x0)，解得x0＝所以切線方程為y－1＝1e(x－e)，即y＝1e當x<0時y＝ln(－x)，設切點為(x1，ln(－x1))，由y′＝1x，得y′|x＝x1＝1x1，得切線方程為y－ln(－x1)＝1x1(x－x1).因為切線過坐標原點，所以－ln(－x1)＝1x1(－x1)，解得x1＝－e，所以切線方程為y－1＝－1課時質(zhì)量評價(十五)1．已知曲線y＝f(x)＝2xcosx在x＝0處的切線為l，則l的斜率為()A．ln2 B．－ln2C．1 D．－1A解析：對f(x)＝2xcosx求導，得f′(x)＝(ln2)×2xcosx－2xsinx，由題意可知曲線y＝f(x)＝2xcosx在x＝0處的切線l的斜率為kl＝f′(0)＝(ln2)×20·cos0－20·sin0＝ln2.2．(2024·邢臺模擬)在一次跳水運動中，某運動員跳水過程中的重心相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系：h(t)＝－4t2＋4t＋11.該運動員在t＝1s時的瞬時速度(單位：m/s)為A．－4 B．4C．11 D．－11A解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即該運動員在t＝1s時的瞬時速度為－4m/s.3．函數(shù)y＝f(x)的圖象與其在點P處的切線如圖所示，則f(1)－f′(1)等于()A．－2 B．0C．2 D．4D解析：由題圖可知切線經(jīng)過點(2，0)，(0，4)，可得切線的斜率為k＝4－00－2＝－2，即f′(1)＝－2，則切線方程為y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)－f′(1)＝4．(2024·揭陽模擬)已知曲線y＝f(x)＝x3＋2ax2＋x＋b在點(1，0)處的切線的傾斜角為3π4，則a＋b＝(A．－34 B．－C．－2 D．－11A解析：f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由題意可知曲線在點(1，0)處的切線斜率k＝tan3π4＝－1，則f1=2+2a+b=0，f'15．已知函數(shù)f(x)＝3x+1，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為A．3x＋4y＋5＝0 B．3x－4y＋5＝0C．x＋4y＋7＝0 D．x－4y＋7＝0B解析：由已知可得，f(x)＝3x+1＝3x+112，所以f′(x)＝123x+1－12×3＝323x+1－12.根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為k＝f′(1)＝32×3×16．(多選題)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列結(jié)論正確的是()A．f′(1)＝－5B．在x＝2處的切線平行或重合于x軸C．切線斜率的最小值為1D．f′(4)＝12AB解析：由題意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)．對于A，f′(1)＝－5，A正確；對于B，當x＝2時，f′(2)＝0，故在x＝2處的切線平行或重合于x軸，B正確；對于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值為－9，故C錯誤；對于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D錯誤．7．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝ex，則下列結(jié)論正確的是()A．曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1B．曲線y＝f(x)的切線斜率可以是－1C．過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條D．過點(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有2條AC解析：因為函數(shù)f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.對于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1，故A正確；對于B，令f′(x)＝ex＝－1，此方程無解，所以曲線y＝f(x)的切線斜率不可以是－1，故B錯誤；對于C，設切點為(x0，ex0)，則切線方程為y-ex0＝ex0(x－x0)，因為直線經(jīng)過(0，1)，所以有1-ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即為切點，過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有一條，故C正確；對于D，設切點為(x0，ex0)，則切線方程為y-ex0＝ex0(x－x08．已知函數(shù)f(x)＝1ax－1＋excosx，若f′(0)＝－1，則2解析：因為f′(x)＝－aax－12＋excosx－exsinx，所以f′(0)＝－a＋1＝－9．一個小球作簡諧振動，其運動方程為s＝2sinπ6t+π3，其中s(單位：cm)是小球相對于平衡點的位移，t(單位：s)為運動時間，則小球在t0解析：由s＝2sinπ6t+π3，得s′＝π3cosπ6t+π310．(2024·許昌模擬)點P是曲線y＝f(x)＝2x2－3lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－4的最短距離為________.522解析：由題可得f′(x)＝4x－3x(x>0)，令f′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=－34舍去.又f(1)＝2，所以與直線y＝x－4平行且與曲線y＝f(x)相切的直線的切點為(1，2)，所以點P到直線y11．已知曲線y＝2ax＋lnx在點(1，2a)處的切線與直線y＝12x＋2垂直，則常數(shù)a的值是(A．－12 B．C．－32 D．C解析：由y＝2ax＋lnx，得y′＝2a＋1x，所以在點(1，2a)處的切線的斜率為k＝2a＋1.又曲線y＝2ax＋lnx在點(1，2a)處的切線與直線y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－12．(多選題)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”．下列選項中有“巧值點”的函數(shù)是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanxAC解析：若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f(x)＝e－x，則f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，則f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝1x的圖象(作圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程f(x)＝f′(x)存在實數(shù)解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，則f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化簡得sinxcos13．若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋2)的切線，則b的值為()A．0 B．1C．0或1 D．0或－1B解析：設y＝kx＋b是y＝lnx＋2在點(a，lna＋2)處的切線，則k=1a，lna+2=ka+b.同理設y＝kx＋b是y＝ln(x＋2)在點(c，ln(c＋2))處的切線，則k=1c+14．(2024·綿陽模擬)若函數(shù)f(x)＝x2－ax與g(x)＝lnx＋2x的圖象在公共點處有相同的切線，則實數(shù)a＝()A．－2 B．－1C．e D．－2eB解析：設函數(shù)f(x)＝x2－ax與函數(shù)g(x)＝lnx＋2x的圖象公共點的坐標為(x0，y0)，求導得f′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依題意，得于是x02+lnx0－1=0，a=2x0－1x0－2.令函數(shù)