2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 30 第四章 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考試要求：1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sin2．借助單位圓的對稱性推導(dǎo)出π2±α，π±α自查自測知識點一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，則tanα＝sinαcosα(3)sin2α＋cos2α＝1成立的條件是α為銳角．(×)2．若sinα＋cosα＝22，則sinαcosα＝(A．－12 B．－C．22 D．B解析：因為sinα＋cosα＝22，所以(sinα＋cosα)2＝12，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12，即1＋2sinαcosα＝12，所以sinαcosα3.已知sinα＝55，π2＜α≤π，則tanαA．－2 B．2C．12 D．－D解析：因為π2＜α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－所以tanα＝sinαcosα＝核心回扣同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；商數(shù)關(guān)系：sinαcosα＝tan注意點：同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cos2α2＝1，sin5xcos5x＝tan5x(5x≠kπ+π2，k∈Z)成立，但是自查自測知識點二誘導(dǎo)公式1．(教材改編題)sin210?cos120?的值為()A．14 B．－C．－32 D．A解析：sin210?cos120?＝－sin30?·(－cos60?)＝－12×－2．(教材改編題)已知sinα－π4＝32，則sin5πA．12 B．－C．32 D．－C解析：sin5π4－α＝sinπ－α－3．化簡cosα－π2sin5sinα解析：原式＝sinαcosα·cosα＝核心回扣1．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限2.記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．“符號”看的是誘導(dǎo)公式中，把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，而不是α【常用結(jié)論】1．sinα＝±1－cos2α；cosα＝±1－sin2α；(sinα±cosα)22．sin2α＝sin2αsin2α+cos2α＝tan3．sinα＝tanαcosαα≠應(yīng)用1若sinxcosx＝18，則cosx－sinx的值是(A．±32 B．C．－32 D．±A解析：因為(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝1－2×18＝34，所以cosx－sinx＝±應(yīng)用2若tanα＝－22，α∈－π2，0，則cosαA．－13 B．C．－33 D．B解析：由cos2α＝cos2αsin2α+cos2α＝1tan2α+1，得cos2α＝19同角三角函數(shù)關(guān)系的基本應(yīng)用考向1知弦求弦、切或知切求弦【例1】(1)若θ是三角形的一個內(nèi)角，且tanθ＝－43，則sinθ－cosθ＝(A．15 B．－C．75 D．－C解析：(方法一)由題意，知tanθ＝sinθcosθ＝－43，θ∈(0，π)，故sinθ＞0，cosθ＜0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝45，cosθ＝－35.所以sin(方法二)因為tanθ＝－43＜0，所以θ∈π2，JP2π，故sinθ－cosθ＞0，則(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθcos2θ+sin2θ(2)(2024·泰州模擬)已知cosα＝－513，則13sinα＋5tanα＝0解析：因為cosα＝－513＜0且cosα≠－1所以α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，則sinα＝1－cos2α＝所以tanα＝sinαcosα＝12此時13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×－12②若α是第三象限角，則sinα＝－1－cos2α＝－1所以tanα＝sinαcosα＝此時13sinα＋5tanα＝13×－1213＋5×12綜上所述，13sinα＋5tanα＝0.[變式]將本例(1)改為：已知α是三角形的一個內(nèi)角，且tanα＝－13，求sinα＋cosα解：由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，且sinα＞0，cosα＜將其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1所以cosα＝－31010，sinα＝故sinα＋cosα＝－105由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，當(dāng)利用“平方關(guān)系”公式求平方根時，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷三角函數(shù)值的符號，當(dāng)角所在的象限不明確時，要進(jìn)行分類討論．考向2sinα，cosα的齊次式問題【例2】(1)若tanα＝2，則sinα+cosA．3 B．－3C．85 D．－A解析：因為tanα＝2＝sinαcosα，所以cosα≠0，則sin(2)已知tanα＝－34，則sinα(sinα－cosα)＝(A．2125 B．C．45 D．A解析：sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α+cos2α＝tan[變式]本例(1)條件不變，求cos2α＋12sin2α解：cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α又tanα＝2，所以cos2α＋12sin2α＝1+tanα1若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的最高次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值．考向3sinα±cosα，sinαcosα之間的關(guān)系【例3】已知sinα＋cosα＝－1713，α∈π，5π4，則sinα－cosαA．213 B．－C．713 D．－C解析：因為sinα＋cosα＝－1713，所以(sinα＋cosα)2＝289169，則2sinαcosα＝所以sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝49169，即(sinα－cosα)2＝49又α∈π，5π4，所以sinα＞cosα，故sinα－cosα＞0，所以sinα－cosα對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t21．若θ∈(0，π)，tanθ＋1tanθ＝6，則sinθ＋cosθ＝A．233 B．C．±2A解析：因為tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ+cosθsinθ又θ∈(0，π)，則sinθ>0，cosθ>0，所以sinθ＋cosθ>0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝43，所以sinθ＋cosθ＝22．(2024·廣東一模)“α＝π4＋kπ(k∈Z)”是“3cos2α+sin2αsinαcosA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知關(guān)于x的方程2x2－bx＋14＝0的兩根分別為sinθ和cosθ，θ∈π(1)求實數(shù)b的值；(2)求2sin解：(1)因為sinθ，cosθ為關(guān)于x的方程2x2－bx＋14＝0所以Δ所以(sinθ＋cosθ)2＝b24＝1＋2sinθcosθ＝1＋14＝54，即b24＝54，解得b＝±又θ∈π4，3π4，所以sinθ＋cosθ>0，所以(2)因為θ∈π4，3π4，所以sin所以sinθ－cosθ＝sinθ－cosθ所以2sinθcosθ+誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例4】(1)若sin(π＋α)＝－12，則sin(4π－α)的值是(A．12 B．－C．－32 D．B解析：由題知，sinα＝12，所以sin(4π－α)＝－sinα＝－1(2)(2024·泰安模擬)記cos(－80?)＝k，那么tan280?＝()A．1－k2kC．k1－k2B解析：因為cos(－80?)＝k，所以sin(－80?)＝－1－所以tan280?＝tan(－80?)＝sin－80?cos－(3)cosα+πsinA．1 B．－1C．sinα D．tanαB解析：原式＝－cosαsin2αtanαtan(4)已知cosπ6－α＝23，則－23解析：sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝1.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用口訣(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角就終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少目的到．2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟1．(2024·寧波模擬)已知tanα＝3，則sinπ－α+A．－12 B．C．54 D．B解析：sinπ－α+2cosπ+αsinπ2+α+2．(多選題)在△ABC中，下列等式一定成立的是()A．sinA+B2＝－cosC2 B．sin(2A＋2B)C．tan(A＋B)＝－tanC D．sin(A＋B)＝sinCCD解析：sinA+B2＝sinπ2－C2sin(2A＋2B)＝sin[2(π－C)]＝sin(2π－2C)＝－sin2C，故B錯誤；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故C正確；sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故D正確．3．已知sinα－π12＝13，則13解析：由sinα－π12＝13，得cosα+17π12＝4．已知f(α)＝cosπ2+αsin12解析：因為f(α)＝cosπ2+αsin所以f－25π3＝cos－25π3＝cos課時質(zhì)量評價(二十二)1．(多選題)若cos(π－α)＝－12，則(A．sin(－α)＝32 B．sinπ2+C．cos(π＋α)＝－12 D．cos(α－π)＝－CD解析：由cos(π－α)＝－12，得cosα＝12，則sinα＝±A．sin(－α)＝－sinα＝±32B．sinπ2+α＝cosαC．cos(π＋α)＝－cosα＝－12D．cos(α－π)＝cos(π－α)＝－12故選CD．2．(2024·冀州模擬)若sin5π2+α＝15，則cos(π＋α)A．－25 B．－C．1B解析：因為sin5π2+α＝sin2π+π2+α＝sinπ2+α＝cosα＝15，所以3．已知角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若sinA+B－C2＝sinA－BA．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形C解析：因為sinA+B－C2＝sinA－B+C所以sinπ－2C2＝sinπ－2B又因為B，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，則△ABC一定是等腰三角形．4．(多選題)(2024·青島模擬)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，則下列結(jié)論正確的是(A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝ABD解析：由題意知sinθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425又因為θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜π，所以sinθ－cosθ＞0所以sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－－2425＝4925＝7所以tanθ＝－43.故A，B，D正確5．已知sin3π2－α＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinαcosα等于A．2110 B．C．32 D．D解析：由誘導(dǎo)公式可得sinα＝sin3π2－α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以2sin2α－sinαcosα＝2sin2α6．已知sinπ2+α＝－45，那么tanα920解析：因為sinπ2+α＝－45，所以cosα＝－45，sin2α＝1－cos2α＝1－1625＝925，所以tanα·sinα7．已知sin－π2－αcos－7π2+α＝1225，且0＜α＜π43545解析：sin－π2－αcos－7π2+α＝－cosα·(因為0＜α＜π4，所以0＜sinα＜cosα.又因為sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝35，cosα＝8．(2024·長沙模擬)已知sinπ4－α＝35，且π4－α為第二象限角，則sinα75解析：因為sinπ4－α＝35，且π4－α為第二象限角，所以所以sinα－13π4＋sinα+21π4＝sinπ4－α－cosπ4－9．已知α為第三象限角，f(α)＝sinα(1)化簡f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f解：(1)f(α)＝sinα－π2·cos3π(2)因為cosα－3π2＝15，所以－sinα＝15，從而sin又α為第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－265，所以f(α)＝10．(2024·鄭州模擬)已知角α∈－π2，0，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，則sin(α＋2023π)A．154 B．C．－34 D．－A解析：因為tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0.因為α∈－π2，0，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即sin所以cosα＝14，所以sinα＝－1－cos2α＝－154，所以sin(α＋2023π)11．(數(shù)學(xué)與生活)黑洞原指某種天體，它體積小，密度大，引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來．?dāng)?shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新數(shù)字串；重復(fù)以上的工作，最后會得到一個反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”．如果把這個數(shù)字設(shè)為a，則sinaπ2+πA．12 B．－C．32 D．－D解析：根據(jù)數(shù)字黑洞的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后變?yōu)?14，經(jīng)過第二步之后變?yōu)?23，再變?yōu)?23……所以數(shù)字黑洞為123，即a＝123，所以sinaπ2+π6＝sin123π2+π12．(多選題)定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝π2，則稱θ與φ“廣義互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能與角α“廣義互余”的是(A．sinβ＝154 B．cos(π＋β)＝C．tanβ＝15 D．tanβ＝15AC解析：因為sin(π＋α)＝－sinα＝－14，所以sinα＝14，cosα＝±若α＋β＝π2，則β＝π2－A中，sinβ＝sinπ2－α＝cosα＝±15B中，cos(π＋β)＝－cosπ2－α＝－sinα＝－1C中，tanβ＝15，即sinβ＝15cosβ，又si