2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 31 課時質(zhì)量評價(三十一)

課時質(zhì)量評價(三十一)1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點A的坐標(biāo)為(1，－1)，則z的實部與虛部的和是()A．2 B．0C．1＋i D．1－iB解析：由題意可知z＝1－i，所以復(fù)數(shù)z的實部是1，虛部是－1，其和為0.2．(2024·煙臺模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則z等于()A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－iC解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4+3i1+2i＝4+3i1－2i3．已知i為虛數(shù)單位，則2+i3－4i2A．5 B．5iC．－75－124．(數(shù)學(xué)與文化)歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是()A．eiπ的實部為0B．e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C．|eiθ|＝1D．eiπ的共軛復(fù)數(shù)為1C解析：對于A，eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，則實部為－1，A錯誤；對于B，e2i＝cos2＋isin2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(cos2，sin2)，因為cos2<0，sin2>0，所以e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，B錯誤；對于C，|eiθ|＝|cosθ＋isinθ|＝cos2θ+sin2對于D，eiπ＝cosπ＋isinπ，則其共軛復(fù)數(shù)為cosπ－isinπ＝－1，D錯誤．5．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝2i，則z＝________．－1＋i解析：由題意可得z＝2i1－i＝2i16．(2024·石家莊模擬)設(shè)O是坐標(biāo)原點，向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i解析：因為向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋所以O(shè)A＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，所以BA＝OA－OB＝其對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.7．已知復(fù)數(shù)z滿足1≤|z－(1－i)|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z所在區(qū)域的面積為________．3π解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，則1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即對應(yīng)區(qū)域的面積是圓心為(1，－1)，半徑分別為1，2的兩個同心圓的面積的差，所以點Z所在區(qū)域的面積為4π－π＝3π.8．已知復(fù)數(shù)z＝1－(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求實數(shù)a，b的值．解：(1)z＝－2i+3+3i(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以a+b9．在復(fù)平面內(nèi)，滿足條件|z＋4i|＝2|z＋i|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是()A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線B解析：設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2結(jié)合題意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是圓．10．(多選題)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是()A．z1－z2＝zB．zC．若z1z2∈R，則z1＝z2D．若z1－z2＝0，則zABD解析：設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，z1－z2＝(a－c)－(b－d)i，z1－z2＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－z1z2＝acz1·z2＝當(dāng)z1＝i，z2＝－4i時，z1z2＝4∈R，但是z1≠z2，C若z1－z2＝0，則a－c+b－di＝a－c2+b－d2＝011．(多選題)已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M(x，y)，則下列說法正確的是()A．復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限B．1C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．z2－ABD解析：對于A，復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(－2，1)，該點位于第二象限，故A正確；對于B，1z1＝1對于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，又因為|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C錯誤；對于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，則|z1－1＋2i|＝－3|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋32，故D正確．12．(2024·鄒城模擬)一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．為了與三角形式區(qū)分開來，a＋bi(a，b∈R)叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2+isinθ2，cos(π＋θ1＋θ2)＝35，其中θ1∈0，π2，θ2∈0－35+45i解析：因為cos(π＋θ1＋θ2)＝－cos(θ1＋θ2)＝35，所以cos(θ1＋θ2又θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，所以θ1所以sin(θ1＋θ2)＝1－所以z1z2＝(cosθ1＋isinθ1)(cosθ2＋isinθ2)＝cos＝cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)＝－3513．在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad－bc是由abcd所確定的二階行列式．若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝2+i1－i，z3－2解析：依題意知，z1z2z3z4＝z因為z3＝z2，且z2＝2+i1－i＝2+i1+i2＝1因此有(1＋i)z4－52＝12－i，即(1＋i)z4＝故z4＝3－i1+i所以z4的虛部是－2.14．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：①z＋5z②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由．解：這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.設(shè)