2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 58 第七章 第五節(jié) 數(shù)列求和(二)

第五節(jié)數(shù)列求和(二)考試要求：1．掌握等差、等比數(shù)列的求和公式．2．掌握非等差、非等比數(shù)列求和的常用方法，如裂項(xiàng)相消法求和、錯(cuò)位相減法求和等．自查自測知識點(diǎn)一裂項(xiàng)相消法求和1．(教材改編題)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若an＝1nn+1，則S5A．1 B．5C．16 D．B解析：因?yàn)閍n＝1n所以S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－122．12234－121所以1＝12·＝1核心回扣1．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．2．一般形式：通項(xiàng)公式形如1anbn，其中bn－an＝d(d注意點(diǎn)：(1)裂項(xiàng)前后的式子應(yīng)相等，有時(shí)需要添加相應(yīng)的系數(shù)；(2)觀察前幾項(xiàng)相消的特點(diǎn)，總結(jié)相消規(guī)律求和．自查自測知識點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和1．(教材改編題)12+12A．2n－n－C．2n－nB解析：由Sn＝12+12得12①－②，得12所以Sn＝2n2．化簡Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1的結(jié)果是()A．2n+1＋n－2 B．2n+1－n＋2C．2n－n－2 D．2n+1－n－2D解析：由Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1①，得2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n-1＋2n②，①－②，得－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n+1，所以Sn＝2n+1－n－2.核心回扣1．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法．2．一般形式：通項(xiàng)公式形如anbn，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列的數(shù)列適用錯(cuò)位相減法求和．注意點(diǎn)：(1)求和時(shí)注意格式，錯(cuò)位書寫、錯(cuò)位對齊，不要因?yàn)闀鴮懟靵y導(dǎo)致相減錯(cuò)誤；(2)和式兩邊同乘等比數(shù)列的公比．【常用結(jié)論】常見的裂項(xiàng)公式(1)1nn+1＝1n(4)1n+n+1＝n+1－n；(7)an＝2n2n－12n+1(9)an＝(－1)n-14n2n－12n+1＝(－1)n-應(yīng)用已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(diǎn)(4，2)，令an＝1fn+1+fn，n∈N*.記數(shù)列{an}的前2026－1解析：由f(4)＝2，得4a＝2，解得a＝12，則f(x)所以an＝1fS2025＝a1＋a2＋a3＋…＋a2025＝2－1＋3－2＋4－3＋…＋2裂項(xiàng)相消法求和【例1】(1)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，設(shè)bn＝log2an，則1b1b2A．40472024C．20232024B解析：由Sn＋1＝2Sn且S1＝a1＝2，得數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n-1＝2n-1，又a1＝2不滿足上式，所以an＝2，n＝1，2n－1當(dāng)n≥2時(shí)，1b所以1b(2)(2024·成都模擬)已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a3－1是a1和a8＋1的等比中項(xiàng)．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)bn＝3－2n2n－1anan解：①由題意，得(a3－1)2＝a1·(a8＋1)，且公差為2，則(a1＋3)2＝a1·(a1＋15)，解得a1＝1，則an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.②由①可知，an＝2n－1，則an＋1＝2n＋1，所以bn＝3－2n則Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－23+2裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則：一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝2，a3是a1，a11的等比中項(xiàng)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝3anan+1，求數(shù)列{bn}解：(1)設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍1＝2，a3是a1，a11的等比中項(xiàng)，所以(2＋2d)2＝2(2＋10d)，所以d2－3d＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝3，故an＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)因?yàn)閎n＝3a所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12錯(cuò)位相減法求和【例2】(1)(2024·濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，anan－1＝2nn－1(n≥2)，{aA．a(chǎn)2＝－8B．a(chǎn)n＝－2n·nC．S3＝－30D．Sn＝(1－n)·2n+1－2C解析：由題意可得a2a1＝2×21，a3a2＝2×32，a4a3＝2×43，…，anan－1＝2×nn－1(n≥2)，以上式子左、右分別相乘得ana1＝2n-1·n(n≥2)，把a(bǔ)1＝－2代入，得an＝－2n·n(n≥2)．又a1＝－2符合上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n·n，a2＝－8，故A，B正確．Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，則2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1]，兩式相減，得Sn＝2＋22＋23(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝1，公差d>0，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝n(an＋an＋1)．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)數(shù)列{an·2an}的前n項(xiàng)和為T解：①根據(jù)題意，當(dāng)n＝1時(shí)，4S1＝4a1＝a1＋a2，又a1＝1，則4＝1＋a2，解得a2＝3.所以等差數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝3－1＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.②由①可知an·2an＝(2n－1)·22n-1＝12則Tn＝12[1×41＋3×42＋…＋(2n－1)·4n]所以4Tn＝12[1×42＋3×43＋…＋(2n－1)·4n+1兩式相減得－3Tn＝12[4＋2(42＋43＋…＋4n)－(2n－1)·4n+1]＝2＋(42＋43＋…＋4n)－2n－1＝2＋421－4n－11－4－2所以Tn＝109+6n－錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)(1)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(2)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.(3)錯(cuò)位相減法求和運(yùn)算化簡較為復(fù)雜，書寫步驟時(shí)盡量詳細(xì)，不要跨步，減少運(yùn)算失誤．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a4＋a6＝18，S11＝121.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(an＋3)2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4＋a6＝18，得2a1＋8d＝18，即a1＋4d＝9.由S11＝121，得11a1＋11×102×d即a1＋5d＝11，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)由(1)可知bn＝(an＋3)·2n＝(n＋1)·2n+1，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn＝2·22＋3·23＋…＋(n＋1)·2n+1，故2Tn＝2·23＋3·24＋…＋(n＋1)·2n+2，兩式作差，得－Tn＝8＋23＋24＋…＋2n+1－(n＋1)·2n+2＝8＋81－2n－11－2－(n＋1)·2n+所以Tn＝n·2n+2.課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(四十四)1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，則1an的前100項(xiàng)和為(A．100101 B．C．101100 D．D解析：因?yàn)閍n＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，所以an＋1－an＝1＋n.所以an－an－1＝n(n≥2)．所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝nn+12(當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以an＝nn所以1a所以1an的前100項(xiàng)和為2(1－12＋12．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，則數(shù)列1an+3an+4A．n+1n+2C．nn+2 B解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝n－3，則an＋3＝n，an＋4＝n＋1，所以1a所以Sn＝113．(2024·泰安模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1+12a2+122a3+…+12n－1an＝A．2×(22022－1) B．23(22022＋C．23(24044－1) D．23(24044C解析：因?yàn)閍1+12所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋12a2+122a兩式相減得12n－1an＝2，所以an＝2n(又a1＝2也適合該式，故an＝2n.所以a1＋2a2＋22a3＋…＋22021a2022＝24．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝1+2+3+…+nA．nn+2 C．nn+1 B解析：由題意得an＝1+2+3+…+nn所以數(shù)列1anan+1的前n5．(多選題)已知數(shù)列{an}：12，13+23，14+24+34，…，110+A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝C．Sn＝4nn+1 D．AC解析：由題意得an＝1n所以bn＝1n所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4＝416．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝nn+1an，a1＝1，則數(shù)列{anan＋1}的前1011解析：因?yàn)閍n＋1＝nn+1an，a1＝1，所以(n＋1)an＋1所以數(shù)列{nan}是每項(xiàng)均為1的常數(shù)列，即nan＝1.所以an＝1n所以數(shù)列{anan＋1}的前10項(xiàng)和為117．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3·…·an＝2bn(n∈N*)．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，a4＝16，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝________，數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和nn+122nn+1解析：因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，且所以公比q＝3a4a1＝3162所以a1a2a3·…·an＝21×22×23×…×2n＝21+2+3+…＋n＝2n因?yàn)閍1a2a3·…·an＝2bn，所以bn＝所以1b所以數(shù)列1bn的前Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝211－128．已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S6S3＝9，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，顯然q≠1，由S6S3＝9，得S即a4+a5+a6a1又b1＝a1a1整理得4a12－9a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝由bn＝anan－1an+1–1，得an≠1，當(dāng)a1＝1故a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)由(1)可得bn＝an所以Tn＝1－139．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則∑nk2nn+1解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a依題意有a1+所以Sn＝n＋nn因此∑n10．已知數(shù)列{an}滿足1an＝1an+1－1，且a1＝1，則an＝________，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan，則數(shù)列1n(n－1)×2n+1＋2解析：由1an＝1an+1－1所以1an是公差、首項(xiàng)都為則等差數(shù)列1an的通項(xiàng)公式為1an＝n，則an＝1n，所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，2Sn＝1×22＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1，相減得Sn＝－(2＋22＋…＋2n)＋n×2n+1＝－21－2n1－2＋n×2n+1＝(n－1)11．已知在數(shù)列{an}中，a1＝3，且{an－1}是公比為3的等比數(shù)列，則使a1－1a4解析：由題意，知{an－1}是首項(xiàng)為a1－1＝2，公比為3的等比數(shù)列，所以an－1＝2×3n-1，所以an＝2×3n-1＋1.所以an所以a＝12解得n＝4.12．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)令cn＝2Sn，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，設(shè)數(shù)列{cn}解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，a1＝3，b1＝1，得q