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第八章采樣控制系統(tǒng)的分析主編:張慧妍組編:全國高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)8.1采樣控制系統(tǒng)的基本概念8.2采樣過程和采樣定理8.3采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)8.4脈沖傳遞函數(shù)CONTENTS目錄8.5線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.6基于MATLAB的采樣控制系統(tǒng)分析8.1采樣控制系統(tǒng)的基本概念連續(xù)時(shí)間信號(hào)
(Continuous-timesignal)離散時(shí)間信號(hào)
(Discrete-timesignal)
離散信號(hào)通常是按照一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)的模擬信號(hào)進(jìn)行采樣而得到的,又稱采樣信號(hào)。脈沖采樣(理想情形)
8.2采樣過程和采樣定理
按一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣,將其變換為在時(shí)間上離散的脈沖序列的過程,稱為采樣過程。采樣開關(guān)按周期T閉合,T稱為采樣周期。每次閉合時(shí)間為,通常采樣持續(xù)時(shí)間,也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)中連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)。因此,在分析采樣控制系統(tǒng)時(shí),可近似認(rèn)為。香農(nóng)采樣定理保持器是一種采用時(shí)域外推原理的裝置。通常把采用恒值外推的保持器稱為零階保持器。根據(jù)零階保持器的單位脈沖響應(yīng),推出其傳遞函數(shù)。零階保持器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)矩形,寬度為T,高為1,它可表示成二個(gè)單位階躍信號(hào)的迭加。單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是零階保持器的傳遞函數(shù)。零階保持器的幅頻特性可見,零階保持器幅值具有低通濾波特性,除了小于采樣頻率的主頻可以通過外,一些高頻分量也允許通過。8.3采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例8-1:求如下系統(tǒng)采樣后輸入到采樣后輸出的傳遞函數(shù)
z變換的采樣信號(hào)為其拉普拉斯變換式為z反變換表示為z變換只適用于離散函數(shù),或者說只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性,而不能反映其在采樣時(shí)刻之間的特性。例8-2:試求函數(shù)f(t)=1(t)的z變換。解:f(kT)=1(kT)=1(k=0,1,2,3….)Z變換定量詳見教材,此處不再贅述。差分方程一階前向差分差分方程的解可以采用迭代法或z變換法求取系統(tǒng)的差分方程為
c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=0
初始條件c(0)=0,c(1)=1,試求c(k).解:迭代法,由差分方程得
c(k+2)=-3c(k+1)-2c(k)k=0時(shí),c(2)=-3c(1)-2c(0)=-3k=1時(shí),c(3)=-3c(2)-2c(1)=7k=2時(shí),c(4)=-3c(3)-2c(2)=-15………解:z變換法8.4脈沖傳遞函數(shù)把初始條件為零的情況下系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)的z變換與離散輸入信號(hào)的z變換之比,定義為脈沖傳遞函數(shù),或稱z傳遞函數(shù)。許多采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)是連續(xù)信號(hào),如圖b所示圖a所示的采樣系統(tǒng),脈沖傳遞函數(shù)為:為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念,可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān),并令其采樣周期與輸入端采樣開關(guān)相同。1、兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔開有采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián),其脈沖傳遞函數(shù)是兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián),各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān)隔開的情況。2、兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開沒有采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián),其脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)相乘之積的z變換。結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián),各相鄰環(huán)節(jié)之間都沒有采樣開關(guān)隔開的情況。對(duì)比分析1、有一個(gè)采樣開關(guān)的采樣系統(tǒng)2、有數(shù)字校正裝置的采樣系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求取過程1、有一個(gè)采樣開關(guān)的采樣系統(tǒng)8.5線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析
在線性連續(xù)系統(tǒng)中,判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在s平面的位置。若系統(tǒng)特征方程的所有根均在s平面左半平面,則系統(tǒng)穩(wěn)定。對(duì)線性離散系統(tǒng)進(jìn)行了z變換以后,對(duì)系統(tǒng)的分析要采用z平面,因此需要弄清這兩個(gè)復(fù)平面的相互關(guān)系。線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,閉環(huán)系統(tǒng)的全部特征根均位于z平面的單位圓內(nèi),即滿足特征根皆線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,閉環(huán)系統(tǒng)的全部特征根均位于s平面的左半部,即滿足特征根皆具有負(fù)實(shí)部。問題:高階系統(tǒng)求取特征根不容易,如何不用求解特征方程的根就能判別線性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性呢?首先要通過雙線性變換將Z平面的單位圓映射到W平面的虛軸,然后在W平面中應(yīng)用勞斯判據(jù)。問題:如何推廣應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)?例8-3:如圖,已知,采樣周期T=0.25s,
求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。
解:1、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)2、特征方程為3、對(duì)特征方程進(jìn)行雙線性變換,代入T=0.25s整理得:4、應(yīng)用勞斯判據(jù),勞斯表為:根據(jù)勞斯判據(jù),為使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定,應(yīng)有2.736-0.158K>0,得使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0<K<17.3。討論:從理論上,二階線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是K>0。對(duì)于二階線性采樣系統(tǒng),當(dāng)K大于某一值,系統(tǒng)將不穩(wěn)定,可見,加入采樣開關(guān),對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。一般而言,提高采樣頻率,穩(wěn)定性將得到改善。采樣控制系統(tǒng)的應(yīng)用隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展有著越來越廣泛的應(yīng)用前景?;贛ATLA
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