拓展2 數(shù)列求和常用的方法（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】拓展2數(shù)列求和常用的方法（精練）1公式法求和1．（2022高三上·益陽月考）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列，的通項公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】見解析【解析】（1）解：因為數(shù)列滿足，，，所以，數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，，即數(shù)列的通項公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，，即數(shù)列的通項公式為（2）解：有（1）可知，所以，數(shù)列的前項和，即．2．（2022江蘇）從①，②，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.已知數(shù)列滿足，____.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.注：若選兩個條件分別作答，則按第一個解答計分.【答案】見解析【解析】（1）解：選①，由及，可知，所以，當(dāng)時，有.當(dāng)時，適合上式，故.選②，由，得，所以為等差數(shù)列，由，，得該數(shù)列的公差，所以.（2）解：，∴，則，∴.3．（2022浙江）已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）解：由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以2為首項，公比為2的等比數(shù)列.所以，得.（2）解：由（1）知：，，所以.2裂項相消求和1．（2022武漢）記數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）解：當(dāng)為奇數(shù)且時，，且，也滿足該式；當(dāng)為偶數(shù)時，.綜上，.（2）解：由（1）知：.故.2．（2022浙江）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，令，求數(shù)列的前2022項和.【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為，則，由題意可得：解得：∴數(shù)列的通項公式為；（2）解：由(1)，，設(shè)數(shù)列的前項和為，所以數(shù)列的前2022項和3．（2022河北開學(xué)考）已知正項數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】見解析【解析】（1）解：數(shù)列中，，由，可得，又，則數(shù)列是首項為1公差為2的等差數(shù)列，所以，則數(shù)列的通項公式為．（2）證明：由（1）知，則，則數(shù)列的前n項和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．4．（2022遵義開學(xué)考）為數(shù)列的前n項和，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】見解析【解析】（1）解：由已知條件：，當(dāng)時：，兩式相減得：，即：，左右同除得：，即：，且，所以數(shù)列是首項為1，公差為0的等差數(shù)列，即常數(shù)列，∴，∴，（2）證明：左邊.5．（2022貴陽）已知等差數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和，求證：．【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：a1+2d=34a1（2）證明：由（1）得：，7．（2022湖北）已知等差數(shù)列的前項的和為.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.并證明.【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)的公差為d，由題意得：，解得，所以（2）解：令，由（1）有：，所以，，，，.8．（2022湖北）已知正項數(shù)列的前n項和為，，且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】見解析【解析】（1）證明：由得，∴．又，∴，∴．∴數(shù)列是以公差為3的等差數(shù)列．又，∴，，∴．（2）解：由（1）知．∴．9．（2022長治）已知數(shù)列的前項和滿足（），且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足（），且，求數(shù)列的前項和．【答案】見解析【解析】（1）解：∵當(dāng)時，，∴，得或．∵，∴．當(dāng)時，，，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）解：（），∴……將以上各式相加得：．則，又也滿足，∴，．∴，∴．10（2022哈爾濱）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和為【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)數(shù)列為q，，化簡可得，解得將代入可得故的通項公式為：（2）解：由（1）可知11．（2022·江西模擬）已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】見解析【解析】（1）解：由，令，即，解得，∴，此時數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為.∴（2）證明：因為，，∵，∴.3錯位相減求和1．（2022四川）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列及的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）解：由已知所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列滿足所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列（2）解：①對上式兩邊同乘以2，整理得②①-②得所以2．（2023·巴中模擬）已知數(shù)列的前項和為，若，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】見解析【解析】（1）解：因為，故，故即.而，故，故，故，且，故，所以為等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，從而.（2）解：，故，故，所以，所以.3．（2022濟南）已知正項數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）由得：，又因為，則，且，所以是首項為1公差為1的等差數(shù)列，所以.（2）解：因為，所以，，兩式相減得：，所以.4．（2022邯鄲開學(xué)考）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求.【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然，由，相除可得，解得，所以，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，即；（2）解：由（1）得：，所以①，②，②①得：，所以.5．（2022邢臺開學(xué)考）數(shù)列的前n項積.數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列、的通項公式.（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】見解析【解析】（1）解：前n項積為，①n＝1時，，②時，，，符合上式，∴，，.的前n項和為，①n＝1時，，②時，，，符合上式，∴，；（2）解：記前n項和為①②①－②得∴，6．（2022秦皇島）已知數(shù)列的前n項和為，當(dāng)時，．（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】見解析【解析】（1）解：當(dāng)時，由得，即．又，所以，符合上式，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，.（2）解：，所以，，作差得，化簡得．7．（2023茂名月考）已知數(shù)列前項和為，，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，，求數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）證明：由題意，，，因為數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，.時，，時，，所以，時，，所以數(shù)列是公差為，首項為1的等差數(shù)列.（2）解：若，由（1）知，，，所以，則，，即，所以.4分組轉(zhuǎn)化求和1．（2022郫都月考）已知等差數(shù)列的前項和為.（1）求及；（2）令，求證：數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得a1+2d=32a所以數(shù)列的通項公式為，其前項和為（2）證明：由（1）知，所以，所以數(shù)列的前項和：.即.2．（2022宿州期中）已知數(shù)列滿足，等比數(shù)列的前n項和，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）對任意正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前2n項和．【答案】見解析【解析】（1）解：因為，，，所以，，又為等比數(shù)列，所以，，所以又，所以為等差數(shù)列，，，所以；（2）解：當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，所以，，，.3（2022如皋月考）已知等差數(shù)列{an}滿足：S6=21，S7=28，其中是數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列的通項；（2）令bn=，證明：.【答案】見解析【解析】（1）解：數(shù)列為等差數(shù)列，依題意S6=21，S7=28，所以6a1所以d=1，所以（2）證明：4．（2022湖北開學(xué)考）已知數(shù)列前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】見解析【解析】（1）解：由題知，即，即，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，∴；（2）解：由（1）知，，∴，①∴，②①②得，，∴.5．（2022·海寧模擬）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項和為，且滿足（1）求和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】見解析【解析】（1）解：由題：，∵，即得：，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，，兩式相減整理得，即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列∴（2）解：當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，，兩式相減得：得：6．（2022·和平）已知等比數(shù)列的公比是的等差中項．等差數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列與數(shù)列的所有項按照從小到大的順序排列成一個新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前50項和；（3），求數(shù)列的前項和．【答案】見解析【解析】（1）解：依題有，因為，解得：．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，，解得：（2）解：數(shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，，，，新數(shù)列的前50項和為：（3）解：∵，設(shè)，，，兩式相減有，∴.∴.7（20