蘇科版八年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題11易錯易混集訓：勾股定理(原卷版+解析)

專題11易錯易混集訓：勾股定理易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解例題：（2022·湖北·恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學八年級階段練習）若一個直角三角形的兩邊長為3和4，則它第三邊的長為______．【變式訓練】1．（2022·廣東·深圳外國語學校七年級期末）在Rt△ABC中，，．則＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或162．（2021·甘肅·景泰縣第四中學八年級期中）已知直角三角形的三邊長分別為6，7，x，則=__________．3．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如果一個直角三角形的兩條邊長分別為8和15，那么這個三角形的第三邊長為______．4．（2022·安徽·合肥市西苑中學八年級期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿足，則該直角三角形的第三邊為______．5．（2020·四川成都·八年級階段練習）如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的“勾股分割點”．已知點M，N是線段AB的“勾股分割點”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長為______．易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解例題：（2021·北京市魯迅中學八年級期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，則BC=___________．【變式訓練】1．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長為________________．2．（2022·北京·101中學八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長為__________．易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解例題：（2022·浙江紹興·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB為邊在△ABC外作等腰直角△ABD，連接CD，則CD=_____．【變式訓練】1．（2021·遼寧·沈陽市第一三四中學八年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒，當△ABP為等腰三角形時，t的取值為_____．2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級開學考試）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，點D是邊AB上的點，將△CBD沿CD折疊得到△CPD，CP與直線AB交于點E，當出現(xiàn)以DP為邊的直角三角形時，BD的長可能是______．3．（2022·湖北武漢·八年級階段練習）Rt△ABC中，直角邊AC＝8，斜邊AB＝17，在直線AC上取一點D，使△ABD為等腰三角形，則該等腰三角形的周長為_____．易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式例題：（2021·新疆伊犁·八年級階段練習）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是12cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是___________cm．【變式訓練】1．（2021·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心七年級期中）如圖，A，B是一棱長為3cm的正方體的頂點，點C在棱上，且BC＝1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，在頂點A處的螞蟻沿著正方體的前側面和右側面爬行到C點，至少爬行______________秒？2．（2022·廣東梅州·八年級期末）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高MN＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走________的路程．3．（2022·廣東茂名·九年級期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12cm，底面周長為24cm，在容器外側距下底1cm的點A處有一只螞蟻，在螞蟻正對面距容器上底2cm的點B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為______cm．4．（2022·全國·八年級）如圖是一塊長、寬、高分別為4cm、2cm和1cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體木塊的表面爬到長方體木塊上和頂點A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是__．5．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學研究室一模）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪場改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點E在上，．一名滑雪愛好者從點A滑到點E，他滑行的最短路線長為_________m．專題11易錯易混集訓：勾股定理易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解例題：（2022·湖北·恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學八年級階段練習）若一個直角三角形的兩邊長為3和4，則它第三邊的長為______．【答案】或5【分析】分邊長為4的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當邊長為5的邊是斜邊時，則第三邊長為；（2）當邊長為5的邊是直角邊時，則第三邊長為；綜上，第三邊長為或5，故答案為：或5．【點睛】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·廣東·深圳外國語學校七年級期末）在Rt△ABC中，，．則＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或16【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可．【詳解】解：當∠C=90°時，；當∠A=90°時，；故選：D．【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進行分類討論是解題關鍵．2．（2021·甘肅·景泰縣第四中學八年級期中）已知直角三角形的三邊長分別為6，7，x，則=__________．【答案】85或13##13或85【分析】分6和7都為兩直角邊和6為直角邊，7為斜邊，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當6和7都為直角邊時，由勾股定理得；當6為直角邊，7為斜邊時，，綜上，=85或13，故答案為：85或13．【點睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理，利用分類討論思想求解是解答的關鍵．3．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如果一個直角三角形的兩條邊長分別為8和15，那么這個三角形的第三邊長為______．【答案】17或【分析】分兩種情況：當8和15都是直角邊時；當15是斜邊長時；分別利用勾股定理計算出第三邊長即可．【詳解】解：當8和15都是直角邊時，第三邊長為：，當15是斜邊長時，第三邊長為：．故答案為：或【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．4．（2022·安徽·合肥市西苑中學八年級期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿足，則該直角三角形的第三邊為______．【答案】5或##或5【解析】【分析】由非負性的性質可求得x與y的值，再分兩種情況，利用勾股定理即可求得第三邊的長．【詳解】∵，，且，∴，，解得：x=3，y=4．當x=3，y=4為直角三角形的兩直角邊時，由勾股定理得第三邊為：；當x=3為一直角邊，y=4為斜邊時，由勾股定理得第三邊為：．故答案為：5或．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，涉及兩個非負數(shù)的和為零則它們均為零的性質，注意求得的兩邊無法確定都是直角邊還是一條直角邊和一條斜邊，故要分類討論．5．（2020·四川成都·八年級階段練習）如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的“勾股分割點”．已知點M，N是線段AB的“勾股分割點”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長為______．【答案】5或##或【解析】【分析】分兩種情況討論：當為直角邊時，當為斜邊時，則為直角邊，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：當為直角邊時，當為斜邊時，則為直角邊，故答案為：或【點睛】本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應用，理解新定義，再分類討論是解本題的關鍵.易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解例題：（2021·北京市魯迅中學八年級期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，則BC=___________．【答案】7或25【解析】【分析】已知三角形兩邊的長和第三邊的高，未明確這個三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情況討論，即∠ABC是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD=在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得：DC=∴BC的長為BD+DC=9+16=25．②如圖2，同理得：BD=9，DC=16，∴BC=CD-BD=7．綜上所述，BC的長為25或7．故答案為：25或7．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解決問題的關鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長．當已知條件中沒有明確角的大小時，要注意討論．【變式訓練】1．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長為________________．【答案】32或42##42或32【解析】【分析】作出圖形，利用勾股定理列式求出、，再分在內(nèi)部和外部兩種情況求出，然后根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．【詳解】解：，，邊上的高，，，如圖1，在內(nèi)部時，，此時，的周長，如圖2，在外部時，，此時，的周長，綜上所述，的周長為32或42．故答案為：32或42．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是分情況討論求出的長，作出圖形更形象直觀．2．（2022·北京·101中學八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長為__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分類討論，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案為：或【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類討論是解題的關鍵．易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解例題：（2022·浙江紹興·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB為邊在△ABC外作等腰直角△ABD，連接CD，則CD=_____．【答案】2或或【解析】【分析】分三種情況畫出圖形，由全等三角形的性質及勾股定理可得出答案．【詳解】解：如圖1，∠ABD=90°，∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，延長CB，過點D作DE⊥CB于點E，∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD，在△ACB與△BED中，，∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6，根據(jù)勾股定理得：；如圖2，∠BAD=90°，過點D作DE⊥CA，垂足為點E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE，在△ACB與△DEA中，，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根據(jù)勾股定理得：；如圖3，∠ADB=90°，過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，在△AFD和△DEB中，，∴△AFD≌△DEB（AAS），∴AF=DE，DF=BE，∴2+DF+BE=4，∴DF=BE=1，∴CE=DE=3，∴．綜合以上可得CD的長為2或或．故答案為2或或．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·遼寧·沈陽市第一三四中學八年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒，當△ABP為等腰三角形時，t的取值為_____．【答案】5或8或【解析】【分析】當△ABP為等腰三角形時，分三種情況：①當AB＝BP時；②當AB＝AP時；③當BP＝AP時，分別求出BP的長度，繼而可求得t值．【詳解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①當AB＝BP時，如圖1，t＝5；②當AB＝AP時，如圖2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③當BP＝AP時，如圖3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，綜上所述：當△ABP為等腰三角形時，t＝5或t＝8或t＝．故答案為：5或t＝8或t＝．【點睛】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識，解答本題的關鍵是掌握勾股定理的應用，以及分情況討論，注意不要漏解．2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級開學考試）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，點D是邊AB上的點，將△CBD沿CD折疊得到△CPD，CP與直線AB交于點E，當出現(xiàn)以DP為邊的直角三角形時，BD的長可能是______．【答案】3或或【分析】分，，三種情況，分別作出圖形，解直角三角形即可．【詳解】解：由折疊性質可得：，，，在中，，，，①如圖，當時，為直角三角形，，，，，為等邊三角形，，；②如圖，當時，為直角三角形，；③當時，為直角三角形，，為等邊三角形，，在中，，，，，，，，綜上，或或，故答案為：3或或．【點睛】本題考查直角三角形的性質，折疊的性質，解題的關鍵是分類討論，將圖形作出．3．（2022·湖北武漢·八年級階段練習）Rt△ABC中，直角邊AC＝8，斜邊AB＝17，在直線AC上取一點D，使△ABD為等腰三角形，則該等腰三角形的周長為_____．【答案】50或34+3或34+5或【分析】分三種情況討論：①如圖1，當AB＝BD＝17時；②如圖2，當AB＝AD＝17時；③如圖3，當AB為底時，AD＝BD．【詳解】解：在Rt△ABC中，BC，①如圖，圖1當AB＝BD＝17時，CD＝CA＝8時，AD＝16，∴△ABD的周長為17×2+16＝50；②如圖，圖2當AB＝AD＝17時，得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，在Rt△BCD中，或，∴△ABD的周長為或．③如圖，圖3當AB為底時，設AD＝BD＝x，則CD＝x﹣8，在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，∴△ABD的周長為．綜上，△ABD的周長為50或34+3或34+5或．故答案為：50或34+3或34+5或．【點睛】本題考查了等腰三角形的存在性問題，分類討論思想是本題的關鍵．易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式例題：（2021·新疆伊犁·八年級階段練習）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是12cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是___________cm．【答案】【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短，由勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖如圖如圖它所行的最短路線的長為：故答案為：．【點睛】本題考查平面展開圖—最短路徑問題，是重要考點，掌握分類討論法是解題關鍵．【變式訓練】1．（2021·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心七年級期中）如圖，A，B是一棱長為3cm的正方體的頂點，點C在棱上，且BC＝1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，在頂點A處的螞蟻沿著正方體的前側面和右側面爬行到C點，至少爬行______________秒？【答案】2.5【分析】把此正方體的點A所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和C點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離，根據(jù)螞蟻爬行的距離，即可求出爬行時間．【詳解】解：將正方體的前側面和右側面展開，如圖所示：根據(jù)題意可得：，∴螞蟻爬行的最短距離為：，∵螞蟻每秒爬行2cm，∴螞蟻爬行的最短時間為：（秒）．故答案為：2.5．【點睛】本題主要考查了勾股定理的拓展應用，“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．2．（2022·廣東梅州·八年級期末）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高MN＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走________的路程．【答案】26m【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度不變，求出新矩形的對角線長即可．【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2MN，原圖長度增加4米，則AB=20+4=24(m)，連接AC，∵四邊形ABCD是長方形，AB=24m，寬AD=10m，∴AC==26(m)，∴螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程．故答案為：26m．【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關鍵．3．（2022·廣東茂名·九年級期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12cm，底面周長為24cm，在容器外側距下底1cm的點A處有一只螞蟻，在螞蟻正對面距容器上底2cm的點B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為______cm．【答案】15【分析】根據(jù)題意得到圓柱體的展開圖，確定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；【詳解】解：圓柱體玻璃杯展開圖如下，作；∵底面周長為24cm，∴∵，∴cm，∴cm，故答案為：15．【點睛】本