1.3.3等比數(shù)列的前n項和（第2課時）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

等比數(shù)列的前n項和第2課時等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.掌握等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用;2.能用等比數(shù)列的前n項和解決實際問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點(diǎn)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

1.若Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=Aqn-A(A,q∈R,且Aq≠0,q≠1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.2.若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,前n項和為Sn,則①Sn+m=Sn+qnSm.②在等比數(shù)列中,若項數(shù)為2n(n∈N+),偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比等于公比q,則

=q.③若公比為q≠-1,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比數(shù)列,其公比為qk.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若Sn為等比數(shù)列的前n項和,則S2,S4,S6成等比數(shù)列.(

)(2)若一個等比數(shù)列的前n項和為45,前2n項和為60,則前3n項和為65.(

)2.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比數(shù)列,為什么要求q≠-1?×√提示當(dāng)公比q=-1時,若k為偶數(shù),則Sk=0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用【例1】

(1)在等比數(shù)列{an}中,若S2=7,S6=91,則S4=

.

分析根據(jù)所給題目特征選擇運(yùn)用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.28解析

∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也構(gòu)成等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4構(gòu)成等比數(shù)列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

.

2解析

令S奇=a1+a3+…+a2n-1,S偶=a2+a4+…+a2n,由題意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q==2.(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項和為Sn=3n+1-2k,則實數(shù)k等于

.

解析

∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k,且{an}為等比數(shù)列,∴3-2k=0,即k=.規(guī)律方法

等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)若數(shù)列{an}為非常數(shù)列的等比數(shù)列,且其前n項和為Sn=A·qn+B(A,B∈R,A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),則必有A+B=0;反之,若某一非常數(shù)列的前n項和為Sn=A·qn-A(A,q∈R,A≠0,q≠0,q≠1),則該數(shù)列必為等比數(shù)列.(2)若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特別地,如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等比數(shù)列.變式訓(xùn)練1B解析

設(shè)S2=k,S4=3k,k∈R,且k≠0.由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4為等比數(shù)列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.(2)已知等比數(shù)列{an}共有32項,其公比q=3,且奇數(shù)項之和比偶數(shù)項之和少60,則數(shù)列{an}的所有項之和是(

)A.30 B.60C.90 D.120D解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項之和為S1,偶數(shù)項之和為S2,則S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,則S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故數(shù)列{an}的所有項之和是30+90=120.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的前n項和的實際應(yīng)用【例2】

某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案.甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加0.5萬元.兩種方案的使用期都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計息,試比較兩種方案,哪種方案凈獲利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)分析依題意,甲方案每年的獲利的增長率相同,因此每年的獲利構(gòu)成等比數(shù)列;而乙方案每年獲利的增長量相同,因此構(gòu)成等差數(shù)列.可利用這兩種模型分別計算兩種方案的利潤.解

甲方案:十年獲利中,每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,首項為1,公比為1+30%,前10項和為S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9.又貸款本息總數(shù)為10×(1+5%)10=10×1.0510≈16.29萬元,所以甲方案凈獲利約42.62-16.29=26.33萬元.故乙方案凈獲利約32.50-13.21=19.29萬元.比較兩方案可得甲方案凈獲利更多.規(guī)律方法

銀行存款中單利、復(fù)利問題的計算方法

種類模型計算方法單利等差數(shù)列本金為P元,每期利率為r,存期為n,則本利和公式為S=P(1+nr)復(fù)利等比數(shù)列本金為P元,每期利率為r,存期為n,則本利和公式為S=P(1+r)n變式訓(xùn)練2某家庭打算以一年定期的方式存款,計劃從2024年起,每年年初到銀行新存入a元,年利率p保持不變,并按復(fù)利計算,到2034年年初將所有存款和利息全部取出,共取回多少元?解

設(shè)從2024年年初到2033年年初每年存入的a元到2034年年初的本利和組成數(shù)列{an}(1≤n≤10).則a1=a(1+p)10,a2=a(1+p)9,…,a10=a(1+p),故數(shù)列{an}(1≤n≤10)是以本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì).2.方法歸納:利用等比數(shù)列的前n項和性質(zhì)求解等比數(shù)列的基本量,利用數(shù)學(xué)建模求解等比數(shù)列問題.3.常見誤區(qū):不能正確地使用等比數(shù)列的性質(zhì);涉及與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為等比、等差數(shù)列問題.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121314151.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=4n+a,則實數(shù)a的值等于(

)A.-4 B.-1 C.0

D.1B解析

根據(jù)題意,等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=4n+a,則a1=41+a=4+a,a2=S2-S1=(42+a)-(4+a)=12,a3=S3-S2=(43+a)-(42+a)=48,則有(4+a)×48=144,解得a=-1.故選B.1234567891011121314152.已知在等比數(shù)列{an}中,a1=1,a1+a3+…+a2k+1=85,a2+a4+…+a2k=42,則k=(

)A.2 B.3

C.4

D.5B解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2kq=85,即q(a2+…+a2k)=85-1=84.因為a2+a4+…+a2k=42,所以q=2.則a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=,即128=22k+1,解得k=3,故選B.1234567891011121314153.已知{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和,若S4=6,S8=18,則S16=(

)A.48 B.54

C.72

D.90D解析

因為{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和,且由題意可知q≠-1,所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12也成等比數(shù)列,且公比為

=2.所以S12-S8=2(S8-S4)=24,所以S12=42,因此S16-S12=2(S12-S8)=48,所以S16=90.故選D.123456789101112131415D1234567891011121314155.已知在等比數(shù)列{an}中,a1=1,且

=8,那么數(shù)列的公比為

,S5=

.

2311234567891011121314156.已知正項等比數(shù)列{an}共有2n項,它的所有項的和是奇數(shù)項的和的3倍,則公比q=

.

2解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項之和為S奇,偶數(shù)項之和為S偶,前2n項之和為S2n,則S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇.由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇.因為an>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.1234567891011121314157.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且前n項和為Sn,S3=,a3a4=a5.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若4an=3Sn,求正整數(shù)n的值.123456789101112131415123456789101112131415B級關(guān)鍵能力提升練8.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1+a3=5,S4=20,則

=(

)A.9 B.10

C.12 D.17B解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20,所以q=3,則

=q2+1=10.故選B.123456789101112131415C12345678910111213141510.某工廠購買一臺價格為a萬元的機(jī)器,實行分期付款,每期付款b萬元,每期為一個月,共付12次,如果月利率為5‰,每月復(fù)利一次,則a,b滿足(

)D123456789101112131415C123456789101112131415

AC12345678910111213141513.某市共有1萬輛燃油型公交車.有關(guān)部門計劃于2024年投入128輛電力型公交車,以后電力型公交車每年投入的輛數(shù)比上一年增加50%.(1)求該市在2030年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車;(2)求到哪一年底,電力型公交