作業(yè)06暑期培優(yōu)必刷壓軸題（7個(gè)考點(diǎn)60題專練）

完成時(shí)間：月日天氣：作業(yè)06暑期培優(yōu)必刷壓軸題（7個(gè)考點(diǎn)60題專練）一．直線與平面所成的角（共13小題）1．（2023春?天寧區(qū)校級(jí)月考）已知圖1中，正方形的邊長(zhǎng)為，，，，是各邊的中點(diǎn)，分別沿著，，，將，，，向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面部與平面垂直，再順次連接，，，，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則在該多面體中，有A．平面平面 B．直線與直線所成的角為 C．該多面體的體積為 D．直線與平面所成角的正切值為【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法．割補(bǔ)法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng)．【解答】解：取、的中點(diǎn)、，連接、，如圖，、、、是正方形各邊的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，．平面平面，平面平面，平面，平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則且，且，所以四邊形為矩形，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，1，，，1，，，，，，，，，0，，，1，，，0，．選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，則，，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，可得，，則，，所以平面與平面不垂直，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，直線與所成的角為，故正確；選項(xiàng)，以為底面，以為高將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則、、、分別為，，，的中點(diǎn)，因?yàn)?，，長(zhǎng)方體的體積為，，因此，多面體的體積為．故正確；選項(xiàng)，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法解決空間中的夾角，體積問題，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題．2．（2024春?南通期中）如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動(dòng)點(diǎn)．則A．平面平面 B．為的中點(diǎn)時(shí)， C．存在點(diǎn)，使得直線與的距離為 D．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為【分析】選項(xiàng)，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可作出判斷；選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，可證，，從而作出判斷；選項(xiàng)，先證平面，從而將原問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離，即可作出判斷；選項(xiàng)，利用向量法求線面角，即可得解．【解答】解：選項(xiàng)，由題意知，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)楹投际堑妊苯侨切?，所以，所以，所以，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以直線與的距離等價(jià)于直線到平面的距離，也等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，設(shè)點(diǎn)，，，其中，，由射影定理知，，即，所以，0，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，，，若直線與的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，而點(diǎn)到平面的距離，所以不存在點(diǎn)，使得直線與的距離為，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，4，，，4，，所以，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，，，若直線與平面所成的角為，則，，由，知，代入上式整理得，此方程無解，所以不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，即選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線、面平行或垂直的判定定理與性質(zhì)定理，利用向量法求點(diǎn)到面的距離、線面角等是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．3．（2024?儀征市模擬）如圖，在四面體中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的點(diǎn)，則A．平面 B．四面體的體積為 C．四面體外接球的半徑為 D．為中點(diǎn)，直線與平面所成角最大【分析】利用到，，的距離相等說明平面，然后用線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可驗(yàn)證；直接使用三棱錐體積計(jì)算公式即可驗(yàn)證；設(shè)出外接球半徑，列出并求解方程即可驗(yàn)證；使用空間向量法即可驗(yàn)證．【解答】解：由已知得是等腰直角三角形，故斜邊，且的外心為的中點(diǎn)，其滿足．而，故平面，且．由于是的中點(diǎn)，，故，而，，在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面，故正確；我們有，故錯(cuò)誤；設(shè)四面體的外接球球心為點(diǎn)，外接球半徑為，則，解得，故正確；以為原點(diǎn)，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，設(shè)，則，故，若是平面的法向量，，即，令，可得．而，，，故直線與平面所成角的正弦值等于，，在處最大，所以當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角最大，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，線面垂直的判定，四面體的體積的求解，四面體的外接球問題，線面角的求解，函數(shù)思想，屬難題．4．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)模擬）如圖，菱形與四邊形相交于，，平面，，，，為的中點(diǎn)，．求證：平面；求直線與平面所成角的正弦值．【分析】取的中點(diǎn)，連接，，．由，可得平面平面，故而平面；以為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量和的坐標(biāo)，計(jì)算和的夾角即可得出結(jié)論．【解答】證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)闉榱庑螌?duì)角線的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面．（Ⅱ）連接，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，則由，得，又因?yàn)?，所以，則在直角三角形中，，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，令，得，又，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定，空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．5．（2024?江蘇模擬）如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2．若，且向量與夾角的余弦值為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（1）根據(jù)已知條件即可建立坐標(biāo)系：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以邊，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后即可根據(jù)已知條件求出點(diǎn)，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量與夾角的余弦值為求出的值．（2）求出平面的法向量，利用向量夾角的余弦公式求解直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；則：，0，，，0，，，2，，，0，；，可得，2，．（1），2，，，2，，向量與夾角的余弦值為．可得，解得（舍去）或．實(shí)數(shù)的值為2；（2），2，，，2，，平面的法向量，，．則且，即：，，，不妨取，平面的法向量，1，．又，0，．故．直線與平面所成角的正弦值為：．【點(diǎn)評(píng)】考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角，直線和平面所成角的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，理解平面法向量的概念，弄清直線和平面所成角，與直線的方向向量和法向量所成角的關(guān)系．6．（2024春?啟東市期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，平面，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若，求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值的取值范圍．【分析】（1）要證面面垂直，先證線面垂直，再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，再證明平面，并運(yùn)用向量法，即可求解；（3）求出平面的法向量，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【解答】證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．?）以，所在直線為，軸，以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過作，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面．因?yàn)?，，，由平面幾何性質(zhì)，得，又，0，，，2，，，2，，，1，，所以，所以，即與所成角的余弦值為．（3）設(shè)，，，因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，即平面的一個(gè)法向量為，所以因?yàn)?，所以，故，又與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角的正弦值的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與平面所成的角，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．7．（2024春?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）如圖，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，是的中點(diǎn)．（1）在圖中作出并指明平面和平面的交線；（2）求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正切值．【分析】（1）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，直線即為所求交線；（2）由正方形的性質(zhì)可得，由面面垂直的性質(zhì)可得，平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面．則即為與平面所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，直線即為所求交線．證明：（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕制矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．解：?）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面．所以即為與平面所成的角，在中，，，，所以，，從而，，在中，，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，以及面面垂直的性質(zhì)，線面角的求法，屬于中檔題．解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理．8．（2023春?淮安月考）如圖，在直棱柱中，，，，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．【分析】根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得平面，從而，結(jié)合，證出平面，從而得到；根據(jù)題意得，可得直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角．連接，利用線面垂直的性質(zhì)與判定證出平面，從而可得．由，可得平面，從而得到與與平面所成的角互余．在直角梯形中，根據(jù)，算出，最后在△中算出，可得，由此即可得出直線與平面所成的角的正弦值．【解答】解：平面，平面，，又，、是平面內(nèi)的相交直線平面，平面，；，，，由此可得：直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角（記為，連接，直棱柱中，，平面，結(jié)合平面，得又，四邊形是正方形，可得、是平面內(nèi)的相交直線，平面，可得，由知，結(jié)合可得平面，從而得到，在直角梯形中，，，從而得到因此，，可得連接，可得△是直角三角形，，在△中，，即，可得直線與平面所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題給出直四棱柱，求證異面直線垂直并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了直四棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的定義等知識(shí)，屬于中檔題．9．（2023春?高郵市期中）已知圖1中，正方形的邊長(zhǎng)為，、、、是各邊的中點(diǎn)，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則A．平面平面 B．直線與直線所成的角為 C．直線與平面所成角的正切值為 D．多面體的體積為【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法．割補(bǔ)法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng)．【解答】解：取、的中點(diǎn)、，連接、，如圖，、、、是正方形各邊的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，．平面平面，平面平面，平面，平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則且，且，所以四邊形為矩形，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，1，，，1，，，，，，，，，0，，，1，，，0，．選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，則，，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，可得，則，，所以平面與平面不垂直，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，所以直線與所成的角為，故正確；選項(xiàng)，以為底面，以為高將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則、、、分別為，，，的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，長(zhǎng)方體的體積為，，因此，多面體的體積為，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法解決空間中的夾角，體積問題，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題．10．（2023春?海安市校級(jí)期中）為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長(zhǎng)為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②．則下列結(jié)論正確的是A．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)，，的球的截面圓的面積為 B．異面直線與所成的角的余弦值為 C．直線與平面所成的角為 D．球離球托底面的最小距離為【分析】求出截面面積判斷；平移直線求成角余弦值判斷；求直線與平面成角判斷；求出最小距離判斷．【解答】解：設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻捏w積為，所以，解得，對(duì)于，經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)，，的球的截面圓，即是與△全等的三角形的外接圓，其半徑為，則其面積為，所以錯(cuò)；對(duì)于，作輔助線如圖②，，，所以為與成角，，、分別為、邊中點(diǎn)，所以，所以，所以對(duì)；對(duì)于，如圖②，平面，所以為在平面內(nèi)射影，于是即為直線與平面所成的角，大小為，所以對(duì)；對(duì)于，如圖③，，，，所以球離球托底面的最小距離為，所以對(duì)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的體積計(jì)算問題，考查了異面直線成角和直線與平面成角計(jì)算問題，屬于較難題．11．（2024?煙臺(tái)模擬）在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，，，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)平面時(shí)，與所成夾角可能為 B．當(dāng)時(shí)，的最小值為 C．若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為【分析】由且平面，得到點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，可判定正確；由時(shí)，可得，得到在上，將平面與平面沿展成平面圖形，結(jié)合余弦定理，可得判定正確；由平面，求得為與平面所成的角，根據(jù)題意求得，得出點(diǎn)的軌跡，可判定不正確；根據(jù)題意，得到正方體經(jīng)過點(diǎn)，，的截面為平行四邊形，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)到的距離為，進(jìn)而可判定正確．【解答】解：對(duì)于中，對(duì)于正方體中，連接，，可得，且平面，平面，所以平面，同理可證平面，因?yàn)?，且，平面，所以平面平面，且平面平面，又因?yàn)椋移矫?，所以點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，此時(shí)與所成夾角為，所以正確；對(duì)于中，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得，即點(diǎn)在上，將平面與平面沿展成平面圖形，如圖所示，線段即為的最小值，由余弦定理得，所以，即的最小值為，所以正確；對(duì)于中，在正方體中，可得平面，連接，則為與平面所成的角，若與平面所成的角為，可得，所以，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以不正確；對(duì)于中，當(dāng)時(shí)，，可得，即，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，可得正方體經(jīng)過點(diǎn)，，的截面為平行四邊形，以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，1，，，0，，，1，，所以，可得，且，則點(diǎn)到的距離為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以△的面積取得最小值時(shí)，截面面積為，當(dāng)時(shí)，△的面積取得最大值，此時(shí)截面面積為，所以截面面積的取值范圍為，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的綜合問題，屬于難題．12．（2022春?新吳區(qū)校級(jí)期中）如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于，的一動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：是直角三角形；（2）若，且當(dāng)直線與平面所成角正切值為時(shí)，直線與平面所成角的正弦值．【分析】（1）由在圓上，知，由平面，知，由此能證明是直角三角形．（2）過作于，由平面，知，平面，所以是與平面所成角．由此能求出與平面所成角正弦值．【解答】（1）證明：在圓上，，平面，，平面，平面，，是直角三角形．（2）解：如圖，過作于，平面，，平面，則就是要求的角．（8分）平面，是與平面所成角，（9分），又，．（10分）在中，，（11分）在中，，故與平面所成角正弦值為．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的證明，考查直線與平面所成角的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．13．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直三棱柱中，已知，，，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）證明：直三棱柱中，面，又面，，從而證得命題（Ⅱ）在中，，，則，得到垂直關(guān)系，找到高，繼而求得正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：直三棱柱中，面，又面，且，又，面面（Ⅱ）在中，，，則，因此，又可證面，與面之間的距離為1，又可證面，與面之間的距離為1，設(shè)與面之間的距離為，則得，與面所成的角的正弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查立體幾何中的線面關(guān)系的證明和線面角的求解，屬中檔題型，高考常考題型．二．二面角的平面角及求法（共32小題）14．（2024?揚(yáng)中市校級(jí)模擬）如圖，在三棱柱中，平面平面，，．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．【分析】（1）利用直線與平面垂直證明兩直線垂直；（2）利用空間向量法求解二面角的正弦值；【解答】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，則，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以；?）如圖所示，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，即得令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即得令，則，，所以，記二面角的平面角為，因?yàn)椋@然，所以，所以二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的判定以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2024?南通四模）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，，，，，．（1）記平面與平面的交線為，證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【分析】（1）利用線面平行的判定與性質(zhì)定理即可得證；（2）空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解．【解答】解：（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以；?）在中，，，，由余弦定理得，，則，得，又，則，因?yàn)槠矫妫?，，又，所以平面以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，0，，所以，，0，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以，又是平面的一個(gè)法向量，記平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2024?北京）已知四棱錐，，，，，是上一點(diǎn)，．（1）若是中點(diǎn)，證明：平面．（2）若平面，求面與面夾角的余弦值．【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，即可得，由線面平行的判定定理即可證明；（2）易得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，，，，所以四邊形為平行四邊形，，且，所以，且，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：因?yàn)槠矫?，所以平面，，，相互垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，，，，0，，，2，，所以，0，，，1，，，0，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，1，，設(shè)平面與平面夾角為，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理，向量法求解二面角問題，屬于中檔題．17．（2024?天津）已知四棱錐中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)建系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求點(diǎn)到平面的距離．【解答】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，3，，設(shè)平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因?yàn)椋矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以點(diǎn)到平面的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題．18．（2024?甲卷）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【分析】（1）易證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角即可．【解答】（1）證明：由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由已知得，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，，，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，3，，同理，平面的一個(gè)法向量為，3，，所以，，故二面角的正弦值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面平行的判定，考查利用空間向量求二面角，屬于中檔題．19．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【分析】（1）建系，根據(jù)坐標(biāo)法及向量共線定理，即可證明；（2）建系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，方程思想，即可求解．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：，2，，，0，，，2，，，0，，，，，又，，，四點(diǎn)不共線，；（2）在（1）的坐標(biāo)系下，可設(shè)，2，，，，又由（1）知，0，，，2，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，根據(jù)題意可得，，，，又，，解得或，為的中點(diǎn)或的中點(diǎn)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法證明線線平行，利用向量法求解二面角問題，向量共線定理及向量夾角公式的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．20．（2022?新高考Ⅰ）如圖，直三棱柱的體積為4，△的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【分析】（1）利用等體積法可求點(diǎn)到平面的距離；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱的體積為4，可得，設(shè)到平面的距離為，由，，，解得．（2）連接交于點(diǎn)，，四邊形為正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，又，解得，則，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，則，2，，，1，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，1，，，，二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求點(diǎn)到面的距離，求二面角的正弦值，屬中檔題．21．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)．（1）證明；（2）點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．【分析】（1）根據(jù)已知條件，推得，，再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可求證．（2）根據(jù)已知條件，推得平面，依次求出兩個(gè)平面的法向量，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【解答】證明：（1）連接，，，為中點(diǎn)．，又，，與均為等邊三角形，，，，平面，平面，．（2）解：設(shè)，，，，，，又，，平面，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，則，令，解得，，令，解得，，故，1，，，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，所以二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二面角的平面角及其求法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．22．（2023?南通二模）在長(zhǎng)方體中，，，，則A．若直線與直線所成的角為，則 B．若過點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，且與面交于點(diǎn)，則 C．若經(jīng)過點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為，則 D．若經(jīng)過點(diǎn)的平面與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為，則【分析】對(duì)于，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)找到直線與直線所成角的平面角即可；對(duì)于，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線線角相等，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，即可求坐標(biāo)，進(jìn)而確定線段長(zhǎng)；對(duì)于、，將長(zhǎng)方體補(bǔ)為以4為棱長(zhǎng)的正方體，根據(jù)描述找到對(duì)應(yīng)的直線、平面，結(jié)合正方體性質(zhì)求線面角、面面角的正弦值．【解答】解：對(duì)于：如下圖，直線直線所成角，即為直線與直線所成角，則，故正確；對(duì)于：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過的直線與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，與面交于，2，且，，又，則，故，則，故正確；對(duì)于：如下圖，過的直線與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為，則直線為以4為棱長(zhǎng)的正方體的體對(duì)角線，故，故正確；對(duì)于：如下圖，過的平面與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為，只需面與以4為棱長(zhǎng)的正方體中相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如面，故，則，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間角的計(jì)算問題，屬于較難題目．23．（2023秋?雙城區(qū)校級(jí)月考）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，，、分別為、的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求二面角正弦值的大小．【分析】解法一：幾何法取中點(diǎn)，連結(jié)，，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得且，結(jié)合線面垂直的判定定理得到平面，再由線面垂直的性質(zhì)得到；（Ⅱ）過作于，則平面，過作于，連結(jié)，則．則為二面角的平面角，解可得二面角的余弦值解法二：向量法取中點(diǎn)，連結(jié)、，建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)后，進(jìn)而求出直線和方向向量的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量垂直的充要條件，證得分別求出平面的一個(gè)法向量和平面（即平面的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值．【解答】解法一：幾何法證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)，．，且，又，，平面平面，又平面，；（Ⅱ）平面，平面，平面平面，過作于，則平面，過作于，連結(jié)，則．為二面角的平面角．平面平面，平面．又平面，．，，且．在正中，由平面幾何知識(shí)可求得，在中，二面角的余弦值為，二面角的正弦值為；解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、．，，且．平面平面，平面平面面，．如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，．，0，，，，，，0，，，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，，0，，設(shè)，，為平面的一個(gè)法向量，，即，取，則，，，又，0，為平面的一個(gè)法向量，，，二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，解法一的關(guān)鍵是（1）熟練掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為解三角形問題，解法二的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．24．（2024?通州區(qū)開學(xué)）如圖，在三棱柱中，平面平面，為等邊三角形，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍．【分析】（1）首先證明，然后證明平面，可得，即可證明；（2）首先證明平面，然后以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，算出兩個(gè)平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案．【解答】（1）證明：連接，由題設(shè)知四邊形為菱形，，，分別，為中點(diǎn)，，；又為中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面；（2）解：，，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，，由（1）知：平面，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則由，令，可得，，平面的法向量，，令，則，，，，，，即平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查換元法求函數(shù)值域，屬難題．25．（2023秋?通州區(qū)期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．（1）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；（2）當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，求的值．【分析】（1）由已知，可證，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法計(jì)算點(diǎn)到平面的距離；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用法向量表示出二面角的余弦值，求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)槠矫?，，平面，所以，．在平面?nèi)作，又，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，，，是中點(diǎn)，則，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，所以點(diǎn)到平面的距離；（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所有，1，，設(shè)，0，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，設(shè)平面的法向量，則，即，取，設(shè)二面角的大小為，則，設(shè)，因?yàn)槎娼堑恼抑禐?，所以，解得，此時(shí)，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離，考查二面角的求法，屬難題．26．（2023秋?江陰市期中）如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若平面，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【分析】（1）運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用面面夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可．（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由平面，面可表示坐標(biāo)，結(jié)合線面角坐標(biāo)公式計(jì)算可得，運(yùn)用換元法求此函數(shù)的值域即可．【解答】解：（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又，平面，所以平面．?）在三棱錐中，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，是以為斜邊的等腰直角三角形，則，由（1）知，平面，所以以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知，，又，則，則，0，，，，，，0，，，4，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．（3）如（2）建系及圖可知，平面的法向量為，平面的法向量為，，0，，設(shè)，，，則，，因?yàn)槠矫?，面，所以，解得，所以，又因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，又為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以，解得，所以，令，則，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，兩邊同乘?可得直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到平面的距離的求法，直線與平面所成的角，考查轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．27．（2023?盱眙縣校級(jí)四模）如圖，在平面五邊形中是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是直角梯形，其中，，，．將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求平面與平面所成的二面角的正弦值．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，．通過證明，，得平面．再根據(jù)面面垂直的判定可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角公式求出其正弦值．【解答】解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．是等邊三角形，所以，且，在直角梯形中，因?yàn)?，，，四邊形是矩形，所以，且，，即，又，平面．平面，平面．平面，平面平面．?）由（1）知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸、為軸、為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，，由是棱的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)得，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則，，平面與平面所成的二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直以及二面角相關(guān)知識(shí)，屬于較難題．28．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬）已知直三棱柱，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，平面平面．（1）證明：；（2）三棱錐的外接球的表面積為，求平面與平面夾角的余弦值．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由，平面平面，可證平面，知，結(jié)合，推出平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理，得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，外接球的球心為，，，利用，可求得的值，再分別求出平面與平面的法向量與，設(shè)平面與平面的夾角為，由，，得解．【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)橹比庵云矫?，因?yàn)槠矫妫?，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，1，，因?yàn)槿忮F的外接球的表面積為，所以，即外接球半徑，設(shè)外接球的球心為，，，由，得，解得，，，所以，0，，，0，，所以，1，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，所以，1，，同理可得，平面的法向量為，3，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，故平面與平面夾角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定理，利用空間向量找外接球球心，解決平面與平面夾角的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于難題．29．（2023?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)二模）如圖，，分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，為圓的直徑，以為直徑在底面內(nèi)作圓，為圓的直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)，，，為圓臺(tái)的母線，．（1）證明：平面（2）若二面角為，求，與平面所成角的正弦值．【分析】（1）利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量來求線面角即可．【解答】證明：（1）如圖，連接，，為圓的直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，，又，為等腰直角三角形，則，又，，也是等腰直角三角形，，，又為的中點(diǎn)，，由已知得，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．解：（2）底面，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，0，，，，，，，0，，，2，，，0，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，平面的一個(gè)法向量為，，2，，與平面所成角的正弦值為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法來求線面角，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題．30．（2024春?邗江區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且；（1）證明：無論取何值，總有；（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值；（3）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角的正弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，從而得證；（2）利用向量法求線面角，用含的式子表示出，結(jié)合配方法與正弦、正切函數(shù)的單調(diào)性，求解即可；（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，利用向量法求二面角可得關(guān)于的方程，判斷該方程是否有解即可．【解答】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，1，，，，，，，（1）證明：，，，無論取何值，．（2）解：由題意知，平面的一個(gè)法向量為，0，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，由，知，也取得最大值，，故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大，該角取最大值時(shí)的正切值為2．（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由上可知，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，，平面與平面所成的二面角的正弦值為，，化簡(jiǎn)得，解得，即，故當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，可使得平面與平面所成的二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用向量法證明線線垂直，求線面角、二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．31．（2023秋?無錫期末）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若，是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可證，然后結(jié)合，利用線面垂直、面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角，即可得解．【解答】（1）證明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因?yàn)?，且，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，，所以，，，因?yàn)槠矫婧推矫鎶A角的余弦值為，所以，，整理得，，即，解得或，因?yàn)椋?，故存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法求平面與平面的夾角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．32．（2024春?贛榆區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，直線平面，，，．求證：直線平面．（Ⅱ）若直線與平面所成的角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）由平面，可得．又，可建立建立如圖所示坐標(biāo)系．利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、線面垂直的判定定理即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一個(gè)法向量是，，1，．設(shè)直線與平面所成的角為，可得，解得．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，可得．【解答】解：（Ⅰ）平面，．又，故可建立建立如圖所示坐標(biāo)系．由已知，2，，，1，，，4，，，0，，，，，，，4，，，0，，，．，，平面．（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一個(gè)法向量是，，1，．設(shè)直線與平面所成的角為，，解得，，，即，0，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，2，，，，，，，取，，．，顯然二面角的平面角是銳角，二面角的平面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．33．（2022秋?江陰市期末）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面，點(diǎn)滿足．（1）若，求證：平面平面；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，若，求的值．【分析】（1）結(jié)合余弦定理與勾股定理，可證，由平面，知，進(jìn)而得平面，有，再利用勾股定理證明，然后由面面垂直的判定定理，得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量與，再由，，解之即可．【解答】（1）證明：因?yàn)?，，，所以，且，若，則，所以，所以，所以，即，因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在直角梯形中，，，，所以，即，因?yàn)?，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，4，，，4，，，1，，，，，所以，3，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，所以，，，同理可得，平面的法向量為，1，，由，知，所以，，化簡(jiǎn)整理得，，即，解得或2，因?yàn)椋裕军c(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定理，利用空間向量求平面與平面所成角的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于難題．34．（2023春?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求點(diǎn)到的距離；（3）求二面角的大?。痉治觥浚?）由平面，知，結(jié)合，可證平面，從而得，再證，進(jìn)而知平面，然后由線面垂直的性質(zhì)定理，得證；（2）在中，利用等面積法，即可得解；（3）先證平面平面，可知二面角與二面角是互余的，再根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，并求之，即可得解．【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：在中，，所以，由（1）知，平面，所以，所以，同理可得，所以，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以，故點(diǎn)到的距離為．（3）解：由（1）知，平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以二面角與二面角是互余的，問題可轉(zhuǎn)化為求二面角的大小，由（2）知，，，因?yàn)椋?，即，又，所以即為二面角的大小，因?yàn)?，，所以，即二面角的大小為，故二面角的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，點(diǎn)到線距離的求法，以及理解二面角的定義是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于難題．35．（2023春?宿城區(qū)校級(jí)月考）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連結(jié)，，得到圖②的四棱錐．（1）求四棱錐的體積的最大值；（2）若棱的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【分析】（1）作出輔助線，得到當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（2）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，從而得到；（3）作出輔助線，得到為的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，用含的關(guān)系式表達(dá)出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得到，結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值．【解答】解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；（2）取中點(diǎn)，連接，，則因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，四邊形為矩形，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以；（3）連接，因?yàn)?，所以，所以為的平面角，即，過點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，2，，過作于點(diǎn)，由題意得平面，設(shè)，，，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，，，因?yàn)椋瑒t，令，可得：，設(shè)兩平面夾角為，則，令，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了錐體體積的計(jì)算空間中的距離計(jì)算以及兩平面夾角的求解，屬于較難題目．36．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）正三棱柱底邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)．已知為線段上的點(diǎn)，且，求證：面；若二面角所成角的余弦值為，求的值．【分析】取中點(diǎn)為，連結(jié)，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而，由此能證明面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法能求出結(jié)果．【解答】證明：取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，又，則，所以，因?yàn)槊妫?，故面．解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．則，，設(shè)平面法向量為，設(shè)平面法向量為．則，取，得，，取，得；設(shè)二面角的平面角為，二面角所成角的余弦值為，，整理，得，，故當(dāng)二面角所成角的余弦值為時(shí)，的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．37．（2023春?金壇區(qū)校級(jí)期末）在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，為的中點(diǎn)．過的截面與棱，分別交于點(diǎn)，．（1）若為的中點(diǎn)，求三棱柱被截面分成上下兩部分的體積比；（2）若四棱錐的體積為，求截面與底面所成二面角的正弦值；（3）設(shè)截面的面積為，面積為，面積為，當(dāng)點(diǎn)在棱上變動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．【分析】（1）連結(jié)，并延長(zhǎng)分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，利用比例關(guān)系確定為靠近的三等分點(diǎn)，然后先求出棱柱的體積，連結(jié)，，由和進(jìn)行求解，即可得到答案；（2）求出點(diǎn)到平面的距離，得到點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，通過面面垂直的性質(zhì)定理可得即為截面與底面所成的二面角，在三角形中利用邊角關(guān)系求解即可；（3）設(shè)，則，，先求出的關(guān)系以及取值范圍，然后將轉(zhuǎn)化為，表示，求解取值范圍即可．【解答】解：（1）連結(jié)，并延長(zhǎng)分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，則，故為靠近的三等分點(diǎn)，所以，，下面球三棱柱被截面分成兩部分的體積比，三棱柱的體積為，連結(jié)，，由平面可知，為定值，所以，所以，故，所以；（2）由以及，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，解得，所以點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫越孛媾c平面所成的角即為截面與平面所成的角，在△中，，，故，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，故平面，則即為截面與底面所成的二面角，在△中，，，，故，所以截面與底面所成二面角的正弦值為；（3）設(shè)，則，，且，設(shè)的面積為，則，又因?yàn)?，所以，故，所以的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體體積的求解，二面角的求解以及截面面積問題，考查了空間想象能力與邏輯推理能力、化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于難題．38．（2023春?寶應(yīng)縣期中）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且；（Ⅰ）證明：無論取何值，總有；（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，即；（2）設(shè)出平面的一個(gè)法向量，表達(dá)出，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的值，進(jìn)而求出此時(shí)的正切值；（3）假設(shè)存在，利用平面與平面所成的二面角為，則平面與平面法向量的夾角為，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的方程，研究方程根的情況，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，，，（1）解：，無論取何值，（4分）（2）解：，0，是平面的一個(gè)法向量．，而，，當(dāng)最大時(shí)，最大，最大，除外，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，（8分）（3）假設(shè)存在，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量．則得令，得，化簡(jiǎn)得△方程無解不存在點(diǎn)使得平面與平面所成的二面角為（13分）【點(diǎn)評(píng)】利用向量知識(shí)解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標(biāo)表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式．39．（2023春?天寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，異面直線和所成角等于．（1）求直線和平面所成角的正弦值的大小；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)在棱上的位置；若不存在，說明理由．【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由，求出，由異面直線和所成角等于，求出，由此利用得量法能求出直線和平面所成角的正弦值．（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，利用向量法能求出存在這樣的點(diǎn)，為棱上的靠近的三等分點(diǎn)．【解答】解：（1）在四棱錐中，已知底面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，異面直線和所成角等于．設(shè)，，則，0，，，0，，，，，，2，，，0，．，2，，，，，，，解得，又，0，，，，，異面直線和所成角等于，，解得，，4，，，2，，，0，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，得，0，，設(shè)直線和平面所成角為，則直線和平面所成角的正弦值的大小為：．（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，設(shè)，且，，，則，，，0，，解得，0，，，2，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，得，，，又平面的法向量，1，，二面角的余弦值為，，解得或（不合題意）．存在這樣的點(diǎn)，為棱上的靠近的三等分點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足二面角的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．40．（2023?徐州開學(xué)）如圖正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【分析】取中點(diǎn)，連接，，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中，，，易得四邊形為平行四邊形，所以，再由線面平面的判定定理，可得平面；由已知中正方形與梯形所在的平面互相垂直，易得平面，進(jìn)而，由勾股定理，我們易判斷出中，，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面；以為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．【解答】證明：取中點(diǎn)，連接，在中，、分別為，的中點(diǎn)，所以，且．由已知，，所以，且．所以四邊形為平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面．?分）在正方形中，，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，所以．在直角梯形中，，，可得在中，，，所以．所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?分）解：由（2）知平面，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．，2，，，4，，，0，，平面的一個(gè)法向量為，1，．設(shè)，，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，得，所以?，為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面與平面所成銳二面角為則所以平面與平面所成銳二面角為余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．41．（2023秋?工業(yè)園區(qū)月考）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形即可證明結(jié)論；（2）取中點(diǎn)為，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可．【解答】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：取中點(diǎn)為，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，為的中點(diǎn)．則，0，，，0，，，1，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，即，令，解得，即，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，解得，即，記平面與平面夾角為，，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二面角的平面角及其求法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．42．（2023春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)，分別在線段，上，二面角的大小為．（1）若，，，證明：平面；（2）若，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．【分析】（1）由已知可建立以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明線面平行；（2）根據(jù)已知可建立以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線面關(guān)系求得與平面所成最大角的正切值，即得的值，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求得此時(shí)二面角的余弦值．【解答】（1）證明：，，，又，，平面，平面，又平面，，又，如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，，則，又，，則，，又軸平面，故可為平面的一個(gè)法向量，又，且平面，平面；（2）解：，，，如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，6，，，3，，，3，，設(shè)，則，則，又軸平面，可作為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，且，則，又函數(shù)與均在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)也取到最大值，又，則；設(shè)為平面的法向量，又，，令，則平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為，，由圖可知二面角為銳角，即二面角的余弦值為．與平面所成最大角的正切值為，此時(shí)二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與平面平行的證明，線面角、二面角的求法，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．43．（2024春?海州區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面，并求直線和平面的距離；（2）求二面角的大??；（3）試在線段上確定一點(diǎn)，使與所成的角是．【分析】（1）利用線面平行的判定定理，即可證明平面，即可得解；（2）利用面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判斷，可得是二面角的平面角，解直角三角形，即可得到二面角的大小；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：記與的交點(diǎn)為，連接，設(shè)直線和平面的距離為，、分別是、的中點(diǎn)，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，，即，則．（2）解：在平面中過作于，連接，正方形與矩形所在的平面互相垂直，且相交于，，在矩形內(nèi)，所以，則，又，，、平面平面，是在平面上的射影，由三垂線定理得，是二面角的平面角，在中，，，，所以，二面角的大小為；（3）解：分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，，由題意，解得，所以點(diǎn)應(yīng)在線段的中點(diǎn)處．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行判定定理，考查二面角及面面垂直性質(zhì)、線面垂直判定定理，用空間向量求直線與直線夾角，屬于中檔題．44．（2023秋?京口區(qū)校級(jí)月考）如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面．（1）求證：；（2）若，，，問為何值時(shí)，四棱錐的體積最大？并求此時(shí)平面與平面夾角的余弦值．【分析】（1）要證，可以證明面，再利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)，即可證明．（2）過做得到平面，作，連接，由邊長(zhǎng)關(guān)系得到，，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法即可得到夾角的余弦值．【解答】解：（1）在四棱錐中，為矩形，，又平面平面，平面平面，面，．（2）過做，平面，作，連接，，，，，，，，設(shè)，，，當(dāng)，即，，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，0，，，，，，，，，，故，設(shè)平面的法向量，則由得，解得，，面的法向量為，1，，同理面的法向量為，0，，．由圖可知二面角為銳角，即【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面位置關(guān)系、線線位置關(guān)系、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力與方程思想．45．（2023春?揚(yáng)中市校級(jí)期末）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）若二面角為，證明平面平面；求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）要證明平面，可以先證明平面平面，而要證明面面平行則可用面面平行的判定定理來證；（Ⅱ）要證明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需證平面即可；方法一：由知，，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，得到直線的方向向量與平面法向量，其夾角的余弦值的絕對(duì)值即為所成角的正弦值．方法二：連接，由（1）知，平面，則為直線與平面所成的角，在中，根據(jù)，求出與平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：連結(jié)，，底面是平行四邊形，為中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)．在中，，又平面，平面，平面．同理可證，平面．又，平面平面，平面，平面；（Ⅱ）如圖，連結(jié)，．，，，，．又為的中點(diǎn)，，，即為二面角的平面角，即，．中，，，同理，平面，平面，平面平面；方法一：由知，，，，，，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，令，則，，故，1，，，分別是棱，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，即直線與平面所成角的正弦值為．方法二：連接，由（1）知，平面，則為直線與平面所成的角，由，可知為直角，而，所以，故，又，故在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及線面角大小的求法，要求熟練掌握相關(guān)的判定定理．三．離散型隨機(jī)變量及其分布列（共1小題）46．（2024春?錫山區(qū)校級(jí)期中）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項(xiàng)目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項(xiàng)目．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是和，其中．（1）甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，求的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【分析】（1）分別求出甲，乙，丙三人初賽的兩輪均獲勝的概率，通過比較，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求解．（3）由題意可得，所有可能取值為0，1，2，3，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解．【解答】解：（1）甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，，，，甲進(jìn)入決賽可能性最大．（2），解得，，解得或，，．（3）由題意可得，所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故的分布列為：0123【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解，需要學(xué)生很強(qiáng)的綜合能力，屬于難題．四．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共8小題）47．（2024?揚(yáng)中市校級(jí)模擬）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進(jìn)行輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊．（1）設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊輪次總得分為隨機(jī)變量，求；（2）甲、乙同學(xué)分別選取方案一、方案二進(jìn)行比賽，試確定的最小值，使得當(dāng)時(shí)，甲的總得分期望大于乙．【分析】（1）設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊輪次，射中的次數(shù)為，則，且，再根據(jù)二項(xiàng)分布期望的公式和期望的性質(zhì)，求解即可；（2）設(shè)乙同學(xué)的總得分為隨機(jī)變量，寫出的所有可能取值，并計(jì)算相應(yīng)的概率，再結(jié)合錯(cuò)位相減法求解，然后采用作差法，求解的最小值即可．【解答】解：（1）設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊輪次，射中的次數(shù)為，則，且，所以，故．（2）由（1）知，設(shè)乙同學(xué)的總得分為隨機(jī)變量，的所有可能取值為0，6，12，，，所以，，，，，，，所以，設(shè)，則，兩式相減得，，所以，代入，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，且，故滿足題意的最小值為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率與數(shù)列的綜合問題，熟練掌握二項(xiàng)分布的期望，期望的計(jì)算公式，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．48．（2024?江蘇模擬）某足球訓(xùn)練基地有編號(hào)為1，2，3，，的位學(xué)員，在一次射門考核比賽中，學(xué)員有兩次射門機(jī)會(huì)．每人第一次射中的概率為，第二次射中的概率為，假設(shè)每位學(xué)員射門過程是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)從小到大的順序進(jìn)行，第1號(hào)學(xué)員開始第1輪比賽，先第一次射門；②若第，2，3，，號(hào)學(xué)員第一次射門未射中，則第輪比賽失敗，由第號(hào)學(xué)員繼續(xù)比賽；③若第，2，3，，號(hào)學(xué)員第一次射門射中，再第二次射門，若該學(xué)員第二次射門射中，則比賽在第輪結(jié)束，該學(xué)員第二次射門未射中，則第輪比賽失敗，由第號(hào)學(xué)員繼續(xù)比賽；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)學(xué)員的射門情況，比賽結(jié)束．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量表示3名學(xué)員在第輪比賽結(jié)束，求隨機(jī)變量的分布列；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示名學(xué)員在第輪比賽結(jié)束．①求隨機(jī)變量的分布列；②求證：?jiǎn)握{(diào)遞增，且小于3．【分析】（1）由題的所有可能取值為1，2，3，然后根據(jù)題意求出對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列；（2）①由題的所有可能取值為1，2，3，，，然后根據(jù)題意求出對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列；②由①可得，然后利用數(shù)列得知識(shí)求得，再由指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性即可得證．【解答】解：（1）由題的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列如下：123（2）①由題的所有可能取值為1，2，3，，，則，，，，，所以的分布列如下：123②證明：由①可得，記，則，兩式相減得，所以，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望及數(shù)列在概率計(jì)算中的應(yīng)用，屬于難題．49．（2024?如皋市模擬）如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為．（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）討論最后一次劃拳之前兩人的位置，利用相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算各種情況的概率；（2）利用相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算各種情況的概率，列出分布列，再計(jì)算均值．【解答】解：（1）設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第次劃拳小華平”為；事件“第次劃拳小華輸”為，則．因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，其概率為．所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為．（2）依題可知的可能取值為2、3、4、5，，，，，所以的分布列為：2345所以的數(shù)學(xué)期望為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，討論情況較多，情況分類要不重不漏，屬于中檔題．50．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）某款游戲預(yù)推出一項(xiàng)皮膚抽卡活動(dòng)，玩家每次抽卡需要花費(fèi)10元，現(xiàn)有以下兩種方案．方案一：沒有保底機(jī)制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚．已知，玩家按照一、二兩種方案進(jìn)行抽卡，首次抽中新皮膚時(shí)的累計(jì)花費(fèi)為，（元．（1）求，的分布列；（2）求；（3）若，根據(jù)花費(fèi)的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案．參考數(shù)據(jù)：．【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式求出；（2）結(jié)合錯(cuò)位相減法可求期望；（3）由已知條件依次求得，，根據(jù)數(shù)學(xué)期望即可給出選擇方案．【解答】解：（1）可取值10，20，30，，可取值10，20，，1000，當(dāng)時(shí)，摸球次數(shù)為，沒有抽中新皮膚的概率為，故，．（2）令，則，故，整理得到，所以，若玩家按方案一抽卡，花費(fèi)元時(shí)抽到皮膚，則抽取次數(shù)為，而，其中，，則，因?yàn)橥婕野捶桨敢怀榭ù螖?shù)無限制，且當(dāng)時(shí)，，所以．（3），即，，由（2）可得故；若玩家按方案二抽卡，則可取值10，20，，1000，且，其中，20，，990，，故，因?yàn)?，故選擇方案二．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．51．（2024?江蘇模擬）“踩高蹺，猜燈謎”是我國(guó)元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動(dòng)．某地為了弘揚(yáng)文化傳統(tǒng)，發(fā)展“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動(dòng)．（1）某商戶借“燈謎”活動(dòng)促銷，將燈謎按難易度分為、兩類，抽到較易的類并答對(duì)購物打八折優(yōu)惠，抽到稍難的類并答對(duì)購物打七折優(yōu)惠．抽取燈謎規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有字母，3張寫有字母，2張寫有字母，顧客每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫有的卡片，則再抽1次，直至取到寫有或卡片為止．求該顧客取到寫有卡片的概率．（2）小明嘗試去找全街最適合他的燈謎，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，他在街道上一共會(huì)遇到條燈謎（不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同），最適合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，小明準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前條燈謎，自第條開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的燈謎適合的，就摘這條燈謎，否則就摘最后一條．設(shè)，記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為．①若，，求；②當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值．（取【分析】（1）由分類加法原理和分步乘法原理求解；（2）①由題意可知，要摘到最適合他的燈謎，有兩種情況，最適合他的燈謎是第3條和最適合他的燈謎是最后1條，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；②記事件表示最適合的燈謎被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出（A），再用導(dǎo)數(shù)求出最值即可．【解答】解：（1）8張完全相同的卡片，3張寫有字母，3張寫有字母，2張寫有字母，由抽取規(guī)則可知，該顧客取到寫有卡片的概率為；（2）①這4條燈謎的位置從第1條到第4條排序，有種情況，要摘到最適合的燈謎，有以下兩種情況：最適合的燈謎是第3條，其他的燈謎隨意在哪個(gè)位置，有種情況，最適合的燈謎是最后1條，第二適合的燈是第1條或第2條，其他的燈隨意在哪個(gè)位置，有種情況，故所求概率為；②記事件表示最適合的燈謎被摘到，事件表示最適合的燈謎在燈謎中排在第條，因?yàn)樽钸m合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以，以給定所在位置的序號(hào)作為條件，，當(dāng)時(shí)，最適合的燈在前條燈之中，不會(huì)被摘到，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，最適合的燈謎被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前條燈謎中的最適合的一條在前條燈謎中時(shí)，此時(shí)，由全概率公式知，令函數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，即的最大值為，此時(shí)的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．52．（2024?蘇州模擬）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，定義隨機(jī)變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?）比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大??；（2）現(xiàn)單獨(dú)研究棱長(zhǎng)，記且，其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，含項(xiàng)的系數(shù)為．①若，對(duì)，3，4成立，求實(shí)數(shù)，，的值；②對(duì)①中的實(shí)數(shù)，，用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任意且，都成立．【分析】（1）直接根據(jù)三角形面積公式、線線角以及期望公式求解即可；（2）①首先代入，3，4得到關(guān)于，，的三元一次方程組即可求解；②由①中結(jié)論結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法即可得證．【解答】解：（1）如圖所示：由題意設(shè)為正四棱錐的高，為中點(diǎn)，由于正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都是2，所以，所以，由對(duì)稱性以及三線合一可知，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，則的所有可能取值為，且，所以．若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)，得，若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，所以；（2）①因?yàn)橹许?xiàng)的系數(shù)為，一般地，從中的第個(gè)因式中取一個(gè)，其余因式中取常數(shù)即