高考總復習理數(shù)（北師大版）課件第10章第1節(jié)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

計數(shù)原理第十章第一節(jié)分類加法計數(shù)原理和分步乘法 計數(shù)原理考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理2017·全國卷Ⅱ·T6·5分乘法原理與排列組合結(jié)合解決分工問題邏輯推理2016·全國卷Ⅱ·T5·5分應用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理求路徑條數(shù)邏輯推理命題分析分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是學習概率統(tǒng)計的基礎，在高考中占有特殊的地位，大多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時與概率統(tǒng)計知識綜合出現(xiàn)在解答題中，主要考查基礎知識、基本運算與思維能力，難度不大，多為送分題.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．分類加法計數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝____________________種方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝________________種方法．m1＋m2＋…＋mn

m1×m2×…×mn

提醒：1．辨明兩個易誤點(1)切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行．(2)分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步．2．兩個計數(shù)原理應用的步驟第一步，由于計數(shù)問題一般是解決實際問題，故首先要審清題意，弄清完成的事件是怎樣的；第二步，分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類四類中的哪一種；第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)；第四步，根據(jù)分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理計算出完成這件事的方法種數(shù)．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2．一個口袋內(nèi)有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同，則從兩個口袋內(nèi)分別取1個小球有________種取法．(

)A．9

B．20

C．5

D．4B

解析：從有5個小球的口袋內(nèi)取一個小球有5種取法，從有4個小球的口袋內(nèi)取1個小球有4種取法，根據(jù)分步乘法原理知共有5×4＝20種取法．3．(教材習題改編)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是(

)A．12

B．8

C．6

D．4C

解析：x＝1時，y＝5,6，有點(1,5)，(1,6)，x＝3時，y＝5,6，有點(3,5)，(3,6)，x＝－2時，y＝5,6，有點(－2,5)，(－2,6)，共6個點．4．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種．解析：每位同學有兩種報名方法2×2×2×2×2＝25＝32(種)．答案：32[明技法]利用分類加法計數(shù)原理解題時2個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復．02課堂·考點突破分類加法計數(shù)原理[提能力]【典例】

高三一班有學生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，其中男生35人，女生20人．(1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班男生中或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？解：(1)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，任選一名學生任學生會主席共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法．(2)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法．[刷好題]五名籃球運動員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服．由于燈光暗淡，看不清自己的外衣，則至少有兩人拿對自己的外衣的情況有(

)A．30種

B．31種C．35種

D．40種B

[析考情]分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理是學習排列與組合的基礎，高考中一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度中等，分值5分．分步乘法計數(shù)原理[提能力]【典例】

(1)(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24

B．18

C．12

D．9B

解析：從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種，所以從E點到G點的最短路徑為6×3＝18種，故選B．(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．解析：每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．答案：120[悟技法](1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．[刷好題]1．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(

)A．12種

B．18種C．24種

D．36種A

2．如圖一管道有6個聯(lián)接點，如果一個聯(lián)接點堵塞，則整個管道不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)管道不通，那么聯(lián)接點堵塞情況有________種．解析：因為每個聯(lián)接點是否堵塞有2種，而只要一處堵塞，則整個管道不通．故共有26－1＝63種可能．答案：63兩個計數(shù)原理的綜合應用[析考情]兩個計數(shù)原理的應用，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．[提能力]命題點1：與數(shù)字有關的問題【典例1】

我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是六合數(shù))，則“六合數(shù)”中首位為2的有(

)A．18個

B．15個C．12個

D．9個B

解析：依題意，這個四位數(shù)百位、十位、個位之和為4，由(4,0,0)，(3,1,0)，(2,2,0)，(1,1,2)各能組成3,6,3,3個.3＋6＋3＋3＝15個．命題點2：與幾何有關的問題【典例2】

從A到O有________種不同走法(不重復過一點)．解析：分三類：一類一步完成A→O，二類兩步完成A→B→O

A→C→O，三類三步完成A→B→C→O

A→C→B→O，共1＋2＋2＝5種．答案：5命題點3：涂色問題【典例3】

如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(

)A．72種

B．48種C．24種

D．12種A

ABCD[悟技法]與兩個計數(shù)原理有關問題的解題策略(1)在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數(shù)原理．(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化．[刷好題]1．如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為(

)A．240

B．204

C．729

D．920A

解析：若a2＝2，則凸數(shù)為120與121，共1×2＝2個．若a2＝3，則凸數(shù)有2×3＝6個．若a2＝4，則凸數(shù)有3×4＝12個，…，若a2＝9，則凸數(shù)有8×9＝72個．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個．2．如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(

)A．400種

B．460種C．480種

D．496種C

解析：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當使用4種顏色時：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360(種)方法；當使用3