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文檔簡介
立體幾何第八章第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)異面直線所成的角2017·全國卷Ⅱ·T10·5分求解異面直線所成的角直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算2016·全國卷Ⅰ·T11·5分面面平行的判定與性質(zhì),異面直線所成的角2014·全國卷Ⅱ·T11·5分求解異面直線所成的角線面的位置關(guān)系2013·全國卷Ⅱ·T14·5分線面位置關(guān)系的判斷直觀想象邏輯推理命題分析異面直線所成的角是高考熱點(diǎn),會(huì)單獨(dú)考查,常出現(xiàn)在選擇題中;本節(jié)其他知識(shí)一般不單獨(dú)命題,常在解答題中涉及.02課堂·考點(diǎn)突破03課后·高效演練欄目導(dǎo)航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1.空間圖形的基本位置關(guān)系(1)空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種:____________和____________.(2)空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種:____________和____________.(3)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:①平行直線:在__________內(nèi),而且沒有__________的兩條直線.②相交直線:__________________________________的兩條直線.③異面直線:__________的兩條直線.點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面外同一平面公共點(diǎn)在同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)不共面(4)空間直線與平面的位置關(guān)系有三種:①直線在平面內(nèi):直線和平面有__________公共點(diǎn).②直線和平面相交:直線和平面__________公共點(diǎn).③直線和平面平行:直線和平面__________公共點(diǎn).(5)空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種:①平行平面:兩個(gè)平面__________公共點(diǎn).②相交平面:兩個(gè)平面不重合,并且__________公共點(diǎn).無數(shù)個(gè)只有1個(gè)沒有沒有有2.空間圖形的公理及等角定理有且只有存在兩點(diǎn)在此在平面有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有α∩β=l,且A∈l
平行a∥c
B′O′3.異面直線所成的角(1)定義:過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2,這兩條相交直線所成的______________就是異面直線a,b所成的角.如果兩條異面直線所成的角是__________,則稱這兩條直線互相垂直.(2)范圍:__________.銳角(或直角)直角提醒:辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面,因此異面直線既不平行,也不相交.(2)直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”.(3)兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí),容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補(bǔ)角.1.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)不重合的平面α,β有一條公共直線a,就說平面α,β相交,并記作α∩β=a.(
)(2)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說α,β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.(
)(3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.(
)(4)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.(
)(5)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.(
)答案:(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
(5)×2.(教材習(xí)題改編)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(
)A.30°
B.45°
C.60°
D.90°C
解析:連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求的角,又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.3.四條線段順次首尾相連,它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有(
)A.4個(gè)
B.3個(gè)C.2個(gè)
D.1個(gè)A
解析:首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面,所以最多可以確定四個(gè)平面.4.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則(
)A.m∥l B.m∥nC.n⊥l D.m⊥nC
解析:由已知,α∩β=l,∴l(xiāng)
β,又∵n⊥β,∴n⊥l,C正確.5.(教材習(xí)題改編)兩兩相交的三條直線最多可確定________個(gè)平面.解析:當(dāng)三條直線共點(diǎn)且不共面時(shí),最多可確定3個(gè)平面.答案:3[明技法]共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.02課堂·考點(diǎn)突破平面的基本性質(zhì)(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法:①先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).[提能力]【典例】
如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證:E、C、D1、F四點(diǎn)共面.[母題變式]
本例條件不變,如何證明“CE,D1F,DA交于一點(diǎn)”?[明技法]空間兩直線位置關(guān)系的判斷方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定.對(duì)于異面直線,可采用直接法或反證法;對(duì)于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對(duì)于垂直關(guān)系,往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.空間兩條直線的位置關(guān)系[提能力]【典例】
(1)下列結(jié)論正確的是(
)①在空間中,若兩條直線不相交,則它們一定平行;②平行于同一條直線的兩條直線平行;③一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么它也和另一條相交;④空間四條直線a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.A.①②③
B.②④C.③④
D.②③B
解析:①錯(cuò),兩條直線不相交,則它們可能平行,也可能異面;②由公理4可知正確;③錯(cuò),若一條直線和兩條平行直線中的一條相交,則它和另一條直線可能相交,也可能異面;④由平行直線的傳遞性可知正確.故選B.(2)已知a、b、c是相異直線,α、β、γ是相異平面,則下列命題中正確的是(
)A.a(chǎn)與b異面,b與c異面?a與c異面B.a(chǎn)與b相交,b與c相交?a與c相交C.α∥β,β∥γ?α∥γD.a(chǎn)
α,b
β,α與β相交?a與b相交C
解析:如圖(1),在正方體中,a、b、c是三條棱所在直線,滿足a與b異面,b與c異面,但a∩c=A,故A錯(cuò)誤;在圖(2)的正方體中,滿足a與b相交,b與c相交,但a與c不相交,故B錯(cuò)誤;如圖(3),α∩β=c,a∥c,則a與b不相交,故D錯(cuò)誤.[刷好題]1.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是(
)A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行
D.l1與l4的位置關(guān)系不確定D
解析:構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為AD,l2為AA1,l3為A1B1,當(dāng)取l4為B1C1時(shí),l1∥l4,當(dāng)取l4為BB1時(shí),l1⊥l4,故排除A、B、C,選D.2.已知a,b,c為三條不重合的直線,有下列結(jié)論:①若a⊥b,a⊥c,則b∥c;②若a⊥b,a⊥c,則b⊥c;③若a∥b,b⊥c,則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為(
)A.0 B.1C.2 D.3B
解析:在空間中,若a⊥b,a⊥c,則b,c可能平行,也可能相交,還可能異面,所以①②錯(cuò),③顯然成立.異面直線所成的角[明技法]用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;(2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角;(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則
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