2025屆河南省鄭州市外國語學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆河南省鄭州市外國語學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.2．有一機器人的運動方程為，(是時間，是位移)，則該機器人在時刻時的瞬時速度為（）A. B.C. D.3．已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則（）A.30 B.C. D.30或4．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.905．已知直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.56．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.7．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.8．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則9．為了了解某地區(qū)的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，打算從中抽取一個容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個個體，在整個過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.10．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.11．已知，且直線始終平分圓的周長，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.1612．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是_______________14．在正項等比數(shù)列中，，，則的公比為___________.15．如圖，AD與BC是三棱錐中互相垂直的棱，，（c為常數(shù)）.若，則實數(shù)的取值范圍為__________.16．已知球的表面積為,則該球的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，底面是正方形，O是的中點，（1）證明：（2）求直線與平面所成角的正弦值18．（12分）某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個300元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個數(shù)的分布列為567.表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，代表購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件的個數(shù).（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選哪一個？19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和21．（12分）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D2、B【解析】對運動方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時，，即速度為7.故選：B3、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A4、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B5、C【解析】求出直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C6、A【解析】先求出坐標(biāo)，進而根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.7、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個選項.【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因為，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D8、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】若，，也可以有，A錯；若，，也可以有，B錯；若，，則或，C錯；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D9、D【解析】根據(jù)每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個個體被抽取的概率都是相等的，每個個體被剔除的概率也都是相等的，所以每個個體被剔除的概率為，每個個體被抽取的概率為，故選：D.10、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應(yīng)的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對應(yīng)的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應(yīng)的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C11、B【解析】由已知直線過圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過圓心得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.故選:B.12、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，,.故答案為.14、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：315、【解析】分析得都在以為焦點的橢球上，再利用橢球的性質(zhì)得到，化簡即得解.【詳解】解：因為，所以都在以為焦點橢球上，由橢球的性質(zhì)得，是垂直橢球焦點所在直線的弦，的最大值為,此時共面且過中點，即故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16、【解析】設(shè)球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，可得的坐標(biāo)，再求數(shù)量積可得答案；（2）求出平面的法向量、的坐標(biāo)，由線面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】在長方體中，以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨令，則，，因為，所以【小問2詳解】由（1）可知，，，設(shè)平面的法向量，則令，得，設(shè)直線與平面所成的角，則.18、（1）答案見解析；（2）應(yīng)選擇.【解析】(1)由每臺設(shè)備需更換零件個數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對應(yīng)的概率即可得解.(2)分別求出和時購買零件所需費用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】的可能取值為10，11，12，13，14，，，，，，則的分布列為：10111213140.090.30.370.20.04【小問2詳解】記為當(dāng)時購買零件所需費用，，，，，元，記為當(dāng)時購買零件所需費用，，，，元，顯然，所以應(yīng)選擇.19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出20、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列的基本量運算列方程組解得和公比后可得通項公式；（2）用錯位相減法求得和【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，得，解之得所以；【小問2詳解】，又，得，，兩式作差，得，所以21、，【解析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，比較極值和端點值,即可得到最大值和最小值.【詳解】解：依題意，，令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以，22、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析