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新疆伊寧生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)四師一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線:與:互相平行,則a的值是()A. B.2C.或2 D.3或2.2018年,倫敦著名的建筑事務(wù)所steynstudio在南非完成了一個驚艷世界的作品一一雙曲線建筑的教堂,白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮,建筑師通過雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座教堂輕盈,極簡和雕塑般的氣質(zhì),如圖.若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線下支的一部分,且該雙曲線的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18,到漸近線距離為12,則此雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3.已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點(diǎn),與軸的一個交點(diǎn)為,如圖所示,則下列說法錯誤的是()A. B.的最小正周期為6C.圖象關(guān)于直線對稱 D.在上單調(diào)遞減4.在棱長為1的正方體中,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為()A. B.1C. D.5.已知橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則()A.5 B.2C.1 D.6.傾斜角為45°,在y軸上的截距為-1的直線方程是()A.x-y+1=0 B.x-y-1=0C.x+y-1=0 D.x+y+1=07.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”,根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明,后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1,它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2,它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結(jié)論正確的是()①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形;②若,,則;③若,則;④若是的中點(diǎn),則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④8.甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計(jì)如圖所示,記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為,,標(biāo)準(zhǔn)差分別為,,則()A.>,< B.>,>C.<,< D.<,>9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,若,則的面積為()A. B.C. D.10.已知等比數(shù)列的公比為,則“”是“是遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.若直線與直線垂直,則a的值為()A.2 B.1C. D.12.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)的是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.為增強(qiáng)廣大師生生態(tài)文明意識,大力推進(jìn)國家森林城市建設(shè)創(chuàng)建進(jìn)程,某班26名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵(各自挖坑種植),相鄰兩棵樹相距均為10米,在同學(xué)們挖坑期間,運(yùn)到的樹苗集中放置在了某一樹坑旁邊,然后每位同學(xué)挖好自己的樹坑后,均從各自樹坑出發(fā)去領(lǐng)取樹苗.記26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和為,則的最小值為______米14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是______.15.若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則___________.16.牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法,它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下:設(shè)r是函數(shù)y=f(x)的一個零點(diǎn),任意選取x0作為r的初始近似值,作曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線l1,設(shè)l1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,并稱x1為r的1次近似值;作曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線l2,設(shè)l2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2,并稱x2為r的2次近似值.一般的,作曲線y=f(x)在點(diǎn)(xn,f(xn))(n∈N)處的切線ln+1,記ln+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn+1,并稱xn+1為r的n+1次近似值.設(shè)f(x)=x3+x-1的零點(diǎn)為r,取x0=0,則r的2次近似值為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大,設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線,分別過曲線上的兩點(diǎn),做曲線的兩條切線,且交于點(diǎn),與直線交于兩點(diǎn)(1)求曲線的方程;(2)求面積的最小值.18.(12分)已知橢圓的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若的面積為定值,判斷是否為定值,如果是,求出該定值;如果不是,說明理由.19.(12分)已知橢圓的焦距為4,點(diǎn)在G上.(1)求橢圓G方程;(2)過橢圓G右焦點(diǎn)的直線l與橢圓G交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求直線l的方程.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,底面,,是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求證:平面平面;(3)設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn),直接寫出線段長度最小值.(不需證明)21.(12分)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,A1C的中點(diǎn),AD=AA1=2,AB=(1)求證:EF∥平面ADD1A1;(2)求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值;(3)在線段A1D1上是否存在點(diǎn)M,使得BM⊥平面EFD?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由22.(10分)請你設(shè)計(jì)一個包裝盒,如圖所示,是邊長為的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn),正好形成一個長方體形狀的包裝盒,、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn),設(shè)(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出函數(shù)的定義域;(2)當(dāng)為多少時,包裝盒的容積最大?最大容積是多少?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)直線:與:互相平行,由求解.【詳解】因?yàn)橹本€:與:互相平行,所以,即,解得或,當(dāng)時,直線:,:,互相平行;當(dāng)時,直線:,:,重合;所以,故選:A2、A【解析】設(shè)出雙曲線的方程,根據(jù)已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由雙曲線的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18,即,上焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中一條漸近線為,上焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則,解得,,即,故選:.3、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出,再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn),所以,又,所以,A正確;因?yàn)榈膱D象與軸的一個交點(diǎn)為,即,所以,又,解得,所以,所以,求得最小正周期為,B正確;,所以是的一條對稱軸,C正確;令,解得,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞減,D錯誤故選:D.4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知,得,,,,,所以在上的投影為,所以點(diǎn)到直線的距離為故選:B5、C【解析】根據(jù)題意橢圓焦點(diǎn)在軸上,且,將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,從而得出,得出答案.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則橢圓焦點(diǎn)在軸上,且將橢圓化為,則由,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則,解得故選:C6、B【解析】由題意,,所以,即,故選B7、A【解析】對于①,由三角形大邊對大角的性質(zhì)分析,對于②,根據(jù)題意利用正弦定理分析,對于③,利用余弦定理分析,對于④,利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①,根據(jù)題意,圖2,它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形,故,,所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形,故①正確;對于②,由題知,在中,,,,所以,所以由正弦定理得解得,因?yàn)?,所以,故②正確;對于③,不妨設(shè),所以在中,由余弦定理得,代入數(shù)據(jù)得,所以,所以,故③錯誤;對于④,若是的中點(diǎn),則,所以,故④正確.故選:A第II卷(非選擇題8、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖,結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖知:甲總成績比乙總成績要高,則>,又甲成績的分布比乙均勻,故<.故選:A.9、B【解析】求出,可知為等腰三角形,取的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得,利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中,,,則,所以,,由橢圓的定義可得,取的中點(diǎn),因?yàn)?,則,由勾股定理可得,所以,.故選:B.10、B【解析】先分析充分性:假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷;再分析充分性,由條件得恒成立,再對和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性:在等比數(shù)列中,,所以假設(shè),,所以,等比數(shù)列為遞減數(shù)列,故充分性不成立;分析必要性:若等比數(shù)列的公比為,且是遞增數(shù)列,所以恒成立,即恒成立,當(dāng),時,成立,當(dāng),時,不成立,當(dāng),時,不成立,當(dāng),時,不成立,當(dāng),時,成立,當(dāng),時,不成立,當(dāng),時,不恒成立,當(dāng),時,不恒成立,所以能使恒成立的只有:,和,,易知此時成立,所以必要性成立.故選:B.11、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程,解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直,所以,解得.故選:A12、C【解析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對于A,為一次函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意;對于B,,,為奇函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意;對于C,,為二次函數(shù),是偶函數(shù)且在上是減函數(shù),符合題意;對于D,,,為奇函數(shù),不是偶函數(shù),不符合題意;故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定,關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)對稱性易知:當(dāng)樹苗放在第13或14個坑,26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法求26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和.【詳解】將26個同學(xué)對應(yīng)的26個坑分左右各13個坑,∴根據(jù)對稱性:樹苗放在左邊13個坑,與放在對稱右邊的13個坑,26個同學(xué)所走的總路程對應(yīng)相等,∴當(dāng)樹苗放在第13個坑,26位同學(xué)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,此時,左邊13位同學(xué)所走的路程分別為,右邊13位同學(xué)所走的路程分別為,∴最小值為米.故答案為:.14、【解析】先求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,由即可求解.【詳解】,令,得,即的單調(diào)遞減區(qū)間是,又在上單調(diào)遞減,可得,即.故答案為:.15、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.【詳解】依題意,線段的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi),設(shè),,由兩式相減得:,而,于是得,即,所以.故答案為:16、##【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)r的2次近似值的定義求解即可【詳解】由,得,取,,所以過點(diǎn)作曲線的切線的斜率為1,所以直線的方程為,其與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,即,因?yàn)?,所以過點(diǎn)作曲線的切線的斜率為4,所以直線的方程為,其與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,即,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)由題意可得化簡可得答案;(2)求出、方程并得到、點(diǎn)坐標(biāo),再聯(lián)立,方程求出交點(diǎn)和、點(diǎn)到的距離,可得,設(shè),與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到,設(shè),記,利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問1詳解】由題意可知:,即:化簡得:;【小問2詳解】由題意可知:,,,過點(diǎn)的切線斜率為,方程為:①,令,,則,同理:方程為:②,,聯(lián)立①②得:,的交點(diǎn),,點(diǎn)到的距離,所以③,設(shè):,則,整理得,所以,由韋達(dá)定理得:,,代入③式得:,設(shè),記,則,令得(舍負(fù)),時,單調(diào)遞減:時,單調(diào)遞增,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時的最小值為.18、(1)(2)是定值,定值為6【解析】(1)根據(jù)題意條件,可直接求出的值,然后再利用條件中、的關(guān)系,借助即可求解出、的值,從而得到橢圓方程;(2)根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程,然后與橢圓聯(lián)立方程,分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系,再表示出弦長關(guān)系,再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離,把面積用和的式子表示出來,通過給出的面積的值,找到和的等量關(guān)系,將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意:,由知:,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,【小問2詳解】設(shè):,①橢圓.②聯(lián)立①②得:,,即∴,O到直線l的距離,∴,∴,即,∴.故為定值6.19、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)已知求出即得橢圓的方程;(2)設(shè)l的方程為,,,聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理,根據(jù)得到,即得直線l的方程.【小問1詳解】解:橢圓的焦距是4,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是,.因?yàn)辄c(diǎn)在G上,所以,所以,.所以橢圓G的方程是.【小問2詳解】解:顯然直線l不垂直于x軸,可設(shè)l的方程為,,,將直線l的方程代入橢圓G的方程,得,則,.因?yàn)?,所以,則,即,由,得,.所以,解得,即,所以直線l的方程為.20、(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】(1)設(shè),連結(jié),根據(jù)中位線定理即可證,再根據(jù)線面平行的判定定理,即可證明結(jié)果;(2)由菱形的性質(zhì)可知,可證,又底面,可得,再根據(jù)面面垂直的判定定理,即可證明結(jié)果;(3)根據(jù)等體積法,即,經(jīng)過計(jì)算直接寫出結(jié)果即可.【小問1詳解】證明:設(shè),連結(jié).因?yàn)榈酌鏋榱庑?,所以為的中點(diǎn),又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以.又因?yàn)槠矫妫矫?,所以平?【小問2詳解】證明:因?yàn)榈酌鏋榱庑?,所?因?yàn)榈酌妫?又因?yàn)?,所以平?又因?yàn)槠矫?,所以平面平?【小問3詳解】解:線段長度的最小值為.21、(1)證明見解析;(2);(3)不存在;理由見解析【解析】(1)連接AD1,A1D,交于點(diǎn)O,所以點(diǎn)O是A1D的中點(diǎn),連接FO,根據(jù)判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形,進(jìn)而得到線面平行;(2)建立坐標(biāo)系,求出兩個面的法向量,求得兩個法向量的夾角的余弦值,進(jìn)而得到二面角的夾角的余弦值;(3)假設(shè)在線段A1D1上存在一點(diǎn)M,使得BM⊥平面EFD,設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),由第二問得到平面EFD的一個法向量,判斷出和該法向量不平行,故不存在滿足題意的點(diǎn)M.【詳解】(1)證明:連接AD1,A1D,
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