人教版九年級數(shù)學上冊教案第24章 圓

第二十四章圓

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

24.1.1S]

01教學目標

1.了解圓的基本概念，并能準確地表示出來.

2.理解并掌握與圓有關(guān)的概念：弦、直徑、圓弧、等圓、同心圓等.

（）2預習反饋

閱讀教材P79?80內(nèi)容，理解記憶與圓有關(guān)的概念，并完成下列問題.

1.如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.其

固定的端點O叫做圓心,線段OA叫做半徑.

2.圓心為0、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合.

3.連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑:圓上任意兩點間的部分叫做圓?。粓A的任意一

條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧叫做劣弧.

4.以點A為圓心，可以畫無數(shù)個圓;以已知線段AB的長為半徑，可以畫無數(shù)個圓:以點A為圓心，AB的

長為半徑，可以畫L個圓.

【點撥】確定圓的兩個要素：圓心（定點）和半徑（定長）.圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

5.到定點O的距離為5的點的集合是以Q為圓心，1為半徑的圓.

03名校講壇

例1（教材P80例1）矩形A8C。的對角線AC,相交于點。.求證：A,B,C,。四個點在以點O為圓心的

同一個圓上.

【思路點撥】要求證幾個點在同一個圓上，即需要證明這幾個點到同一個點（即圓心）的距離相等.

【解答】證明：；四邊形ABC。為矩形，

:.OA=OC=\AC,OB=OD=^BD,AC=BD.

：.OA=OC=OB=OD.

：.A,B,C,。四個點在以點。為圓心，04為半徑的圓上（如圖）.

例2（教材P80例1的變式）AABC中，NC=90。.求證：A,B,C三點在同一個圓上.

【解答】證明：如圖，取AB的中點0,連接0C

?在△ABC中，ZC=90°,

.,.△ABC是直角三角形.

.?.0C=0A=08=%B(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).

B,C三點在同一個圓上.

【跟蹤訓練1](例1的變式題)(1)在圖中，畫出。。的兩條直徑；

(2)依次連接這兩條直徑的端點，得一個四邊形.判斷這個四邊形的形狀，并說明理由.

解：(1)作圖略.

(2)矩形.理由：因為該四邊形的對角線互相平分且相等，所以該四邊形為矩形.

【思考】由剛才的問題思考：矩形的四個頂點一定共圓嗎？

例3已知。。的半徑為2,則它的弦長d的取值范圍是0<dW4.

【點撥】直徑是圓中最長的弦.

例4在。。中，若弦AB等于。。的半徑，則AAOB的形狀是等邊三角形.

【點撥】與半徑相等的弦和兩半徑構(gòu)造等邊三角形是常用數(shù)學模型.

【跟蹤訓練2】如圖，點A,B,C,D都在。。上.在圖中畫出以這4點為端點的各條弦.這樣的弦共有多

少條？

解：圖略.6條.

()4鞏固訓練

1.如圖，圖中有L條直徑，1條非直徑的弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有人條，劣弧有工條.

【點撥】這類數(shù)弧問題，為防多數(shù)或少數(shù)，通常按一定的順序和方向來數(shù).

2.如圖，。。中，點A,O,D以及點B,O,C分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)為2.

3.(《名校課堂〉〉24.1.1習題)點P到。。上各點的最大距離為10cm,最小距離為8cm,則。。的半徑是1或

9cm.

【點撥】這里分點在圓外和點在圓內(nèi)兩種情況.

4.如圖,已知AB是。0的直徑，點C在。O上,點D是BC的中點.若AC=10cw,則0D的長為5an.

【點撥】圓心0是直徑AB的中點.

5.如圖,CD為。0的直徑，ZEOD=72°,AE交。。于B,且AB=OC,則NA的度數(shù)為好.

【點撥】連接0B構(gòu)造三角形，從而得出角的關(guān)系.

（）5課堂小結(jié)

1.這節(jié)課你學了哪些知識？

2.學會了哪些解圓的有關(guān)問題的技巧？

24.1.2垂直于弦的直往

01教學目標

1.理解圓的對稱性.

2.通過圓的軸對稱性質(zhì)的學習，理解垂直于弦的直徑的性質(zhì).

3.能運用垂徑定理計算和證明實際問題.

02預習反饋

閱讀教材P81?83內(nèi)容，并完成下列問題.

1.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸,圓也是中心對稱圖形，對稱中心為圓心.

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧,即

O）

如圖，：CD是OO的直徑，且AB_LCD,

；.AE=BE；AC=BC；AD=TO.

3.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧,即

如圖，：CD是。O的直徑，且AE=BE（AB不是直徑），

.'.CD1AB；起=靛;AD=ro.

03名校講壇

知識點1垂徑定理

例1（教材補充例題）已知。。的半徑為5cm.

（1）若圓心。到弦AB的距離為3cm,則弦AB的長為8cm；

（2）若弦AB的長為8cm,則圓心O到AB的距離為3cm.

【點撥】（1）圓中已知半徑、弦長、弦心距三者中的任何兩個，即可求出另一個.（2）“已知弦的中點，連接圓

心和中點構(gòu)造垂直”或“連接半徑，由半徑、半弦、弦心距構(gòu)造直角三角形”是常用的輔助線.

例2（例1的變式題）已知：如圖，線段A8與。。交于C,。兩點，且04=02.求證：AC^BD.

【解答】證明：作OE_LAB于E.則CE=DE.

'：OA=OB,OELAB,：.AE=BE.

：.AE-CE=BE-DE,即4c=BD

【點撥】過圓心作垂徑是圓中常用輔助線.

【跟蹤訓練1】若。O的半徑OA=5a“弦AB=8CTH,點C是AB的中點，則OC的長為3cm.

【跟蹤訓練2】已知AB是。0的直徑，弦CDJ_AB,E為垂足.若AE=9,BE=1,求CD的長.

解:連接OC.

；AE=9,BE=1,半徑OC=5,OE=4.

?.?弦CDJ_AB,

.?.在冊AiOCE中，CE=dOC2-O中=3.

又；AB是。。的直徑，弦CDJ_AB,

；.CD=2CE=6.

【跟蹤訓練3】。。的半徑為5,弦AB的長為8,M是弦AB上的動點，則線段0M的長的最小值為3，最

大值為3

【點撥】當0M與AB垂直時，0M最?。槭裁矗划擬在A（或B）處時，0M最大.

知識點2垂徑定理的實際應(yīng)用

例3（教材P82例2）趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞

與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m,拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m,

求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

【思路點撥】解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實物圖畫出幾何圖形.

【解答】如圖，用彘表示主橋拱，設(shè)矗所在圓的圓心為O,半徑為R.

經(jīng)過圓心。作弦A8的垂線OC,。為垂足，OC與最相交于點C,連接OA.根據(jù)垂徑定理，。是AB的中點，

C是前的中點，CZ）就是拱高.

由題設(shè)可知AB=37cm,CD=7.23cm,

所以A￡>=%B=Tx37=18.5（cm）,

OD^OC-CD=R~7.23.

在RtaOA。中，由勾股定理，得

OA2^AD2+OD2,

即/?2=18.52+（Z?-7.23）2.

解得R^27.3.

因此，趙州橋的主橋拱直徑約為27.3m.

【點撥】圓中已知半徑、弦長、弦心距或弓形高四者中的任何兩個，即可求出另一個.

【跟蹤訓練4】（教材P82例2的變式題）某公園的一石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為24米，拱的半徑為13

米，則拱高為區(qū)米.

04鞏固訓練

1.在直徑是20cm的。0中，ZAOB的度數(shù)是60°,那么弦AB的弦心距是5小cm

【點撥】這里利用60。角構(gòu)造等邊三角形，從而得出弦長.

2.弓形的弦長為6c7”，弓形的高為2cvn,則這個弓形所在的圓的半徑為寧_g.

3.如圖，AB為。O的直徑，E是R中點，OE交BC于點D,BD=3,AB=10,則AC=&

4.（《名校課堂》24.1.2習題變式）。。的半徑是5,尸是圓內(nèi)一點，且0尸=3,過點尸最短弦的長為8，最長

弦的長為”.

【點撥】過點尸最短弦即為與。尸垂直的弦，最長弦即為直徑.

5.（《名校課堂》24.1.2習題變式）已知：如圖，在以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C,D

兩點.求證：AC—BD.

【點撥】過圓心作垂徑.

證明：過點。作0EL4B于點E.

則AE=BE,CE=DE.

：.AE-CE=BE-DE,B|JAC=BD.

6.已知。O的直徑是50cm。。的兩條平行弦AB=40cm,CD=48cm,求弦AB與CD之間的距離.

【點撥】分情況討論：①AB,CD在點O兩側(cè)；②AB,CD在點O同側(cè).

解：過點O作直線OEJ_AB于點E,直線OE與CD交于點F.

又：AB〃CD,.,.OF1CD.

①當AB,CD在點O兩側(cè)時，如圖1.

連接AO,CO,則AO=CO=25cm,AE=20CH,CF=24cm.

由勾股定理知OERACP—AE2=15cm,OF=-\/CO2-CF2=7cm.

...EF=OE+OF=22cm,即AB與CD之間的距離為22c/n；

②當AB,CD在點O同側(cè)時，如圖2.

連接AO,CO.PliJAO=CO=25cm,AE=20cm,CF=24。*.

由勾股定理知OERACP-AE2=15cm,OF=A/CO2-CF2=7cm.

.,.EF=OE-OF=8cm,即AB與CD之間的距離為8cm.

綜上所述，AB與CD之間的距離為22cm或8sz.

05課堂小結(jié)

1.垂徑定理及其推論.

2.常用的輔助線（作垂徑）和解題思路（構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形）.

24.1.3張，弦、回心角

01教學目標

1.通過學習圓的旋轉(zhuǎn)性，理解圓的弧、弦、圓心角之間的關(guān)系.

2.運用上述三者之間的關(guān)系來計算或證明有關(guān)問題.

02預習反饋

閱讀教材P83?84內(nèi)容，回答下列問題.

1.頂點在圓心的角叫做圓心角.

2.如圖所示，下列各角是圓心角的是(B)

A.ZABCB.ZAOBC.ZOABD.ZOBC

3.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.

4.在同圓或等圓中，兩個圓心角,兩條弧，兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等.

如圖，在。O中，AB,CD是兩條弦.

(1)如果AB=CD,那么/AOB=NCOD,AB=CD；

(2)如果翁=比)，那么AB=CD,/AOB=/COD；

(3)如果NAOB=NCOD,那么AB=CD,AB^CD.

5.如圖，AD是。O的直徑，AB=AC,NCAB=120。，根據(jù)以上條件寫出三個正確結(jié)論.(半徑相等除外)

D

(l)AACO^AABO；

(2)AD垂直平分BC；

(3)AC=AB.(答案不唯一)

03名校講壇

例1(教材P84例3)如圖，在。。中，AB=AC,ZACB=60°,求證：ZAOB^ZBOC^ZAOC.

A

【解答】證明：?.?矗=念，

：.AB=AC,AABC是等腰三角形.

又?:ZACB=6Q°,

.'.△ABC是等邊三角形，AB^AC=BC.

：.NAOB=NBOC=ZAOC.

【跟蹤訓練1】如圖，在。0中，AB=AC,ZACB=75°,求ZBAC的度數(shù).

A

解：VAB=AC,

；./ACB=NABC.

又ZACB=75°,ZACB+ZABC+ZBAC=180°,

；./BAC=30°.

例2(教材P84例3變式題)如圖.

（1）如果廢）=於，求證：AB=CD;

（2）如果AO=BC,求證：DC=AB.

【解答】證明：（1）?.?翁=元,

：.AD+AC=BC+AC,即比=鼐.

：.AB=CD.

(.2)'：AD=BC,：.AD=BC.

：.AD+AC=BC+AC,即比=靠.

例3（教材補充例題）如圖，AB是。。的直徑，M,N分別是AO,8。的中點.CMLAB,DNLAB,分別與圓

交于C,D點.求證：AC=BD.

【思路點撥】連接。C,0D,構(gòu)造全等三角形.

【解答】證明：連接OC,0D.

,：M,N分別為40,8。的中點,

.,.OM=^OA,0N=^0B.

又：0A=08,：.0M=0N.

；CM_LAB,DNA.AB,:.NCM0=NDNO=90°.

\OM-ON,

在RtACMO和Rt/\DNO中，\

[OC^OD,

：.RtACMO^RtAD^O(HL).

/AOC=NBOD.

：.AC=BD.

【跟蹤訓練2】已知：如圖，AB,CD是。0的弦，且AB與CD不平行，M,N分別是AB,CD的中點,

AB=CD,那么/AMN與NCNM的大小關(guān)系是什么？為什么？

【點撥】（1）OM,ON具備垂徑定理推論的條件；（2）同圓或等圓中，等弦的弦心距也相等.

解：NAMN=NCNM.理由如下：

連接OB,0D.

VM,N分別是AB,CD的中點，

；.BM=AM,DN=CN,且OM_LAB,0N1CD,即NOMB=/OND=90°.

又；AB=CD,；.BM=DN.

[BM=DN,

在aZXOBM和RfZkODN中，

[OB=OD,

.,./?/AOBM^/?zAODN(WZ,).

OM=ON.ZOMN=ZONM.

A900-ZOMN=90°-ZONM,即NAMN=NCNM.

04鞏固訓練

1.（《名校課堂》24.1.3習題變本）如圖，AB是。。的直徑，BC=CI）=DE,ZCOD=35°,則N4OE的度數(shù)為

75°.

2.（《名校課堂》24.1.3習題變式）如圖所示，CD為。。的弦，在C￡＞上截取CE=DF,連接OE,OF,并且它

們的延長線分別交。。于點A,B.

(1)試判斷△OEF的形狀，并說明理由;

⑵求證：AC^BD.

【點撥】(1)過圓心作垂徑；(2)連接AC,BD,通過證弦等來證弧等.

解：(1)Z\OEF為等腰三角形.理由：

過點0作OGJ_CD于點G,則CG=DG.

,:CE=DF,

：.CG~CE=DG-DF,BPEG=FG.

,：OGVCD,；.0G為線段EF的中垂線.

：.OE=OF,即△OEF為等腰三角形.

(2)證明：連接AC,BD.

由(1)知OE=OF,

又?；OA=O3,

：.AE=BF,ZOEF=ZOFE.

:ZCEA=ZOEF,ZBFD=ZOFE,

ZCEA=ADFB.

AE=BF,

在△CEA和△DFB中，＜ZCEA=ZDFB,

、CE=DF,

.,.△CEA絲△OFB(SAS).J.AC^BD.

：.AC=BD.

05課堂小結(jié)

弧、弦、圓心角之間的關(guān)系是證明圓中等弧、等弦、等圓心角的常用方法.

24.1.4回周角

第1課時圓周角定理及其推論

01教學目標

1.理解圓周角的定義，會區(qū)分圓周角和圓心角.

2.掌握圓周角定理及其兩個推論，能在證明或計算中熟練的應(yīng)用它們處理相關(guān)問題.

02預習反饋

閱讀教材戶85?87,完成下列問題.

1.頂點在圓上，并且兩邊都與圓H變的角叫做圓周角.

2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的凸.

3.己知，如圖所示，OA,OB是。O的兩條半徑，點C在。。上.若NAOB=90。，則NACB的度數(shù)為筌.

4.圓周角定理的推論：

同弧或等弧所對的圓周角相篁.

半圓（或直徑）所對的圓周角是直魚，90。的圓周角所對的弦是直徑.

5.如圖所示，點A,B,C在圓周上，ZA=65°,則ND的度數(shù)為空.

6.如圖，A,B,C均在。O上，且AB是。。的直徑，AC=BC,則NC=2Q5ZA=452.

03名校講壇

知識點1圓周角定理

例1（教材補充例題）如圖所示，點A,B,C在。。上，連接04,OB,若NABO=25°,求NC的度數(shù).

【解答】'：OA=OB,乙48。=25。，

：.ZBAO^ZABO^25°.

：.ZAOB=\30°.

：.ZC=^ZAOB=65°.

【跟蹤訓練1】如圖，點A,B,C在。O上，若/ABC+/AOC=90。，則NAOC大小為婚.

勺------

知識點2圓周角定理的推論

例2(教材P87例4)如圖，。。的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,N4CB的平分線交。。于D,求BC,

AD,BO的長.

【思路點撥】根據(jù)A8是直徑的條件，得出△ABC,△AB。都是直角三角形，由于RtZXABC中A8,AC已知,

根據(jù)勾股定理可求出8c.進一步，因為CD平分NAC8,根據(jù)圓周角定理和弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，可知A￡)=

BD,這樣，在Rt^ABO中可求出A。和B。的長.

【解答】連接0D

是直徑，

ZACB=ZADB=90°.

在RtAABC中，

BC=y]AB2-AC2=^102-62=8(cm).

：CZ)平分NACB,AZACD^ZBCD.

：.ZAOD=ZBOD.：.AD=BD.

又在RtZ\ABD中，ACP+BD^AB2,

.'.AD=BD--^AB=^-X10=5也(cm).

例3(教材補充例題)如圖，△4BC的頂點都在。。上，4。是。。的直徑，AD=取,ZB=ZDAC,則AC=L

【歸納總結(jié)】1.圓周角定理及其推論中的轉(zhuǎn)化思想：

(1)瓠是圓周角、圓心角的中介，通過弧可實現(xiàn)圓周角、圓心角之間的轉(zhuǎn)化；

(2)在同圓或等圓中，90。的圓周角和直徑之間可以相互轉(zhuǎn)化.

2.圓周角定理及其推論中常用的輔助線：

當題目中出現(xiàn)直徑時，通常作出直徑所對的圓周角，可得直角，然后結(jié)合直角三角形解決問題，即“見直徑作

直角

3.利用圓周角定理及其推論進行證明時常用的思路：

(1)在同圓或等圓中，若要證瓠相等，則考慮證明這兩條瓠所對的圓周角相等；

(2)在同圓或等圓中，若要證圓周角相等，則考慮證明這兩個圓周角所對的弧相等；

(3)當有直徑時，常利用直徑所對的圓周角為直角解決問題.

【跟蹤訓練2】如圖所示，點A,B,C在。O上，已知/B=60。，則NCA0=位.

【點撥】連接0C,構(gòu)造圓心角的同時構(gòu)造等腰三角形.

【跟蹤訓練3】如圖所示，AB是。。的直徑，AC是弦，若NACO=32。，則NB=饗:.

()4鞏固訓練

1.如圖所示，已知圓心角NBOC=100。，點A為優(yōu)弧前:上一點，則圓周角NBAC的度數(shù)為壁.

2.如圖所示,OA為。O的半徑，以O(shè)A為直徑的。C與。O的弦AB相交于點D,若OD=5cm,則BE^IOcm.

【點撥】利用兩個直徑構(gòu)造兩個垂直，從而構(gòu)造平行，產(chǎn)生三角形的中位線.

3.如圖所示，在。。中，ZAOB=100°,C為優(yōu)弧@的中點，則NCAB的度數(shù)為絲.

4.如圖，OA,OB,OC都是。O的半徑，/AOB=2/BOC.求證：/ACB=2/BAC.

證明：??,NAOB是劣弧@所對的圓心角，NACB是劣弧◎所對的圓周角，，NAOB=2NACB.

同理NBOC=2NBAC.

VZAOB=2ZBOC,

AZACB=2ZBAC.

【點撥】看圓周角一定先看它是哪條弧所對的圓周角，再看所對的圓心角.

05課堂小結(jié)

圓周角的定義、定理及推論.

第2課時圓內(nèi)接四邊形

01教學目標

1.理解圓周角的定義，會區(qū)分圓周角和圓心角.

2.理解同弧或等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，理解記憶各個推論，能在證明或計算中熟練的應(yīng)用它們處

理相關(guān)問題.

02預習反饋

閱讀教材P87?88,完成下列問題.

1.如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做多邊形的外接圓.如

圖,四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形,。0是四邊形ABCD的外接圓.

2.圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如圖，ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180°.

3.如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，已知NBOD=100。，則NA=空，3BCD=130°.

A

()3名校講壇

例（《名校課堂》24.1.4第2課時習題變式）如圖所示，已知AB是。。的直徑，NBAC=32。，力是正的中點,

那么ND4C的度數(shù)是多少？

【解答】連接BC.

是。。的直徑，

/ACB=90。.

又；NBAC=32。，

.,.ZB=90°-32°=58°.

.../。=180。-/8=122。（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）.

又?..。是忿的中點，

ZZMC=ZDCA=1（180°-ZD）=29°.

【跟蹤訓練1】已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，NA：NB：NC=1：3：5,則/D的度數(shù)為維.

【跟蹤訓練2】（《名校課堂〉＞24.1.4第2課時習題變式）如圖，在。O的內(nèi)接四邊形ABC。中，點E在。C的

延長線上.若NA=50。，則

O

A

04鞏固訓練

1.（《名校課堂》24.1.4第2課時習題變式）如圖，。。的內(nèi)接四邊形ABCD中，ZA=120°,則NBOD等于120。.

2.如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E,F,且NA=56。，NE=32。，則/F=

362.

3.如圖，在。。中，ZCBD=30°,ZBDC=20°,求NA的度數(shù).

解：:在4BCD中,ZCBD=30°,NBDC=20。,

ZC=180°-ZCBD-NBDC=130°.

.*.ZA=180°-ZC=50°.

05課堂小結(jié)

圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系

24.2.1點和圜的伉置關(guān)東

01教學目標

1.結(jié)合實例，理解平面內(nèi)點與圓的三種位置關(guān)系.

2.知道確定一個圓的條件：掌握三角形外接圓及三角形的外心的概念.

3.掌握反證法，并會應(yīng)用于有關(guān)命題的證明.

02預習反饋

閱讀教材P92?95,完成下列問題.

1.設(shè)。。的半徑為r,點到圓心的距離為d,則有：點在圓外Qd>r,如圖中的點C；點在圓上Qd=r,如圖

中的點B；點在圓內(nèi)odVr,如圖中的點A.如：若。。的半徑為4o"，點A到圓心0的距離為3“〃，則點A與。O

的位置關(guān)系是點A在圓內(nèi).

2.經(jīng)過一個已知點A可以作無數(shù)個圓；經(jīng)過兩個已知點A,B可以作無數(shù)個圓,它們的圓心在線段AB的垂

直平分線上;經(jīng)過不在同一條直線上的A,B,C三點可以作二個圓，即不在同一條直線上的三個點確定一個圓.

3.經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,叫

做這個三角形的外心.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部;直角三角形的外心在三角形斜邊的中點;鈍角三角形的外

心在三角形外部.任意三角形的外接圓有二個，而一個圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個.

03名校講壇

例1（《名校課堂》24.2.1習題）矩形ABC。中，AB=8,BC=3小，點P在邊AB上，且BP=3AP,如果圓P

是以點P為圓心，PO為半徑作圓，判斷點8,C與。P的位置關(guān)系.

【解答】?；4B=8,點尸在邊AB上，且8P=3",

；.BP=6,AP=2.

根據(jù)勾股定理得r=PD=N（3?。?+22=7,

PC=y/PB2+BC2=-\j62+(3^5)2=9.

'：PB=6<r,PC=9>r,

...點8在。尸內(nèi)，點C在OP外.

【方法歸納】根據(jù)勾股定理求出點到圓心的距離d與半徑r比較.

【跟蹤訓練1】（例1變式題）如圖，已知矩形A8CZ）的邊AB=3cm,AO=4cm.

AD

H

（1）以點A為圓心，4cm為半徑作。A,則點8,C,。與。4的位置關(guān)系怎樣？

（2）若以A點為圓心作。A,使B,C,力三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則。A的半徑r的取

值范圍是什么？

【解答】⑴；AB=3cmVr,AC^y）AB2+BC2^5cm>r,AO=4cm=r,

...點8在。A內(nèi)，點C在。A外，點力在。A上.

（2Y：AB<AD<AC,且B,C,￡>三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，

3cm<r<5cm.

【思考】（2）問中8,C,。三點中至少有一點在圓內(nèi)，是指哪個點在圓內(nèi)？至少有一點在圓外，是指哪個點

在圓外？

例2（教材P95練習3）如圖，CD所在的直線垂直平分線段48,怎樣用這樣的工具找到圓形工件的圓心？

D

【解答】因為A,B兩點在圓上，所以圓心與A,8兩點的距離相等，所以圓心在CD所在的直線上.因此使

用這樣的工具可以作出圓形工件的任意兩條直徑，它們的交點。就是圓心.

【跟蹤訓練2】（《名校課堂》24.2.1習題）如圖，△ABC的外接圓圓心的坐標是（一2,—1）.

例3（《名校課堂》24.2.1習題）用反證法證明：若/A,NB,NC是AABC的三個內(nèi)角，則其中至少有一個

角不大于60°.

【解答】證明：假設(shè)NA,NB,NC都大于60。，則有NA+NB+NC180。，這與三角形的內(nèi)角和等于180。

相矛盾.因此假設(shè)不成立，即NA,NB,NC中至少有一個角不大于60。.

【方法歸納】用反證法證明命題的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾；

③由矛盾斷定假設(shè)不成立，從而得到原命題成立.

【跟蹤訓練3】已知aABC中，AB=AC,求證：/B<90。.若用反證法證這個結(jié)論，應(yīng)首先假設(shè)/B290。.

04鞏固訓練

1.用反證法證明命題“^ABC中，至少有兩個銳角”時，第一步假設(shè)為假設(shè)AABC中，只有一個銳角.

2.已知。O的半徑r=5?！?，圓心O與點D的距離OD=3"”，過點D且垂直于OD的直線1上有三點A,B,

C,J.AD=4cm,BD>4cm,CD<4cm.則點A在。。上，點B在。。處，點C在。。內(nèi).

3.已知線段AB=4c〃?，以3。*長為半徑可作2_個圓使其經(jīng)過A,B兩點，其圓心在線段AB的中垂線上,圓

心與點A的距離為3cm.

4.在放AABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=4cm,以點C為圓心，3?！?為半徑作。仁

（1）點A,B與。C有何位置關(guān)系？為什么？

（2）若將。C的半徑改為2a",其他條件不變，則結(jié)果又如何呢？若將0c的半徑改為4cm呢?

解：（1）由條件及勾股定理得AC=^AB2-BC2=^/52-42=3（cm）.

AC=3cm—r,

.?.點A在。C上.

'.'BC=4cm>r,

...點B在。C外.

（2）當。C的半徑為2時，點A,B都在。C外：

當。C的半徑為4c機時，點B在。C上，點A在。C內(nèi).

（）5課堂小結(jié)

1.點與圓的三種位置關(guān)系.

2.三角形外接圓及三角形的外心的概念.

3.反證法.

24.2.2直線和圓的住置關(guān)條

第1課時直線和圓的位置關(guān)系

01教學目標

1.理解掌握同一平面內(nèi)的直線與圓的三種位置關(guān)系.

2.理解記憶割線、切線、切點等概念.

3.能根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，準確判斷出直線與圓的位置關(guān)系.

()2預習反饋

閱讀教材P95?96,完成下列知識探究.

1.直線和圓有兩個公共點時,直線和圓相交，這條直線叫做圓的副線.

2.直線和圓只有一個公共點時,直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

3.直線和圓沒有公共點時，直線和圓相離.

4.設(shè)。。的半徑為r,圓心O到直線1的距離為d,則有：直線1和。O相交=歸；直線1和。O相切=歸;

直線1和。O相離Qd>r.

03名校講壇

例1在Rf^ABC中，NC=90。，AB=4c/n,BC=2cm,以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關(guān)系？

請你寫出判斷過程.

(l)r=1.5cm；(2開=小cm；(3)r=2cm.

【解答】過點C作CDLAB,垂足為D.

VAB=4cm,BC=2cm,.,.AC=2-\/3cm.

又SAABC=；AB-CD=；BCAC，

.…BCACr-

?，CD=AB=小cm.

(l)r=1.5cm時,相離;

⑵的時，，相切；

(3)r=2cnz時,相交.

【跟蹤訓練1】在RfaABC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心，r為半徑作圓.

①當r滿足()<!■〈亍52時,0C與直線AB相離;

②當r滿足三冷皿時，OC與直線AB相切；

③當r滿足r>,5時,0c與直線AB相交.

【跟蹤訓練2］已知。O的半徑為5c/n,圓心O到直線a的距離為3cm,則。O與直線a的位置關(guān)系是相交.直

線a與。O的公共點個數(shù)是2.

例2已知。O的半徑是3cm,直線1上有一點P到O的距離為3cm,試確定直線1和。O的位置關(guān)系.

【思路點撥】這里P到O的距離等于圓的半徑，而不是點O到直線1的距離等于圓的半徑，因此要分情況討

論.

【解答】相交或相切.

【跟蹤訓練2】如圖，在放ZiABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,若以C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB

只有一個公共點，則r的取值范圍是多少？

c

A6

【點撥】分相切和相交兩類討論.

解：r=2.4或3<rW4.

04鞏固訓練

1.已知(DO的半徑為5,直線1是。。的切線，則點O到直線1的距離是(C)

A.2.5B.3C.5D.10

2.已知OA平分NBOC,P是OA上任意的一點.若以點P為圓心的圓與OC相離，則OP與OB的位置關(guān)系

是⑻

A.相切B.相離C.相交D.相離或相切

3.在AABC中，AB=AC=5,BC=6,以點A為圓心，4為半徑作。A,則BC與。A的位置關(guān)系是(C)

A.相交B.相離C.相切D.不確定

4.已知NAOB=30。，M為OB上的一點，且OM=5c/n,以M為圓心，r為半徑的圓與直線OA有怎樣的位

置關(guān)系？為什么？

(l)r=2cm；(2)r=4cm；(3)r=2.5cm.

解：圓心M到OA的距離d=0.50M=0.5X5=2.5(cm).

(])r=2c機時，d>r,直線OA與。M相離；

(2)r=4cm時，d<r,直線OA與。M相交；

(3)r=2.5cm時，d=r,直線OA與。M相切.

第2課時切線的判定和性質(zhì)

01教學目標

1.探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關(guān)系.

2.能判定一條直線是否為圓的切線；會過圓上一點畫圓的切線.

3.會運用圓的切線的性質(zhì)與判定來解決相關(guān)問題.

02預習反饋

閱讀教材P97?98,完成下列問題.

1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2.切線的性質(zhì)：①切線和圓只有一個公共點:②切線到圓心的距離等于半徑；③圓的切線垂直于過切點的半

徑.

3.當已知一條直線是某圓的切線時，切點的位置是確定的，輔助線常常是連接圓心和切點,得到半徑，那么

半徑垂直于切線.

03名校講壇

例（教材P98例1）如圖，AABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰48與。。相切于點。，求證：AC

是。。的切線.

【思路點撥】根據(jù)切線的判定定理，要證明4c是。。的切線，只要證明由點。向AC所作的垂線段OE是

。。的半徑就可以了，而。。是。。的半徑，因此需要證明OE=OD

【解答】證明：過點。作OEL4C,垂足為E,連接0。，OA.

與48相切于點O,

：.OD±AB.

又aABC為等腰三角形，O是底邊8c的中點，

；.AO是/8AC的平分線.

：.OE=OD,即OE是。。的半徑.

這樣，AC經(jīng)過。。的半徑OE的外端E,并且垂直于半徑OE,所以AC與。。相切.

【方法歸納】在解決有關(guān)圓的切線問題時，常常需要作過切點的半徑.

【跟蹤訓練1】（《名校課堂〉〉24.2.2第2課時習題）如圖，AB為。。的直徑，點E在。。上，C為前的中點,

過點C作直線COLAE于。，連接AC試判斷直線CD與。O的位置關(guān)系，并說明理由.

解：直線8與。。相切，理由:

連接OC,

為病的中點，：.BC=CE.

：.ZDAC^ZBAC.

'：OA=OC,

：.ZBAC^ZOCA.

：.ZDAC=ZOCA.：.OC//AD.

'：ADLCD,：.OC±CD.

又：0c為。。的半徑，

...CO是的切線.

【跟蹤訓練2】如圖，AB是。。的直徑，BC切。O于B,AC交。O于P,E是BC邊上的中點，連接PE,

則PE與。。相切嗎？若相切，請加以證明，若不相切，請說明理由.

解：相切.

證明：連接OP,BP,則OP=OB.

AZOBP=ZOPB.

VAB為直徑，

ABP1PC.

在Rf^BCP中，E為斜邊中點，

.,.PE=|BC=BE..\/EBP=/EPB.

...ZOBP+ZEBP=ZOPB+ZEPB,

即/OBE=NOPE.

：BE為切線，AABIBC.

AOP±PE.

又...OP為。o的半徑，

；.PE是。O的切線.

04鞏固訓練

1.在正方形ABCD中，點P是對角線AC上的任意一點(不包含端點)，以P為圓心的圓與AB相切，則AD與

OP的位置關(guān)系是(8)

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

2.如圖，A,B是。O上的兩點，AC是過點A的一條直線，如果/AOB=120。，那么當/CAB的度數(shù)等于

婚時，AC才能成為。。的切線.

3.如圖，AB是。O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切。O于C.若NA=25。，則/D=處.

4.如圖，在aABC中，AB=AC,以AC為直徑的。O交BC于點D,交AB于點E,過點D作DFJ_AB,垂

足為F,連接DE.求證：直線DF與。0相切.

B

證明：連接OD.；AB=AC,；.NB=NC.

VOD=OC,AZODC=ZC.

.../ODC=NB".OD〃AB.

VDF1AB,AODIDF.

又?.?點D在。O上，

直線DF與。O相切.

05課堂小結(jié)

1.有圓的切線時，常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑；

2.“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”——判定直線與圓相切.

①當直線與圓有公共點時，只需“連半徑、證垂直”即可；

②當已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時，常運用“d=r”進行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線

的垂線，證明垂線段的長等于半徑.

第3課時切線長定理

01教學目標

1.理解并掌握切線長定理，能熟練運用所學定理來解答問題.

2.了解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的特點，會畫三角形的內(nèi)切圓.

02預習反饋

閱讀教材P99?100,完成下列知識探究.

1.經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長叫做這點到圓的切線長.圖中的切線長為PB.

2.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等,圖中相等的線段有PA,PB,這一點和

圓心的連線壬分兩條切線的夾角，圖中相等的角為/APO=/BPO.

3.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

4.三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心,它到三邊的距離相等.

03名校講壇

例（教材P100例2）如圖，ZVIBC的內(nèi)切圓。。與BC,CA,4B分別相切于點E,F,且AB=9,BC=14,

CA=13.求AF,BD,CE的長.

【思路點撥】根據(jù)切線長定理得AE=4尸，BF=BD,CE=CD,設(shè)用含x的代數(shù)式表示出B。，CD,

根據(jù)BC=14列出方程即可.

【解答】設(shè)AF=x,則4E=x,

CD=CE=AC~AE=13-x,BD=BF=AB~AF=9~x.

由BD+CD=BC,可得(13—x)+(9—x)=14.解得x=4.

因此AF=4,BD=5,CE=9.

【跟蹤訓練】（《名校課堂》24.2.2第3課時習題）如圖，已知（DO是RtZ\A8C（/C=90。）的內(nèi)切圓，切點分別

為D,E,F.

（1）求證：四邊形OZ5CE是正方形；

（2）設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,求。。的半徑r.

A

it--fo