小升初典型奧數(shù)：環(huán)形路線問題 (講義)-2023-2024學(xué)年六年級下冊

環(huán)形路線問題環(huán)形路線問題【知識精講+典型例題+高頻真題+答案解析】編者的話：同學(xué)們，恭喜你已經(jīng)開啟了奧數(shù)思維拓展的求知之旅，相信你已經(jīng)正確規(guī)劃了自己的學(xué)習(xí)任務(wù)，本套資料為小升初思維拓展、分班考、擇?？级O(shè)計，針對小升初的高頻知識點進行全面精講，易錯點逐個分解，強化練習(xí)高頻易錯真題，答案解析非常通俗易懂，可助你輕松掌握、理解、運用該知識點解決問題！2024年10月編者的話：同學(xué)們，恭喜你已經(jīng)開啟了奧數(shù)思維拓展的求知之旅，相信你已經(jīng)正確規(guī)劃了自己的學(xué)習(xí)任務(wù)，本套資料為小升初思維拓展、分班考、擇?？级O(shè)計，針對小升初的高頻知識點進行全面精講，易錯點逐個分解，強化練習(xí)高頻易錯真題，答案解析非常通俗易懂，可助你輕松掌握、理解、運用該知識點解決問題！2024年10月目錄導(dǎo)航資料說明第一部分：知識精講：把握知識要點，掌握方法技巧，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維。第二部分：典型例題：選題典型、高頻易錯、考試母題，具有理解一題，掌握一類的優(yōu)勢。第三部分：高頻真題：精選近兩年統(tǒng)考真題，助您學(xué)習(xí)有方向，做好題，達到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重點、難點題精細化解析，猶如名師講解，可以輕松理解。第一部分第一部分知識精講知識清單+方法技巧知識清單+方法技巧1．環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇時間就相遇一次）；第幾次相遇就合走幾圈；如果是同向而行，則每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及時間就追上一次）．第幾次追上就多跑幾圈．環(huán)形跑道：同相向而行的等量關(guān)系：乙程﹣甲程＝跑道長，背向而行的等量關(guān)系：乙程+甲程＝跑道長．2．解題方法：（1）審題：看題目有幾個人或物參與；看題目時間：“再過多長時間”就是從此時開始計時，“多長時間后”就是從開始計時；看地點是指是同地還是兩地甚至更多．看方向是同向、背向還是相向；看事件指的是結(jié)果是相遇還是追及相遇問題中一個重要的環(huán)節(jié)是確定相遇地點，準確找到相遇地點對我們解題有很大幫助，一些是題目中直接給出在哪里相遇，有些則需要我們自己根據(jù)兩人速度來判斷．追擊問題中一個重要環(huán)節(jié)就是確定追上地點，從而找到路程差．比如“用10秒鐘快比慢多跑100米”我們立刻知道快慢的速度差．這個是追擊問題經(jīng)常用到的，通過路程差求速度差（2）簡單題利用公式（3）復(fù)雜題，尤其是多人多次相遇，一定要畫路徑圖，即怎么走的線路畫出來．相遇問題就找路程和，追擊問題就找路程差．第二部分第二部分典型例題例題1：甲、乙兩人在跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長米，甲每秒鐘跑米，乙每秒鐘跑米。（1）如果甲、乙兩人在跑道上相距米處同時反向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？（2）如果甲在乙前面米處同時同向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？【答案】（1）28秒；（2）196秒【分析】（1）相遇時間＝（跑道一圈的長度－8米）÷（甲的速度＋乙的速度）；（2）求兩人首次相遇就是求甲追上乙的時間，從開始到相遇甲比乙多跑了（400－8）米，追及時間＝路程差÷（甲的速度－乙的速度）；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）（400－8）÷（6＋8）＝392÷14＝28（秒）答：經(jīng)過28秒兩人首次相遇。（2）（400－8）÷（8－6）＝392÷2＝196（秒）答：經(jīng)過196秒兩人首次相遇?！军c睛】掌握環(huán)形中相遇和追及問題的解題方法是解答題目的關(guān)鍵。例題2：有甲、乙、丙3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，丙每分鐘行走70米。如果3個人同時同向，從同地出發(fā)，沿周長是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之后3人又可以相聚？【答案】30分鐘【分析】由題意可知，相遇時走的路程差是圓形跑道的整數(shù)倍，甲、乙、丙三人兩兩相遇時的路程差都是300米，根據(jù)“路程差÷速度差”計算甲乙、甲丙、乙丙分別經(jīng)過多少分鐘相遇，再求出它們的最小公倍數(shù)即可。【詳解】甲乙第二次相遇時經(jīng)過的時間：300÷（120－100）＝300÷20＝15（分鐘）甲丙第二次相遇時經(jīng)過的時間：300÷（120－70）＝300÷50＝6（分鐘）乙丙第二次相遇時經(jīng)過的時間：300÷（100－70）＝300÷30＝10（分鐘）2×3×5＝30（分鐘）答：30分鐘之后3人又可以相聚。【點睛】本題主要考查環(huán)形路線中的追及問題和最小公倍數(shù)的應(yīng)用，靈活運用追及問題的計算公式是解答題目的關(guān)鍵。例題3：小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分．（1）小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？【答案】（1）220米/分（2）5.5圈【詳解】（1）75秒-1.25分兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長）.因此需要的時間是500÷（220-180）＝12.5（分）220×12.5÷500＝5.5（圈）答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例題4：一個圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點，同時出發(fā)同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發(fā)點30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原來的速度是多少？【答案】3.75厘米/秒【詳解】根據(jù)題意，甲共行了70－30=40（厘米），所需的時間是40÷4=10（秒）．在10秒內(nèi)乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不難求出乙原有的速度．解：因為，甲共行了70－30=40（厘米），所需的時間是40÷4=10（秒）．10秒內(nèi)乙爬行：15+30=45（厘米），假設(shè)10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+45÷2=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.5÷10=3.75（厘米/秒）．第三部分第三部分高頻真題1．圓形跑道上等距插著2015面旗子，甲與乙同時同向從某個旗子出發(fā)，當甲與乙再次同時回到出發(fā)點時，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始點旗子位置，則甲正好在旗子位置追上乙多少次？2．甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈時速度比第一圈提高了1/3；乙跑第二圈時速度提高了1/5．已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長多少米?3．三個環(huán)行跑道如圖排列，每個環(huán)行跑道周長為210厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從、兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20厘米和每分鐘l5厘米，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米?4．兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑．甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過45分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？5．如圖，在400米的環(huán)形跑道上，A，B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A，B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么甲追上乙需要時間是多少秒？6．繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行．小王以每小時4千米的速度每走1小時后休息5分鐘，小張以每小時6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘．兩人出發(fā)后經(jīng)過多長時間第一次相遇？7．甲、乙兩人在400米圓形跑道上進行10000米比賽，兩人從起點同時同向出發(fā)，開始時甲的速度為每秒8米，乙的速度為每秒6米。當甲每次從后面追上乙時，甲的速度就減少1米/秒，而乙的速度增加0.5米/秒，直到乙比甲快。請問：領(lǐng)先者到達終點時，另一人距終點多少米？8．甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒，結(jié)果都用24秒同時回到原地。求甲原來的速度。9．甲用45秒可繞一環(huán)行跑道跑一圈，乙與甲同時從同地反向跑，每隔15秒，與甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？10．甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時從同一點出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時5.4千米，乙速度是每小時4.2千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個小時后甲和丙相遇，在過5分鐘，乙與丙相遇．那么繞湖一周的行程是多少？11．小張和小王各以一定速度，在周長為米的環(huán)形跑道上跑步．小王的速度是米/分．⑴小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，分鐘后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？⑵小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？12．如圖，一個長方形的房屋長13米，寬8米．甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3米，乙每秒鐘行2米.問:經(jīng)過多長時間甲第一次看見乙?13．一條環(huán)形跑道長400米，小青每分鐘跑260米，小蘭每分鐘跑210米，兩人同時出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇14．有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行．甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米．在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇．問：這個花圃的周長是多少米？15．在一條長400米的環(huán)形跑道上，正在進行一場5000米的長跑比賽．1號隊員的平均跑步速度是每秒6米，2號隊員平均每分鐘跑0．8圈．當1號隊員與2號隊員在比賽開始一段時間后又并肩而跑的時候，l號隊員距離終點還有多遠？16．甲、乙兩名同學(xué)在周長為米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑米，乙每秒鐘跑米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？17．在300米的環(huán)形跑道上，田奇和王強同學(xué)同時同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？18．已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同。而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā)。問當它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程？19．在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次，問兩人各跑一圈需要幾分鐘？20．小明和小軍在學(xué)校環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一點出發(fā)，反向而行，小明每秒跑4米，小軍每秒跑6米，經(jīng)過60秒兩人相遇，跑道的周長是多少米？21．下圖中有兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米．兩只甲蟲同時從A點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行．問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠？22．一條環(huán)形跑道長400米，甲騎自行車每分鐘騎450米，乙跑步每分鐘250米，兩人同時從同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？23．甲、乙二人在操場的400米跑道上練習(xí)競走，兩人同時出發(fā)，出發(fā)時乙在前，甲在后，出發(fā)后8分鐘甲、乙第一次相遇，出發(fā)后的24分鐘時甲、乙第二次相遇．假設(shè)兩人的速度保持不變，你知道出發(fā)時乙在甲前多少米嗎？24．小胖和小巧每天堅持到學(xué)校進行晨跑，在環(huán)形跑道上，兩人從同一地點出發(fā)，沿著相反方向跑步，小胖每秒跑2米，小巧每秒跑3米，經(jīng)過1分鐘20秒兩人相遇，學(xué)校跑道多少米？25．丁丁和麗麗從圓形街心花園的同一地點出發(fā)，同向而行，20分鐘后兩人再一次相遇。麗麗每分鐘走70米，丁丁每分鐘走85.7米。這個圓形街心花園的占地面積是多少？26．甲、乙兩車同時從同一點出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛．甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米．一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上一車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點距離有多少米？27．如圖所示，大圈是400米跑道，由到的跑道長是200米，直線距離是50米．父子倆同時從點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到點便沿直線跑．父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒．如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親相遇？28．運動員小明在環(huán)形公路上練長跑，小明離開教練一小時后，教練才想起小明忘帶了記時表，立刻騎上自行車送表給小明，已知環(huán)形公路全長35千米，小明每小時跑15千米，教練騎自行車的速度是每小時25千米，那么教練送表給小明至少需要多少小時？29．小新和正南在操場上比賽跑步，小新每分鐘跑250米，正南每分鐘跑210米，一圈跑道長800米，他們同時從起跑點出發(fā)，那么小新第三次超過正南需要多少分鐘？30．兩人在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇。31．幸福村小學(xué)有一條200米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6米，晶晶每秒鐘跑4米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第2次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？32．一個圓形操場跑道的周長是500米，兩個學(xué)生同時同地背向而行。黃鶯每分鐘走66米，麻雀每分鐘走59米。經(jīng)過幾分鐘才能相遇?33．甲、乙兩人沿環(huán)形跑道相對運動，從相距200米的兩點出發(fā)，如果沿小弧運動，甲與乙在10秒后相遇；如果沿大弧運動，經(jīng)過15秒后相遇．當甲跑完環(huán)形跑道一圈時，乙只跑了125米，求環(huán)形跑道的周長及甲、乙兩人的速度．34．甲、乙兩名同學(xué)在周長為米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑米，乙每秒鐘跑米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？35．一個圓的周長為1.44米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)，沿圓周相向爬行．1分鐘后它們都調(diào)頭而行，再過3分鐘，它們又調(diào)頭爬行，依次按照1、3、5、7、…（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭爬行．這兩只螞蟻每分鐘分別爬5.5厘米和3.5厘米，那么經(jīng)過多長的時間它們初次相遇？36．甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā)，背向而行.現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是70分鐘，如果在出發(fā)后45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多少分鐘?37．在400米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？參考答案：1．5次【詳解】設(shè)每兩面旗子間距離為1，即跑道周長為．因為，設(shè)，，甲要追上乙則需比乙多跑圈，，，即甲追上乙時所花時間，則甲追上乙時，所走路程為；要恰好在旗子位置追上，則所走路程一定為整數(shù)，即為偶數(shù)，所以（最多多跑10圈）；綜上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．2．400【詳解】設(shè)甲跑第一圈的速度為3，那么乙跑第一圈的速度為2，甲跑第二圈的速度為4，乙跑第二圈的速度為.如下圖：第一次相遇地點逆時針方向距出發(fā)點的跑道長度．有甲回到出發(fā)點時，乙才跑了的跑道長度.在乙接下來跑了跑道的距離時，甲以“4”的速度跑了圈．所以還剩下的跑道長度，甲以4的速度，乙以的速度相對而跑，所以乙跑了圈.也就是第二次相遇點逆時針方向距出發(fā)點圈．即第一次相遇點與第二次相遇點相差圈，所以，這條橢圓形跑道的長度為米．3．300【詳解】根據(jù)題意，甲爬蟲爬完半圈需要分鐘，乙爬蟲爬完半圈需要分鐘．由于甲第一次爬到1、2之間要分鐘，第一次爬到2、3之間要分鐘，乙第一次爬到2、3之間要7分鐘，所以第一次相遇的地點在2號環(huán)形跑道的上半圈處．由于甲第一次爬到2、3之間要分鐘，第二次爬到1、2之間要分鐘，乙第一次爬到1、2之間要14分鐘，所以第二次相遇的地點在2號環(huán)形跑道的下半圈處．當兩只爬蟲都爬了14分鐘時，甲爬蟲共爬了米，(米)，所以甲在距1、2交點35米處，乙在1、2交點上，還需要(分鐘)相遇，所以第二次相遇時，兩只爬蟲爬了分鐘．所以甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了厘米．4．5【詳解】在封閉的環(huán)形道上同向運動屬追及問題，反向運動屬相遇問題．同地出發(fā)，其實追及路程或相隔距離就是環(huán)形道一周的長．這道題的解題關(guān)鍵就是先求出環(huán)形道一周的長度．環(huán)形道一周的長度可根據(jù)兩人同向出發(fā)，45分鐘后甲追上乙，由追及問題，兩人速度差為：(米/分)，所以路程差為：(米)，即環(huán)形道一圈的長度為2250米．所以反向出發(fā)的相遇時間為：(分鐘)．5．140秒【分析】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的時間為100÷（5－4）＝100（秒）；此時甲跑了100×5＝500（米），乙跑了100×4＝400（米）；而實際上甲跑500米，在前4個100米處都要停10秒，所以一共停了4個10秒，則跑500米所需的時間為100＋4×10＝140（秒），所以140秒時甲跑了500米，即是從A點跑了一圈多100米，正好在B點上；而乙跑400米，在前3個100米處都停10秒，一共停了3個10秒，則跑400米所需的時間為100＋3×10＝130（秒），所以130時乙跑了400米，即從B點跑了一圈，正好在B點上；所以，甲追上乙需要時間是140秒。據(jù)此解答?！驹斀狻?00÷（5－4）＝100×1＝100（秒）100×5＝500（米）（500－100）÷100＝400÷100＝4（次）100＋4×10＝100＋40＝140（秒）答：甲追上乙需要時間是140秒。【點睛】本題主要考查環(huán)形跑道追擊問題，要利用追擊路程÷速度差＝追擊時間，求出正常情況不停下的追擊時間，再求到實際追擊的路程，找到停下的時間，最后與正常追擊的時間相加即可。6．2小時40分【分析】根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)，每1小時5分，小王走4千米，休息5分鐘，每1小時小張走6×=5（千米），休息10分鐘，而湖一周的長度是24千米，很容易估算出兩人相遇的時間應(yīng)該在2個多小時．這樣在兩輪休息后不用休息兩人就可以相遇．因此只要求出兩輪休息后到相遇所用的時間，就可以使問題得以解決．【詳解】解：到第二輪休息時，也就是2小時10分，小王共走了4×2=8（千米），而小張走了5×2+6×=11（千米）．這時兩人還相距24－（8＋11）=5（千米）．由于從此時到相遇已經(jīng)不需要休息，因此，共同走完這5千米兩人共需的時間是：5÷（4＋6）=0.5（時）=30（分）．所以，他們第一次相遇共需2小時10分＋30分=2小時40分．7．36米?！痉治觥恳箢I(lǐng)先者到達終點時，另一人距終點多少米，應(yīng)先求得另一人已經(jīng)跑了多少米，再求領(lǐng)先者到達終點時的時間和另一人此時的速度，要求領(lǐng)先者到到終點的時間，應(yīng)求出他距終點的路程和此時的速度，再依據(jù)數(shù)量關(guān)系即可列式計算?！驹斀狻考鬃芬?圈時，甲跑了8×[400÷（8﹣6）]＝8×200＝1600（米），此時甲、乙的速度分別變?yōu)?米/秒和5.5米/秒。甲追上乙2圈時，甲跑了1600＋6×[400÷（6﹣5.5）]＝1600＋6×800＝6400（米），此時甲、乙的速度分別變?yōu)?米/秒和5米/秒。乙第一次追上甲時，甲跑了6400＋4×[400÷（5﹣4）]＝6400＋1600＝8000（米），乙跑了8000﹣400＝7600（米）。此時，甲、乙的速度分別變?yōu)?.5米/秒和5.5米/秒。乙跑到終點還需（10000﹣7600）÷5.5＝2400÷5.5＝（秒），乙到達終點時，甲距終點（10000﹣8000）﹣4.5×＝2000﹣1963＝36（米）。答：領(lǐng)先者到達終點時，另一人距終點36米。【點睛】此題主要考查環(huán)形跑道的追及問題，關(guān)鍵是弄明白隨著速度的變化，快到終點時乙的速度要快一些。8．米/秒【分析】因為相遇前后甲乙的速度和沒有改變，如果相遇后兩人合跑一圈用24秒，則相遇前兩人合跑一圈也用24秒。以甲為研究對象，甲以原速V跑了24秒的路程與以（V＋2）跑了24秒的路程之和等于400米，據(jù)此解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)甲的原有速度為V米/秒24V＋24（V＋2）＝40024V＋24V＋48＝40048V＝400－4848V＝352V＝352÷48V＝答：甲原來的速度是米/秒?！军c睛】發(fā)現(xiàn)相遇前后甲乙速度和不變，是解答本題的關(guān)鍵。9．22.5秒【分析】由于乙與甲同時從同地反向跑，甲用45秒可繞環(huán)行跑道跑一圈，15秒相遇時，二人共同跑完一圈．乙15秒所跑的路程就相當于甲45－15=30（秒）所跑的路程，因此，二人的速度關(guān)系就比較容易確定了．【詳解】解：由于同一段路程所用時間越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：（45－15）÷15=2（倍），由此，可以判斷出乙跑一圈所用的時間是甲的一半．所以，乙跑完一圈用：45÷2=22.5（秒）．【點睛】合理的轉(zhuǎn)化問題，抓住甲、乙運動中的關(guān)系，是這道題目的“突破口”．10．4.2【詳解】30分鐘乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有題意之乙和丙走這0.6千米用了5分鐘，因為乙和丙從出發(fā)到相遇共用35分鐘，所以繞湖一周的行程為：35÷5×0.6＝4.2（千米）．11．3003【詳解】⑴兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程．小張的速度是（米/分）．⑵在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是：（分）．（圈）．12．16【詳解】開始時，甲在順時針方向距乙8+13+8=29米．因為一邊最長為13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．甲追上乙16米所需時間為16÷(3-2)=16秒，此時甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右圖所示：顯然甲還是看不見乙，但是因為甲的速度比乙快，所以甲能在乙離開上面的那條邊之前到達上面的邊，從而看見乙．而甲要到達上面的邊，需再跑2米，所需時間為2÷3=秒．所以經(jīng)過16+=16秒后甲第一次看見乙.13．8分鐘【詳解】小青每分鐘比小蘭多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分鐘14．8892米【詳解】第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）第一個追及：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追及過程，可求出甲、乙相遇的時間為228÷（38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）×114=8892（米）【點睛】這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追及，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間．把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰．15．1400米【詳解】先統(tǒng)一兩個隊員跑步的速度單位：l號隊員：6×60=360（米／分鐘）；2號隊員：400×0．8=320（米／分鐘）追及時間：400÷（360-320）=10（分鐘）此時1號隊員跑了：360×10=3600（米）距離終點：5000-3600=1400（米）答：l號隊員距終點還有1400米．16．100【詳解】從開始到兩人第十次相遇的這段時間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍，為米，因為甲的速度為每秒鐘跑米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時間內(nèi)甲共行了米，也就是甲最后一次離開出發(fā)點繼續(xù)行了200米，可知甲還需行米才能回到出發(fā)點．17．4米/秒

6米/秒【詳解】同向而跑，這實質(zhì)是快追慢．起跑后，由于兩人速度的差異，造成兩人路程上的差異，隨著時間的增長，兩人間的距離不斷拉大，到兩人相距環(huán)形跑道的半圈時，相距最大．接著，兩人的距離又逐漸縮小，直到快的追上慢的，此時快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所謂的相遇問題，數(shù)量關(guān)系為：路程和速度和相遇時間．同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，兩個人的速度和為：（米/秒），背向而跑則半分鐘即30秒相遇，所以兩個人的速度差為：（米/秒）.兩人的速度分別為：(米/秒)，(米/秒)18．貓跑8437.5米，狗跑23437.5米，兔跑16537.5米【分析】由題意，根據(jù)路程、時間之間的關(guān)系，可以求得貓與狗的速度之比為9∶25，貓與兔的速度之比為25∶49。設(shè)單位時間內(nèi)貓跑1米，則狗跑米，兔跑米；據(jù)此可求狗追上貓一圈需要的時間以及兔追上貓一圈需要的時間；進而求出貓、狗、兔再次相遇的時間，則各自跑的路程可求?！驹斀狻坑深}意可知，貓與狗的速度之比為9∶25，貓與兔的速度之比為25∶49。設(shè)單位時間內(nèi)貓跑1米，則狗跑米，兔跑米；狗追上貓一圈需300÷（－1）＝（單位時間）兔追上貓一圈需300÷（－1）＝（單位時間）貓、狗、兔再次相遇的時間，應(yīng)既是的整數(shù)倍，又是的整數(shù)倍。與的最小公倍數(shù)等于兩個分數(shù)中，分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù)，即[，]＝＝8437.5上式表明，經(jīng)過8437.5個單位時間，貓、狗、兔第1次相遇。此時，貓跑了8437.5米，狗跑了：8437.5×＝23437.5（米），兔跑了8437.5×＝16537.5（米）。答：當它們出發(fā)后第一次相遇時，貓跑了8437.5米，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米?！军c睛】首先根據(jù)它們的速度比求出狗追上貓一圈、兔追上貓一圈所需的時間單位是完成本題的關(guān)鍵。19．6分鐘

12分鐘【詳解】把這個跑道的長度看做整體“1”，則較快的速度為：（＋）÷2＝÷2＝較慢的速度是：所以跑完一圈較快的需要時間：1÷＝6（分鐘）較慢的跑完一圈需要時間：1÷＝12（分鐘）答：各跑一圈時，較快的需要6分鐘，較慢的需要12分鐘。20．600米；600【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系式：路程＝速度和×相遇時間，用小明每秒跑的米數(shù)加上小軍每秒跑的米數(shù)，即為兩人每秒跑的米數(shù)和，再用兩人每秒跑的米數(shù)和乘相遇的時間，即為跑道的周長?！驹斀狻浚?＋6）×60＝10×60＝600（米）答：跑道的周長是600米。21．2【詳解】我們知道，大小圓只有一個公共點(內(nèi)切)，而在圓上最遠的兩點為直徑兩端，所以當一只甲蟲在A點，另一只在過A的直徑另一直徑端點B，所以在小圓甲蟲跑了n圈，在大圓甲蟲跑了m＋圈；于是小圓甲蟲跑了30n，大圓甲蟲跑了48(m＋)＝48m＋24．因為速度相同，所以相同時內(nèi)路程相同，起點相同，所以30n＝48m＋24；即5n＝8m＋4，有不定方城知識，解出有n＝4，m＝2，所以小甲蟲跑了2圈后，大小甲蟲相距最遠．22．2【詳解】(分鐘)．23．200米【分析】題目中包含有兩個追及問題．第一個追及問題發(fā)生在從出發(fā)到甲追上乙，即兩人第一次相遇，在這個過程中追及時間為8分鐘，其他兩個量都沒有給出．在第二個追及問題中應(yīng)注意到環(huán)形跑道的特殊性，即當兩人同時出發(fā)到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一圈，因此路程差為400米，追及時間為（24-8）分鐘．則速度差可求，再把這個速度差代回到第一個問題中，則可求出第一個追及問題中的路程差．【詳解】甲、乙的速度差：400÷（24-8）=25（米／分鐘）甲、乙開始時相距：25×8=200（米）答：出發(fā)時乙在甲前200米．【點睛】在環(huán)形跑道中的追及問題，路程差的計算不同于在直道上的追及問題，它是與跑道周長的倍數(shù)相關(guān)的，同一地點出發(fā)后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周長，第二次相遇則為2倍的跑道周長．24．400米【詳解】1分20秒＝80秒80×（2＋3）＝400（米）答：學(xué)校跑道400米。25．7850平方米【分析】同向而行，20分鐘后兩人再一次相遇可知：第一次相遇丁丁比麗麗多走了一圈，這一圈剛好是一個圓形，利用路程＝速度差×?xí)r間求出周長，再通過半徑＝圓的周長÷π÷2求出半徑，最后通過圓的面積＝π×半徑×半徑來求出圓形街心花園的占地面積?！驹斀狻浚?5.7－70）×20＝15.7×20＝314（米）圓的半徑：314÷3.14÷2＝100÷2＝50（米）圓形街心花園的占地面積：3.14×50×50＝3.14×2500＝7850（平方米）答：這個圓形街心花園的占地面積是7850平方米?！军c睛】此題考查的追趕問題，熟練掌握速度差×?xí)r間＝路程以及圓的周長和面積公式是解題的關(guān)鍵。26．3000【詳解】首先是一個相遇過程，相遇時間：小時，相遇地點距離點：千米．然后乙車調(diào)頭，成為追及過程，追及時間：小時，乙車在此過程中走的路程：千米，即5圈余3千米，那么這時距離點千米．甲車調(diào)頭后又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離點千米，而第4次相遇時兩車又重新回到了點，并且行駛的方向與開始相同．所以，第8次相遇時兩車肯定還是相遇在點，又，所以第11次相遇的地點與第3次相遇的地點是相同的，距離點是3000米．27．3【詳解】首先我們要注意到：父親和兒子只能在由沿逆時針方向到這一段跑道上相遇．而且兒子比父親跑得快，所以相遇時一定是兒子從后面追上父親．兒子跑一圈所用的時間是（秒），也就是說，兒子每過76秒到達點一次．同樣道理，父親每過50秒到達點一次．在從到逆時針方向的一段跑道上，兒子要跑（秒），父親要跑（秒）．因此，只要在父親到達點后的2秒之內(nèi)，兒子也到達點，兒子就能從后面追上父親．于是，我們需要找76的一個整數(shù)倍（這個倍數(shù)是父子相遇時兒子跑完的圈數(shù)），它比50的一個整數(shù)倍大，但至多大2．換句話說，要找76的一個倍數(shù)，它除以50的余數(shù)在0到2之間．這試一下就可以了：余26，余2，正合我們的要求．因此，在父子第一次相遇時，兒子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈．28．0.5小時【詳解】同向而行時，需要：15×1÷（25-15）=15×1÷10=1.5（小時）相向而行時，需要：（35-15×1）÷（15+25）=（35-15）÷40=20÷40=0.5（小時）0.5＜1.5答：教練送表給小明至少需要0.5小時．【點睛】解題關(guān)鍵是