2023-2024學(xué)年北京東城區(qū)景山學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京景山學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)注意事項（1）請用藍(lán)色或黑色圓珠筆、鋼筆或簽字筆答卷，不得用鉛筆或紅筆答卷.（2）認(rèn)真審題，字跡工整，卷面整潔.（3）本試卷共5頁，共三道大題，21道小題.考試時間120分鐘.（4）請將選擇題的答案填涂在機(jī)讀卡上，其余試題答案填寫在答題紙上，在試卷上作答無效.一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分），B=，則AB等于（）A=xx11.已知集合?2,?A.B.C.D.D.D.2.若復(fù)數(shù)ziz2i，則=?|z=（）A.1B.2C.533.下列函數(shù)中，在定義域上為增函數(shù)且為奇函數(shù)的是（）y=x+2y=x+x3y=sinxy=2xA.B.C.(,3).若a//b，則m==（4.已知向量a=(?，b）323??A.6B.6C.D.2且圓心在直線3x+y?5=05.經(jīng)過原點和點上的圓的方程為（）(x?2+(y+10)2=125B.(x?(x+D.2+(y?2)2=25=5A.C.(x?6.在中，“A3是“A”的（2+y2=92+(y?2)2π）3A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件111，b=，c=sin，則（）7.已知a=e222A.abcB.bcaC.cabD.acby=+1與圓x2?4x+y2=0相交于M，N兩點，且|MN|，那么實數(shù)k的取值范圍8.已知直線是（）1444A.4B.0C.kD.?或k333ππ?,π4ππ=?f?，則f(x)=x+0)f=f9.已知函數(shù)在上單調(diào)，且的取36633值不可能為（）375957A.B.C.D.5ABCD?ABCD的表面上一個動點，則以下說法中不正確的是110.如圖，點P是棱長為2的正方體111（）1BP?AADD的體積不變11A.當(dāng)P在平面上運動時，四棱錐1ππ32B.當(dāng)P在線段上運動時，1PAC與所成角的取值范圍是,11ABABCDBCD上運動時，不存在點P滿足PF//平面11C.若F是的中點，點P在底面1145所成的角為D.若點P在底面ABCD上運動，則使直線AP1與平面ABCD的點P的軌跡為圓上的一段弧二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）函數(shù)f(x)=3xln(x的定義域是_________．?+?x22y2212.已知橢圓C:+=ab0)的兩個焦點分別為F1F，點P在C，上，且2abPF+PF=3FF，則橢圓C的離心率為__________.1212的前項和為，且Sn=，==3，則ann+22nS215=Sm30，則13.已知數(shù)列__________nm的最小值為__________.?x+a,x1()=fx，若f(x)的值域為(?,+)，則a的取值范圍是__________.14.設(shè)函數(shù)?(?)2+x1ax2l:x+y?2=0l:x?2y+1=0lPPxx15.已知直線與相交于點P，直線與軸交于點，過點作軸的12111垂線交直線l2于點1，過點Q作y軸的垂線交直線于點，過點lPP2x作軸的工線交直線l于點2112(，…，記點n)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列QP1，QP2，QPnN*，…，這樣一直作下去，可得到一系列點，212，給出下列四個結(jié)論：xn1324①點Q,②數(shù)列單調(diào)遞減；x2n2；n1142=2xnS2Sn1+Sn=4n+3③；的前項和滿足：.nnn其中所有正確結(jié)論的序號是__________.三、解答題（共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.已知中，a（1）求B的大??；2+c2=b+2ac.2（2）若c積.=3+1，再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的面13條件①sinA=；條件②b=2；條件③A=.22注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.π317.已知函數(shù)f(x)23sinxx2sin=+2xa，且+f=3.af(x)的最小正周期；（1）求的值及x[0,m]，且f(x)0，求實數(shù)m的最大值.（2）若AA1⊥是等腰直角三角形，18.如圖，在三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別是棱平面，AA1=AB=AC=2BC，，BC的中點.11（1）證明：AD//平面CEF；1（2）求平面ADE與平面CEF1夾角的余弦值.x22y2219.已知橢圓C:+=ab0)的左、右頂點分別為A1，A2B(0,2)，焦距為25，點在橢圓上.ab（1）求C的方程；P0)的任意直線與橢圓CMNA1A2AM的斜率為，直k（2）過點交于，（不同于，）兩點，直線112Nkk=k1線的斜率為.試問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.221f(x)=ln(ax)?x3(a0).在點20.已知函數(shù)31122（1）當(dāng)a2時，求曲線=y=f(x),f處的切線方程；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）當(dāng)a=1時，設(shè)g(x)=f(x)+t，若g(x)t有兩個不同的零點，求參數(shù)的取值范圍.是無窮數(shù)列，=，=，且對于中任意兩項，，在中都存在一項aiaji)ana1aa2ba21.已知nnk(jk2)，使得akai.=?j（1）若a（2）若a=3，b=5，求a；3，求證：數(shù)列中有無窮多項為0；an（3）若ab，求數(shù)列a的通項公式.n參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.【答案】A【分析】應(yīng)用集合的交運算求結(jié)果.?xx1{{.=?A【詳解】由題設(shè)故選：A2.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則和復(fù)數(shù)模的計算公式進(jìn)行求解即可.2?i(2?i)i+1【詳解】iz=2?iz====?1?，iii1所以|z=故選：D(2+(2)=5，23.【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)及簡單冪函數(shù)的性質(zhì)及奇偶性定義判斷各項函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.y=f(x)=x+2f(?x)=?x+2?f(x)【詳解】A：由在定義域R上遞增，但，不滿足；y=f(x)=x+x3在定義域R上遞增，且f(?x)=?x?x3=?f(x)，滿足；B：由C：由ysinx在定義域R上不為增函數(shù)，不滿足；=y=f(x)=2x在定義域R上遞增，但f(x)2?=?x?f(x)，不滿足D：由.故選：B4.【答案】B【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.m?23=m=?6.【詳解】由題設(shè)1故選：B5.【答案】A【分析】直接驗證圓心是否在已知直線上以及圓是否過原點與點．(5,?10)2)在已知直線上，CD的圓心不在已知直線上，【詳解】由已知只有選項A中圓心和B中圓心，代入原點和點故選：A．的坐標(biāo)得，只有A中圓過原點和點6.【答案】A【分析】由三角形內(nèi)角的性質(zhì)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)及充分、必要性定義判斷推出關(guān)系.πππAπ)AAA03或或正切3，則，則A【詳解】由題設(shè)，若A；若323值不存在；所以“A故選：Aπ3”是“A”的充分不必要條件.37.【答案】D0,1【分析】利用中間值可以比較三者的大小關(guān)系.111()，【詳解】因為=1，a=e2e0b=ln1=0c=sin，22所以acb故選：D.8.【答案】D【分析】利用弦長公式，建立關(guān)于k的不等式，直接求解.2k+1(?)2+y2=4，圓心(0)到直線y=+1的距離d=【詳解】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2，2k+12+2k1=24?k23，+124?k0.解得：3故選：D9.【答案】Bππ4π4π【分析】由已知易得Tπ、f(?)=012，結(jié)合f=fx=不，利用正弦型函數(shù)的圖象討論633同對應(yīng)點求的取值，即可得答案.ππ?,π6π=?f?Tπππf?(?)=Tπ，【詳解】由f(x)在上單調(diào)，，故3362632ππ?+ππ4π4ππf(?)=0f=fx=對應(yīng)為點C,,D,E四而326，則，又，如下圖依次討論=?1263312種情況，4ππTπ35?(?)==，則=，滿足Tπ；若若3324ππ12?+=T=，則=，滿足Tπ；3674ππ3ππ33π93π?(?)=T=12，則=，滿足Tπ；由36，若=445244ππ4π247?=T=，則=，不滿足Tπ，其它情況均不符合；若36綜上，B不可能，A、C、D可能.故選：B10.【答案】C【分析】根據(jù)棱錐體積公式即判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求線線角、線面角，及利用法向量判斷線面關(guān)系，即可判斷BCD.1BDDP?AADD的距離恒為2，故四棱錐的體積不變，11【詳解】當(dāng)P在平面A對；上運動時，P到111D(0,2),P(x,2?x,A(2,C(0,2)如下圖示空間直角坐標(biāo)系，，111DP=(x,2?x,AC=(0)x[0,2]所以且，111π21PAC1所成角為設(shè)與且，則14|1?x|22x+(2?x)|1?x|cos|DP,AC==111，22+4(x?+321cos=1x=1cos=0；3x]當(dāng)x1時，且，可得；當(dāng)時，1+2(x?21ππ32cos],所以，故，B對；2D(0,2),C(0,0),B(2,2),(2,0),C(0,2)如下圖示空間直角坐標(biāo)系，，111所以DC=2),CB=(2,2),AC=(2)，則ACDC=ACCB=0，1111111所以AC⊥DC,AC⊥CB，又C且DC,CBCB1D面，1111111所以1⊥面CB11，即1是面CB1D的一個法向量，1F2),P(x,y,0)，則FP(xy??2)，=?由BCDFP1=?2(x?2)+2(y??4=0x?y+1=0，即，若PF//平面，則11x?y+1=0BCD有公共點，即存在點P滿足PF//平面，C錯；11顯然，直線若點P在底面ABCD與底面ABCDABCDP(x,y,0)A(2,AP=(x?y,2)，則，1上運動，設(shè)，，則直線21AP1ABCD45所成的角為，又面的一個法向量m=(0,與平面2所以|,1P|=，整理得(x2)y24，?+=2|m||1P|?2+2+42(x2)y所以P的軌跡是以故選：C(2,0)為圓心，2為半徑的圓，其在底面ABCD上軌跡為圓上的一段弧，D對.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）(3【答案】【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于零，和對數(shù)的真數(shù)大于零即可求出答案．3?x，解得1x3，【詳解】解：由題意得x?1∴函數(shù)f(x)的定義域為3，故答案為：3．112.【答案】3+=2aFF=【分析】根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)有，，結(jié)合已知條件即可求離心率.1212+=2aFF=PF+PF=3FF，1212【詳解】由，，又1212c132a=6ce==.所以a1故答案為：313.【答案】①.4②.8a,aa}的奇數(shù)與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的前幾n【分析】求出，再由遞推關(guān)系得出數(shù)列12項，利用{Sn}是遞增數(shù)列，求出和在30左右的后可得的最小值．SmnS=a=3a=1a=2，，12【詳解】∵，∴21an+2=2aa}a=a2=4a}，各項均為正，n2∵，∴的奇數(shù)與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，nn51因此{(lán)Sn}是遞增數(shù)列，數(shù)列an}的前幾項依次為：4,8,8,16,16,S7=1+2+2+4+4+8+8=29S=S+a=29+16=4530，，878m∴的最小值是8，故答案為：；814.【答案】0a2【分析】由分段函數(shù)解析式，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)分別求出對應(yīng)區(qū)間的值域，結(jié)合已知列不等式求參數(shù)范圍.y=?x+a在(?上遞減，且值域為[a?+)，又f(x)的值域為(?,+)，【詳解】由y=?a(x?2)2+1開口向下，即a0，在+)上值域為(?,，對于所以a?11，即a2，故故答案為：0a215.【答案】①③0a2.P,1l1,l在直線上，設(shè)P(x,y)，依據(jù)題設(shè)各點的關(guān)系推得n【分析】由題設(shè)在直線上，12nn3112n1=?xxn=1+(?)n1，并構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求得，最后依次判斷各項正誤.n2231313P(2,0),Q(2,P(,),Q(,)【詳解】由題設(shè)，，故①對；1122222241131121231=?x，nQ(x,x+)P(?x,x+)x，即n1設(shè)P(x,y)，則，進(jìn)而有nnnnnnn1nn2222221121所以?是以為首項，?x=1+(?)n1為公比的等比數(shù)列，則n，xn1?1=?(x?，故{x1nn2211對于，x=1+(?)2n1=1?2，易知數(shù)列單調(diào)遞增，②錯；x2nx2n2n4n2n114PP(x,2x)?，則n2=?2+?2=2(n=2?2由兩直線交點和PP(nx)，③對；nnnn11?(?)n22110212S=n+n=n+?(?)n2Sn1=2n++(?)n2Sn1+Sn=n+4，所以，④由，故13323321?(?)2錯；故答案為：①③三、解答題（共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）π16.1）B=；42+6（2）選①或③，三角形面積為．2）由余弦定理求得得B；（2）選①，由sinBsinA得三角形只有一解，然后求得sinC，由正弦定理求得，從而可得三角形面a積；選②，分析得三角形有兩解；選③，求出sinA后，同選①計算．【小問1a2+c2?b22π∵a20BπB=，∴；+c2=b2+2ac，∴B==，又2ac24【小問21abπ21選①，sinA=，因為sinB，由=得ba，所以BAA=，因此，=2sinAsinB6223A=，26+2sinC=sin(π?A?B)=sin(A+B)=sinAB+AsinB=，42+3)cacsinAsinC2=a===2，由得sinCsinA6+241122+6S=acsinB=2+3)=；2222選②，b=2，c=1+CB，3b，∴2cb+3)=+又sinCsinB，sinCcsinB26，∴C角可能為銳角也可能為鈍角，三角2===b24形是兩解，不合題意；π123=Aπ)A=，sinA=選③，A，而，∴，以下同選①．2617.1）a0=，最小正周期為T=π；2π（2）.3πf(x)=2sin(2x?)+1+a1）由倍角正余弦公式、輔助角公式有，結(jié)合已知求參數(shù)，進(jìn)而求6正弦型函數(shù)的最小正周期；ππ7π?2m?.（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)有【小問1求參數(shù)范圍，即可得最大值666ππ3πf(x)=3sin2x?cos2x+1+a=2sin(2x?)+1+af2sin=+1+a=3，由，且62π2π所以a=0，故f(x)=2sin(2x?)+1，其最小正周期為T==π.62【小問2πx[0,m]，顯然f(0)=02sin(2m?)+10，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，只需，即由6π1sin(2m?)?，62ππ7π2π2π?2m?0mm，即的最大值為.所以，可得6663318.1）證明見解析；1（2）.5FD,CD，且CD,FC交于GC為矩形，即G是CD中點，連接）連接點，易得四邊形1，中位線性質(zhì)有EG//AD，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值.【小問1FD,CD，且CD,FC交于GAA1⊥面BC1BC，的中點，連接所以點，又，D、F分別是棱11DF//CC//AA,DF=CC,CCBC垂直，面，11，即都與面1111⊥BCC⊥，故四邊形11C為矩形，即G是CD中點，連接所以，111又E是棱的中點，在中EG//AD，EG面1EFAD1EF，面，所以AD//平面CEF1；【小問2是等腰直角三角形且=，故△BAC=90，111ABC也為等腰直角三角形且111AA1⊥面，構(gòu)建如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，1又則(0,2),D0),E2),F2),1(0,0)，所以AD=?=0),EF=0),1=2)，my?2z=0若m(x,y,z)是面=ADE的一個法向量，則，取，z=1，則m=)2m=y=0n0若n=(a,b,c)是面1EF的一個法向量，則，取c=1，則n=(0,，nb?c=01111所以|,n|=，平面ADE與平面1EF夾角的余弦值為.|m||n|5555x2y2+=119.1）941=.（2）存在，2）根據(jù)題設(shè)及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；t9+t329+t2:x=ty+1y+y=?yy=?、MN（2）令，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而MN2429表示出xM+xN、xxM，令A(yù)N1的斜率為，結(jié)合橢圓性質(zhì)易得kk=?k1=?，且，即可判斷存N9k2在性.【小問1c=2522==4a94x2y2=1=b，故C+=1；由題設(shè)的方程為b2b94a22+c2【小問2由題意，直線MN不與x軸重合，令:x=ty+1，聯(lián)立橢圓方程得4(ty+2+9y2=36，t9+t329+t22)y2+ty?32=0，顯然0，則yMyN+=?yy=?，MN所以所以+t，2189+t?t2)x+x=t(y+y)+2=xx=tyy+t(y+y)+1=2，，MNMN2MNMNMN+9t2yNyNy2N?2N92N4y2N?49xyAN1的斜率為，則kkk2==+=1，即=?令，而，所以xN3x+?3x2N9x2N9N4k=?，9k23294?yM+yNMyyN+t2k1===又+3xMxNxMx)9t)+++?254xM3xNN++99+t29+t2?32)+54+81+t29==?2，?t2419k221k21211?=?=k=k=.所以，即存在21922x?12y?11=020.1）；1（2）答案見解析；）t.3）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；1?x3（2）由題設(shè)f(x)=，討論、，結(jié)合對應(yīng)的定義域及其導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性；a00x1t=x3?xx+)有兩個不同根，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的值域范圍，即可得參數(shù)（3）問題化為在在3范圍.【小問11111174f(x)=ln(2x)?x3f(x)=?x2f()=?f()=由題設(shè)，則，故，，3x22421122171,fy+=(x?)，即x?12y?11=0.所以在點處的切線方程為2442【小問211?x3=?x2=由f(x)，xxx(,0)f(x)0(?,0)，即f(x)在當(dāng)0，定義域為當(dāng)a0，定義域為，此時1x30，故?上遞減；x+)，f(x)0，x若若，則f(x)上遞增；x+)f(x)0+)上遞減；，則，f(x)在【小問31133f(x)=x?x3g(x)=x?x+tx在+)有兩個不同零點，由題設(shè)，，故31t=x3?xx+)所以在在有兩個不同根，313x3?1h(x)x