湖北省云學(xué)部分重高中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試卷

2024年湖北云學(xué)部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟高三年級(jí)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：孝感高中命題人：柴全中王燕霞張翔李麗審題人：褚衛(wèi)戰(zhàn)考試時(shí)間：2024年10月8日15：00-17：00時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿(mǎn)分：150分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2.若，則（）A.B.C.D.3.數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，若且成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.24.已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有成立，則的可能取值是（）A.B.C.D.5.對(duì)于平面凸四邊形，若，則四邊形的面積為（）A.B.C.D.大小不確定6.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨(dú)立，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則10.已知，且，則（）A.B.C.D.11.設(shè)是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的有（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則__________.13.若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.14.在如圖所示的直角梯形中，為梯形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.求.16.（15分）在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.設(shè)向量，且.（1）求角的大小；（2）設(shè)是邊上的一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍，且，求線(xiàn)段的長(zhǎng).17.（15分）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的佰成立，求的最小值.18.（17分）如圖，在四棱錐中，底面，，平面與平面的交線(xiàn)為.（1）求證：平面；（2）設(shè)為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.19.（17分）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱(chēng)為信息熵?信源熵.若把信息熵定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量的所有取值為，定義信息熵：（1）若，且，求隨機(jī)變量的信息熵；（2）若，求隨機(jī)變量的信息熵；（3）設(shè)和是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，求證：.參考答案：題號(hào)1234567891011答案CADADABBABABDAD12.13.314.96.解析：面且是外心，7.解析：四邊形面積，，單增，又，8.解析：，則，所以有9.解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)是偶函數(shù)，又，則是函數(shù)的一個(gè)周期，也是最小正周期，A正確當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在的取值集合為，從而函數(shù)在的取值集合為，即在上的值域?yàn)?，因此函?shù)在上的值域?yàn)?，B正確；如圖：不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)在上單調(diào)性同，所以遞減，故D對(duì).11.解析：對(duì)兩邊求導(dǎo)得即，故A對(duì)，即恒成立，（舍），故B錯(cuò).是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，又，故C錯(cuò).，，為增函數(shù)，，故D對(duì).14.解析：如圖示，先求出硬管不傾斜，水平方向通過(guò)的最大長(zhǎng)度.設(shè)，則.過(guò)作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，作BD垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，則.在直角三角形中，，所以.同理：.所以.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立）.所以.因?yàn)樽呃鹊膶挾扰c高度都是3米，所以把硬管傾斜后能通過(guò)的最大長(zhǎng)度為15.解析：（1）在中，，由余弦定理得，則，有，又平面平面，平面平面，平面，則平面，直線(xiàn)兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由，得，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).（2）由（1）可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.解析：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）即在上恒成立，令，易知函數(shù)的定義域?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，故；（11分）當(dāng)時(shí)，，故.（13分）所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，在上取得最大值.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.解析：（1）由可得，，由正弦定理該式化為，整理得：，即：，即，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以.（2）令，由題意：，平方得：，由正弦定理，則：，代入上式得：因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以，，即，，因此，的取值范圍為.18.解析：（1）由題意，有，解得即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為聯(lián)立，有由于想切，令，即求得（3）設(shè)延長(zhǎng)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)處切線(xiàn)斜率分別是和，有，設(shè)橢圓上或兩點(diǎn)切線(xiàn)方程為聯(lián)立有，要證明，需證明即要證，其中，顯然，即證（17分）19.（1）①②處于位置時(shí)，得3分，，處于位置時(shí)，得1分，，處于位置時(shí)，得分1分，，所以最終得分的分布列為：得分的期望.13（2）將棋盤(pán)按如圖所示編號(hào)：12345678913456789將棋子可以去的區(qū)域用箭頭連接起來(lái)，如從3可以連接4或8，記做：；從8可以連接3或1，記做：；然后將他們串聯(lián)起來(lái)：.依次類(lèi)推，可以串聯(lián)出環(huán)狀回路：，如下圖所示：則棋子等價(jià)于在這個(gè)環(huán)狀回路中運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題（2）可以轉(zhuǎn)化為將兩個(gè)棋子放在環(huán)形回路中的3號(hào)?7號(hào)位置，每回合3號(hào)?7號(hào)棋子有四種運(yùn)動(dòng)模式：（順，順），（順，逆），（逆，順），（逆，逆），發(fā)生概率各為為了轉(zhuǎn)化問(wèn)題，現(xiàn)規(guī)定“兩棋子之間的最短節(jié)點(diǎn)數(shù)”，例如：特別規(guī)定兩棋子重合時(shí)，