機(jī)電一體化技術(shù)與應(yīng)用 課件 -第2章 機(jī)電一體化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

第2章機(jī)電一體化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：本章要求掌握機(jī)電2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法方法，傳送函數(shù)的定義、求解方法，熟悉典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求取方法，系統(tǒng)框圖及其等效變化。能力目標(biāo)：為了更好地設(shè)計(jì)、分析控制系統(tǒng)，掌握其內(nèi)在變化規(guī)律，需用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述控制系統(tǒng)。由于分析和設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)不同，采用的方法不同，因此用來(lái)描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是多種多樣的。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、差分方程和狀態(tài)空間表達(dá)式等。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，掌握線(xiàn)性定常系統(tǒng)微分方程的建立方法，形成系統(tǒng)建模概念體系。思政目標(biāo)：理解控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模的重要基礎(chǔ)理論，提高我國(guó)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)制造核心競(jìng)爭(zhēng)力。數(shù)學(xué)模型是認(rèn)識(shí)世界，探索未知領(lǐng)域的途徑數(shù)學(xué)模型是理解世界并探索未知領(lǐng)域的重要工具，它通過(guò)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的精確表示，幫助我們分析、設(shè)計(jì)、預(yù)測(cè)和控制實(shí)際系統(tǒng)。認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制領(lǐng)域數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型：常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型包括微分方程、代數(shù)方程和差分方程等，這些模型在不同領(lǐng)域的系統(tǒng)（如工程、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等）中應(yīng)用廣泛。數(shù)學(xué)模型的用途：分析系統(tǒng)：在設(shè)計(jì)新系統(tǒng)時(shí)，通過(guò)數(shù)字仿真和物理仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行初步分析，建立數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行數(shù)字仿真的前提。預(yù)測(cè)物理量：某些無(wú)法直接測(cè)量的物理量可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，例如天氣、地震和人口趨勢(shì)等。設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)依賴(lài)于數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)控制器，以滿(mǎn)足不同的性能要求。認(rèn)識(shí)控制理論控制系統(tǒng)分類(lèi)：根據(jù)數(shù)學(xué)模型，控制系統(tǒng)可以分為線(xiàn)性與非線(xiàn)性、連續(xù)與離散、定常與時(shí)變系統(tǒng)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)的分析特別重要，因?yàn)樗粌H具有完整的研究方法，還能在一定條件下適用于非線(xiàn)性和時(shí)變系統(tǒng)。控制理論的發(fā)展：控制理論經(jīng)歷了經(jīng)典控制、現(xiàn)代控制和智能控制的發(fā)展階段。經(jīng)典控制理論主要采用輸入/輸出的外部描述方法，通過(guò)時(shí)域、復(fù)數(shù)域和頻域進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)模型包括微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)和動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等。2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例目

錄2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法(1)根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，確定系統(tǒng)和各元部件的輸入、輸出量。(2)依據(jù)各元部件所遵循的物理或化學(xué)定律，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓運(yùn)動(dòng)定律，電學(xué)系統(tǒng)的基爾霍夫電流、電壓定律等，依次列寫(xiě)出系統(tǒng)和各元件的動(dòng)態(tài)微分方程。(3)消去中間變量，得到元部件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間的微分方程。(4)將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化：輸入量放在等式的右端，輸出量放在等式的左端，各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列。建立微分方程的一般步驟2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法在機(jī)械系統(tǒng)中常采用牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立數(shù)學(xué)模型2.1.1力學(xué)系統(tǒng)對(duì)于這種沒(méi)有外部輸入的系統(tǒng)，稱(chēng)之為自由系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)總會(huì)受到給定輸入或外部干擾，稱(chēng)作強(qiáng)迫的或受控系統(tǒng)，意味著狀態(tài)變化的速率會(huì)受輸入的影響。2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.1.2電路系統(tǒng)電氣系統(tǒng)主要由電阻、電容和電感等基本元件組成依據(jù)基爾霍夫電壓和基爾霍夫電流定律，可得系統(tǒng)的微分方程：典型的RC電路2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.1.3多學(xué)科建模建模是許多學(xué)科的基本組成部分，但各個(gè)學(xué)科的方法可能各不相同。需先將系統(tǒng)劃分成較小的子系統(tǒng)。將每個(gè)子系統(tǒng)表示成關(guān)于質(zhì)量、能量和動(dòng)量的平衡方程，然后通過(guò)對(duì)互連的各個(gè)子系統(tǒng)變量的行為進(jìn)行描述，掌握子系統(tǒng)接口處的行為。通過(guò)將子系統(tǒng)的描述以及接口的描述組合起來(lái)，得到完整的模型。2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例目

錄2.2線(xiàn)性微分方程的求解拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換，是求解線(xiàn)性微分方程的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算方法，是利用頻率法分析控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。利用拉普拉斯變換求解微分方程，可以將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，變成復(fù)變量s的乘積，將時(shí)間t表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程，大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。2.2線(xiàn)性微分方程的求解(1)拉普拉斯變換2.2.1.拉普拉斯變換及拉普拉斯反變換的定義特別說(shuō)明：2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.2線(xiàn)性微分方程的求解(2)拉普拉斯反變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解(1)單位階躍函數(shù)的拉氏變換2.2.2.典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解(2)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解(3)單位加速度函數(shù)2.2線(xiàn)性微分方程的求解(4)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解(5)正弦函數(shù)的拉氏變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解(5)正弦函數(shù)的拉氏變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解(6)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解拉氏變換對(duì)照表2.2線(xiàn)性微分方程的求解拉氏變換對(duì)照表2.2線(xiàn)性微分方程的求解1.線(xiàn)性定理2.2.3拉普拉斯變換基本定理2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.實(shí)數(shù)域的平移定理2.2線(xiàn)性微分方程的求解3.復(fù)數(shù)域的平移定理證明：2.2線(xiàn)性微分方程的求解4.微分定理2.2線(xiàn)性微分方程的求解證明：根據(jù)拉氏變換的定義，有2.2線(xiàn)性微分方程的求解注意：運(yùn)用微分定理可將函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算2.2線(xiàn)性微分方程的求解5.積分定理2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.2線(xiàn)性微分方程的求解6.初值定理2.2線(xiàn)性微分方程的求解7.終值定理2.2線(xiàn)性微分方程的求解拉普拉斯反變換是求解控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的重要手段。常采用部分分式展開(kāi)法將復(fù)雜的象函數(shù)化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單的部分分式之和，然后對(duì)照拉氏變換表求取原函數(shù)。2.2.4拉普拉斯反變換2.2線(xiàn)性微分方程的求解在控制系統(tǒng)中，象函數(shù)常可寫(xiě)成如下的有理分式形式：：(1)象函數(shù)F(s)的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.2線(xiàn)性微分方程的求解(2)象函數(shù)F(s)的極點(diǎn)中有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)2.2線(xiàn)性微分方程的求解令等式兩邊的實(shí)部和虛部分別相等，聯(lián)立求解方程，則可求得k1、k2的值則將共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)部分配成上面的格式，利用線(xiàn)性定理，即可求出系統(tǒng)的原函數(shù)。2.2線(xiàn)性微分方程的求解(3)象函數(shù)F(s)的極點(diǎn)中有重極點(diǎn)特別說(shuō)明：2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.2線(xiàn)性微分方程的求解解：由拉氏變換定義及線(xiàn)性定理可知：2.2.5例題2.2線(xiàn)性微分方程的求解【例2.2】求所示三角波的拉氏變換。解：三角波可表達(dá)為：利用實(shí)數(shù)域的平移定理，對(duì)上式求拉氏變換，得：2.2線(xiàn)性微分方程的求解解：由正弦函數(shù)的拉氏變換可知運(yùn)用復(fù)數(shù)域的平移定理，有2.2線(xiàn)性微分方程的求解解：象函數(shù)中極點(diǎn)均為不相同的實(shí)數(shù)，可展開(kāi)為2.2線(xiàn)性微分方程的求解解：2.2線(xiàn)性微分方程的求解解：2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例目

錄2.3傳遞函數(shù)為了方便地求解系統(tǒng)的微分方程，分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，常需借助于拉普拉斯變換，將時(shí)域中復(fù)雜的微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)數(shù)域簡(jiǎn)單的代數(shù)方程。傳遞函數(shù)就是在建立在拉氏變換基礎(chǔ)上的，用來(lái)分析和設(shè)計(jì)零初始條件下控制系統(tǒng)的有力工具。2.3傳遞函數(shù)2.3.1.傳遞函數(shù)的定義線(xiàn)性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：在零初始條件下(初始輸入量和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零)，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2.3傳遞函數(shù)設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸入與輸出間的n階微分方程一般表達(dá)式為：當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：2.3傳遞函數(shù)在實(shí)際中，控制系統(tǒng)都是由許多物理元部件構(gòu)成的。但不同物理特性的元部件卻可能具有相同的傳遞函數(shù)形式。為了更方便地分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，常將具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元部件稱(chēng)為環(huán)節(jié)。一個(gè)復(fù)雜的控制系統(tǒng)總可看作是由一些典型環(huán)節(jié)所組成。常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。2.3.2.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)(1)比例環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)2.慣性環(huán)節(jié)(2)慣性環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)(3)積分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)(4)微分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)(4)微分環(huán)節(jié)說(shuō)明：理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為幅值為無(wú)窮大而時(shí)間寬度為0的脈沖函數(shù)，這實(shí)際上是不可能的，因此微分環(huán)節(jié)必須與其它環(huán)節(jié)同時(shí)存在。2.3傳遞函數(shù)(5)振蕩環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型為二階線(xiàn)性常微分方程的環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的主要特點(diǎn)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。傳遞函數(shù)的概念只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)；傳遞函數(shù)本身不反映任何系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。即不同的物理系統(tǒng)可能具有同類(lèi)型的傳遞函數(shù)；2.3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的主要特點(diǎn)傳遞函數(shù)只適用于零初始條件下的情況，原則上不適用于非零初始條件。2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例目

錄2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為了更清楚地說(shuō)明控制系統(tǒng)中各元件的物理功能及相互關(guān)系，常用框圖來(lái)分析系統(tǒng)和元件的特性框圖也稱(chēng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖/方框圖，是一種圖解形式的數(shù)學(xué)模型根據(jù)各元件間信號(hào)的傳遞關(guān)系，將各元件聯(lián)接起來(lái)，主要由方框、信號(hào)線(xiàn)、相加點(diǎn)和分支點(diǎn)組成2.4.1.結(jié)構(gòu)圖的組成2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4.1.結(jié)構(gòu)圖的組成方框信號(hào)線(xiàn)相加點(diǎn)相加點(diǎn)運(yùn)算分支點(diǎn)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4.2繪制結(jié)構(gòu)圖的步驟寫(xiě)出每一個(gè)元件的微分方程，注意輸人量與輸出量的確定。由微分方程求出各元件的傳遞函數(shù)，并繪出相應(yīng)的框圖。依據(jù)信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞關(guān)系，將各元件的框圖連接起來(lái)，輸人量置于左端，輸出量置于右端，便構(gòu)成了系統(tǒng)的框圖。2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖框圖的基本聯(lián)接方式主要有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接三種。串聯(lián)聯(lián)接就是將各環(huán)節(jié)的方框首尾聯(lián)接起來(lái)，前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量2.4.3框圖的基本聯(lián)接方式(1)串聯(lián)聯(lián)接2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(2)并聯(lián)聯(lián)接并聯(lián)聯(lián)接就是幾個(gè)環(huán)節(jié)具有相同的輸入量，而輸出量為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和(或差)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖輸出量經(jīng)反饋通道作為反饋信號(hào)與輸入量相比較，并以偏差信號(hào)作為系統(tǒng)的控制量。(3)反饋聯(lián)接2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為了分析和研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，得到輸入量與輸出量之間的傳遞函數(shù)，常需對(duì)系統(tǒng)的框圖進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化?？驁D的簡(jiǎn)化應(yīng)符合等效原則，即在變換過(guò)程中，應(yīng)保證變換前、后輸入量和輸出量之間的關(guān)系保持不變。對(duì)于復(fù)雜的框圖，由于存在交錯(cuò)聯(lián)接的現(xiàn)象，僅采用前面介紹的三種聯(lián)接方式往往不能解決框圖化簡(jiǎn)的問(wèn)題，需要通過(guò)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)的移動(dòng)來(lái)消除各種聯(lián)接方式之間的交叉，然后再進(jìn)行等效變換。2.2.4框圖的簡(jiǎn)化2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.2線(xiàn)性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例目

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