2023年北京中考數(shù)學(xué)重難題型15圓的有關(guān)計算與證明問題（真題10道+模擬30道）含詳解

2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案(北京專用)

專題15圓的有關(guān)計算與證明問題(北京真題10道+模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

考點考查年份考查頻率

圓的有關(guān)計算與證明問題(大題)2013.2014.2015.2016.2017十年10考

2018.2019.2020.2021.2022

圓的證明與計算是中考取的一類重要的問題，在北京市的2013—2022年10年中考中出現(xiàn)了10次，常見的

圓的基礎(chǔ)知識和解題技巧如下：

1、圓中的重要定理：

(1)圓的定義：主要用來證明四點共圓和點到或直線圓的最值距離問題.

(2)垂徑定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.

(3)三者之間的關(guān)系定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.

(4)圓周角性質(zhì)定理及其推論：主要用來證明一直角、角相等、弧相等.

(5)切線的性質(zhì)定理：主要用來證明垂直關(guān)系.

(6)切線的判斷定理：主要用來證明直線是圓的切線.

(7)切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.

2.圓中幾個要點元素之間的相互轉(zhuǎn)變：瓠、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過相等來相互轉(zhuǎn)變.這在圓

中的證明和計算中常常用到.

3.判斷切線的方法：

(1)若切點明確，則“連半徑，證垂直”。

常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線轉(zhuǎn)變等；有時可經(jīng)過計算聯(lián)合相像、

勾股定理證垂直；

(2)若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。

常有手法：角均分線定理；等腰三角形三線合一，隱蔽角均分線；

4、考題形式剖析：

主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要判斷切線、證明角或線段相等；第2問主要與圓有關(guān)的計算：

①求線段長(或面積)；②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值(本質(zhì)仍是求線段比)

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準(zhǔn)提分【例I】(2021??匕京?中考真題)如圖，。。是

△ABC的外接圓，AD是。。的直徑，AO_LBC于點E.

D(1)求證：LBAD=Z.CAD；

(2)連接8。并延長，交AC于點F,交。0于點G,連接GC.若。0的半徑為5,0E=3,求GC和。尸的長.

【例2】(2022?北京?中考真題)如圖,AB是。。的直徑,CD是。。的一條弦,4B1CD,連接AC,OD.

5(1)求證：乙BOD=2乙A;

(2)連接DB,過點C作CEJ.DB,交DB的延長線于點E,延長0。,交4c于點凡若尸為AC的中點，求證：直線CE為

。。的切線.

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.(2013?北京?中考真題)如圖，AB是。。的直徑，PA,PC分別與(DO相切于點A,C,PC交AB的延

長線于點D,DEJ_PO交PO的延長線于點E.

3

(1)求證：ZEPD=ZEDO(2)若PC=6,tanZPDA=-,求OE的長.

4

2.(2014.北京?中考真題)如圖，48是。。的直徑，C是腦的中點，。。的切線80交4c的延長線于點0,E是

08的中點，CE的延長線交切線8。于點F,AF交。。于點H,連接

(1)求證：AC=CD；

(2)若0B=2,求BH的長.

3.（2015?北京?中考真題）如圖，AB是。O的直徑，過點B作。O的切線BM,弦

CD//BM,交AB于點E且歷1=廢，連接AC,AD,延長AD交BM于點E.

（1）求證：4ACD是等邊三角形;

（2）連接OE,若DE=2,求OE的長.

4.（2016?北京?中考真題）如圖，AB為。0的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接OF并延長交AC■于點D,過點

D作0O的切線，交BA的延長線于點E.

（1）求證：AC〃DE；

（2）連接CD,若OA=AE=a,寫出求四邊形ACDE面積的思路.

.（2017?北京?中考真題）如圖，AB是。O的一條弦，E是AB的中點，過點E

作EC±OA于點C,過點B作。O的切線交CE的延長線于點D.

U）求證：DB=DE;

⑵若AB=12,BD=5,求OO的半徑.

o

6.（2018?北京?中考真題）如圖，是。0的直徑，過。。外一點P作。0的兩條切

線PC,P0,切點分別為C,D,連接OP,CD.

（1）求證：0P工CD；

(2)連接40,BC,若乙。力8=50。，Z.CBA=70°,0A=2,求0P的長.

7.（2019?北京?中考真題）在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點A,B,C,

如圖所示.點O到點A,B,C的距離均等于粗〃為常數(shù)），到點0的距離等于。的所有點組成圖形G,乙48c

的平分線交圖形G于點D,連接AD,CD.

（1）求證：AD=CD;

（2）過點D作DE1BA,垂足為E,作DF1BC,垂足為F,延長DF交圖形G于點M,連接CM.若AD=CM,

A?

求直線DE與圖形G的公共點個數(shù).

B?C

8.（2020?北京?中考真題）如圖，AB為。0的直徑，C為BA延長線上一點，CD是的切線，D為切點,

OF_LAD于點E,交CD于點F.

（1）求證：ZADC=ZAOF：

（2）若sinCq,BD=8,求EF的長.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

1.（2022?北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，AB是。。的直徑，弦C0_L4B,垂足為“，E為此上一點,

過點E作。。的切線，分別交D&AB的延長線于點尸，G連接AE,交C。于點P.

⑴求訐：EF=FP：

(2)連接AO,若4)||FG,CD=8,cosF=g,求。0半徑.

2.（2022?北京房山?二模）如圖，已知力8是半。。的直徑，點”在。。上，E是什&的中點，連接力￡,過點

E作EC14”交AH的延長線于點C.過點E作EF1于點F.

（1）求證：CE是。。的切線;

⑵若吁吟=,求。尸的長.

3.（2022?北京朝陽?二模）如圖，A8為。。的直徑，。為。O上的一點，。。148交4。于點￡DE=DC.

D

（1）求證：0c是00的切線;

(2)若04=4,0E=2,求cosD.

4.（2022?北京東城?二模）如圖，在448c中,>AC,Z-BAC=90°,在C8上截取C。=CAt過點。作0E1AB

于點E,連接AD,以點A為圓心、4E的長為半徑作

BC是③A的切線;

5.（2022?北京平谷?二模）如圖,是。O的直徑，過8作。O的切線，與弦AO的延長線交于點C/W=0C,

E是直徑上一點，連接DE并延長與直線8C交于點入連接4F.

⑴求證：的=股;

（2）若tan4BAF=；,。0的半徑長為6,求所的長.

4

6.（2022?北京北京?二模）如圖，力口為。。的直徑，&D=UD,過點4作。。的切線，交。。的延長線于點E.

B

AC||DE；

(2)若4c=2,tanF=I，求OE的長.

7.(2022?北京豐臺?二模)如圖，AB是。。的直徑，。為84延長線上一點，過點。作。。的切線，切點為

D,過點B作BE_LCO于點E,連接A。，BD.

(2)如果C4=A8,8。=4,求8E的長.8.(2022?北京密云?二模)如圖，在A/IBC中，AB=BC,以為

直徑的。。與AC交于點。，OE是。。的切線.

(1)計算44ED的度數(shù);

(2)若tanA=5BC=2次,求線段OE的長.

9.(2022?北京大興?二模)如圖，在△ABC中，“=90。，AO是匕B4?的平分線，O是4B上一點，以。4

為半徑的。0經(jīng)過點D.

BC是。0切線;

(2)若BO=5,0C=3,求AC的長.

10.（2022?北京西城?二模）如圖，AB是0。的直徑，CB,C。分別與。。相切于點3,D,連接OC,點E

在的延長線上，延長A。，EC交于點F.

（1）求證：FA..C0；

(2)若84=FE,CD=4,BE=2,求胡的長.

11.（2022?北京順義?二模）如圖，A4BC內(nèi)接于00,AB是。。的直徑，點。在AB的延長線上，且4BCD=44

點七為AC的中點，連接。七并延長與QC的延長線交于點F.

（1）求證：8是00的切線;

(2)若CO=4,tanA=求CF的長.

12.（2022?北京房山?二模）如圖，在44BC中，乙C=90。,NABC的平分線BE交AC于點E,過點E作直線8E的

垂線于交A3于點尸，。。是ABEF的外接圓.

(1)求證：AC是。。的切線;

(2)過點E作EH_L48于點從若CD=2,求H尸的長度.

13.(2022?北京昌平?二模)如圖，在△48C中，Z.C=90°,BC,AC與。。交于點凡D,BE為。。直徑,

點E在上，連接BD,DE,Z.ADE=Z.DBE.

14.(2022?北京海淀?二模)如圖，48為OO的直徑，CO為弦，CD_LAB于點E,連接。。并延長交。O于

點、F,連接A/交CO于點G,CG=AG,連接AC.

A(1)求證：AC//DF；

(2)若AB=12,求AC和GO的長.

15.(2022?北京市H"一學(xué)校模擬預(yù)測)如圖，AB是00的弦，。為。。上一點，過點C作AB的垂線與48

的延長線交于點。，連接80并延長，與。0交于點E,連接EC,CO是。。的切線.

(2)若tanE=$48=8,求8。的長.16.(2022?北京東城?一模)如圖，在△A3C中，AB=AC,以48為

直徑作。。，交8c于點O,交AC于點￡,過點B作。。的切線交0。的延長線于點F.

(2)若48=4,DF=1,求AE的長.

17.(2022?北京市十一學(xué)校二模)如圖，。0是1的外接圓，。在AC上，過點C作。O的切線，與A8

延長線交于點。，過點O作。EII8C,交OO于點E,連接CE交A8于點江

(1)求證：CE平分NAC8；

(2)連接O。，若CF=CD=6,求0。的長.

18.(2022?北京石景山?一模)如圖，A8為。。的直徑，C,。為。。上兩點，Sb=AD,連接AC,BC,AD,

BD,過點D作DE//AB交CB的延長線于點E.

BA(1)求證：直線￡>E是。。的切線;

⑵若A8=10,BC=6,求AO,BE的長.19.(2022?北京?東直門中學(xué)一模)如圖，AB為。。的直徑，點C、

點。為。0上異于4、B的兩點，連接CD,過點。作CE_L。氏交的延長線于點E,連接AC、AD.

求證：CE是。。的切線.

(2)若。。的半徑為遙，tanz^DC=求AC的長.

20.(2022?北京大興?一模)如圖，A是。。上一點，8C是。。的直徑，8A的延長線與。0的切線8相交

于點D,￡為C。的中點，AE的延長線與的延長線交于點P.

D

(2)若0C=CP,AB=2V3,求CO的長.

21.(2022?北京師大附中模擬預(yù)測)如圖，在AABC中，ZC=90°,乙48c的平分線BE交4c于點E,過

點E作直線BE的垂線于交AB于點F,00是bBEF的外接圓.

D.

(1)求證：AC是。。的切線;

(2)過點上作￡H_L48于點“，若。。=8,求”產(chǎn)的長度.

22.(2022?北京豐臺?一模)如圖，A8是。。的直徑，。是。。上一點，連接AC.過點8作。。的切線，交

4C的延長線于點。，在AD上取一點E,使AE=A8,連接BE,交。O于點F,連接A足

⑴求證：NBAF=NEBD；

(2)過點E作EG_LBO于點G.如果48=5,BE=2近,求EG,8。的長.

23.(2022.北京西城.一模)如圖，A8是。。的直徑，弦CZXLAB于點E,點尸在弧BC上，A尸與CO交于

點G,點”在。C的延長線上，且HG=HF,延長，尸交A8的延長線于點M.

(1)求證：”/是。。的切線;

(2)若sinM=3BM=1,求A尸的長.

24.(2022?北京一七一中一模)如圖，在RtAABC中，ZC=90%AE是△ABC的角平分線.AE的垂直平分線

交AB于點0,以點O為圓心，OA為半徑作。0,交A8于點尸

（1）求證：5c是。。的切線;

⑵若〃1=5,tanB=*求O。的半徑r的值.

25.（2022?北京市燕山教研中心一模）如圖，AB為。0的直徑，點。在0。上，過點C作。。的切線CM,

過點4作4。1CM于點。，交BC的延長線于點E.

(2)若48=10,C0SF=求CO的長.

26.（2022?北京平谷?一模）如圖，A8是GO的直徑，C是。O上一點，過C作。O的切線交AB的延長線于

點、D,連接AC、BC,過O作。尸〃AC,交于G,交OC于尸.

（2）若lan/A=a8c=4,求OF、。尸的長.27.（2022?北京?東直門中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，4B是。。的直徑,

點0、E在。。上，乙4=24BOE,過點E咋。。的切線EC,交AB的延長線于C.

彳卜/?\求證:ZC=Z.ABD；

(2)如果0。的半徑為5.BF=2.求E產(chǎn)的長.

28.(2022?北京市第一六一中學(xué)分校一模)如圖，△43C中，ZC=90°,點E在A5上，以3E為直徑的。0

與AC相切于點。，與8C相交于點尸，連接80,DE.

⑴求訐：NADE=NDBE：

(2)若sinA=g,BC=6,求。。的半徑.

29.(2022?北京房山?一模)如圖，BE是OO直徑，點A是。。外一點:OA1OB,AP切。0于點P,連接

8尸交AO于點C.

E

xvn

乙___________________\(1)求證：ZPAO=2ZPBO,

B

(2)若。。的半徑為5,tan^PAO=求BP的長.

4

30.(2022?北京順義一模)如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，點。為女的中點，對角線

AC,BD交于點E,。。的切線A尸交BO的延長線于點凡切點為A.

⑴求證：AE=AF；

c

⑵若AF=6,BF=10,求BE的長.

2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案(北京專用)

專題15圓的有關(guān)計算與證明問題(北京真題10道+模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

考點考查年份考查頻率

圓的有關(guān)計算與證明問題(大題)2013.2014.2015.2016.2017十年10考

2018.2019.2020.2021.2022

圓的證明與計算是中考取的一類重要的問題，在北京市的2013—2022年10年中考中出現(xiàn)了10次，常見的

圓的基礎(chǔ)知識和解題技巧如下：

1、圓中的重要定理：

(1)圓的定義：主要用來證明四點共圓和點到或直線圓的最值距離問題.

(2)垂徑定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.

(3)三者之間的關(guān)系定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.

(4)圓周角性質(zhì)定理及其推論：主要用來證明一直角、角相等、弧相等.

(5)切線的性質(zhì)定理：主要用來證明垂直關(guān)系.

(6)切線的判斷定理：主要用來證明直線是圓的切線.

(7)切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.

2.圓中幾個要點元素之間的相互轉(zhuǎn)變：瓠、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過相等來相互轉(zhuǎn)變.這在圓

中的證明和計算中常常用到.

3.判斷切線的方法：

(1)若切點明確，則“連半徑，證垂直”。

常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線轉(zhuǎn)變等；有時可經(jīng)過計算聯(lián)合相像、

勾股定理證垂直；

(2)若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。

常有手法：角均分線定理；等腰三角形三線合一，隱蔽角均分線；

4、考題形式剖析：

主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要判斷切線、證明角或線段相等；第2問主要與圓有關(guān)的計算：

①求線段長(或面積)；②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值(本質(zhì)仍是求線段比)

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準(zhǔn)提分【例I】(2021??匕京?中考真題)如圖，。。是

△ABC的外接圓，AD是。。的直徑，AO_LBC于點E.

(1)求證:LBAD=Z.CAD；

(2)連接B。并延長，交4c于點尸，交。0于點G,連接GC.若。。的半徑為5,0E=3,求GC和。尸的長.

【答窠】⑴見詳解；⑵(76=6,OF=

【解析】

【分析】

(1)由題意易得四=8,然后問題可求證；

(2)由題意可先作圖，由(1)可得點E為BC的中點，則有OE*CG,OE〃CG,進(jìn)而可得^AOFCGF,

然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】

(1)證明：??Z0是。。的直徑，AD1BC,

：.￡.BAD=ACAD,

：.OE=\CG,OE//CGf：.〉A(chǔ)OFfCGF,

.OA_OF

**CG-GFf

VOE=3,

，CG=6,

???。。的半徑為5,

**-0A=0G=5,

.5OF

**6一正，

???OF=2oG=至.

1111

【點睛】

本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形中位線及

相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(2)連接0區(qū)過點C作J.交03的延長線于點E,延長0。,交4c于點F,若尸為4c的中點，求證：直線CE為

。。的切線.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

(1)設(shè)48交CD于點”，連接0C,證明RiACO”蘭RCADOH,^^COH=/.DOH,于是"=9，

即可得到NBOO=244；

(2)連接，解出=60°,根據(jù)力8為直徑得到2408=90°,進(jìn)而得到N4BO=60°,即可證明。C〃OB,

故可證明直線CE為。。的切線.

(1)

證明：設(shè)48交CD于點H,連接0C,

由題可知,

???0C=OD,Z.OHC=乙OHD=90。,

???OH=OH,

RtLCOH三RSDOH(HL),

???“OH=乙DOH,

???"二血

???乙COB=乙BOD,

乙COB=2z.A,

乙BOD=24力；

⑵

證明：

連接AO,

:.Z.OAD=Z.ODAf

同理可得：乙OAC=Z.OCA^OCD=乙ODC,

???點”是8的中點，點尸是AC的中點，

???LOAD=Z.ODA=Z.OAC=乙OCA=乙OCD=乙ODC,

???LOAD+Z.ODA+乙OAC+Z.OCA+WCD+Z.ODC=180°,

LOAD=LODA=LOAC=AOCA=乙OCD=乙ODC=30。，

/.COB=2/.CAO=2x30°=60°,

為。。的直徑，

?./ADB=90°,

???AABD=90-/-DAO=90°-30°=60%

Z.ABD=乙COB=60°,

OC//DE,

CE1BE,

CE103

???直線CE為。。的切線.

【點睛】

本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，圓周角定理，直線平行的判定與性質(zhì),

三角形的內(nèi)角和公式，證明三角形全等以及證明平行線是解題的關(guān)鍵.

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.（2013?北京?中考真題）如圖，AB是。O的直徑，PA,PC分別與0O相切于點A,C,PC交AB的延

長線于點D,DE_LPO交PO的延長線于點E.

3

(1)求證：ZEPD=ZEDO(2)若PC=6,tanZPDA=-,求OE的長.

4

【答窠】（1）見解析（2）V5

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)即可證明：ZEPD=ZEDO；

（2）連接OC,利用tan/PDA^,可求出CD=4,再證明△OEDsaDEP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股

4

定理即可求出OE的長.

試題解析：（1）證明：PA,PC與。O分別相切于點A,C,

，ZAPO=ZEPD且PA1A0,

/.ZP4O=90°,

VZAOP=ZEOD,ZPAO=ZE=90°,

AZAPO=ZEDO,

ZEPD=ZEDO：

?PA=PC=6,

.*tanZPDA=",

4

??在RSPAD中，AD=8,PD=10,

\CD=4,

/tanZPDA=4-,

,?在RsOCD中，OC=OA=3,OD=5,

.eZEPD=ZODE,

?.△OED^ADEP,

在RtAOHD中，OE^DE^OD2,即30^二5)

A0E=V5.

考點：1.切線的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì).

2.(2014?北京?中考真題)如圖，48是。。的直徑，C是的的中點，。。的切線8。交力C的延長線于點D,E是

。8的中點，CE的延長線交切線80于點F,4尸交。。于點H,連接

(1)求證：AC=CO；

(2)若OB=2,求BH的長.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(D連接0C,若要證明C為AD的中點，只需證OC//BD,已知C是腦的中點，可知OC_LAB,又BD是切

線，可知BD_LAB,問題得證

(2)由(1)及E為0B中點可知△COE^^FBE,從而可知BF=CO=BO=2,由勾股定理可得AF的長，由面

積法即可求出BH的長

【詳解】

(1)連接OC

???C是腦的中點，AB是。O的直徑

AOC1AB

〈BD是。O的切線

ABD1AB

/.OG7BDVAO=BO

/.AC=CD

(2).「E是OB的中點

AOE=BE

在乙COE和4FBE中

(4CEO=乙FEB

OE=BE/.ACOE^APBE(ASA)

LCOE=乙FBE

/.BF=CO

VOB=2

/.BF=2

???AF=，482+B尸2=2V5

TAB是直徑

ABHIAF

BH=空"=隼=延考點：1、平行線分線段成比例定理；2、切線的性質(zhì)；3勾股定理；4、全等三角形

AF2V55

3.（2015.北京?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，過點B作。O的切線BM,弦CD〃BM,交AB于點F,

且比4=沅\連接AC,AD,延長AD交BM于點E.

（1）求證：4ACD是等邊三角形;

（2）連接OE,若DE=2,求OE的長.

【答案】（1）見解析；（2）2V7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)切線的定義可知AB_LBM,又???BM〃CD,???AB_LCD,根據(jù)圓的對稱性可得AD=AC,

再根據(jù)等弧對等弦得DA=DC,即DA=DC=AC,所以可得^ACD是等邊三角形；

（2）AACD為等邊三角形，AB1CD,由三線合一可得NDAB=3O。，連接BD,根據(jù)直徑所對的角是直角

和三角形的內(nèi)角和可得/NEBD=NDAB=3O。，因為DE=2,求出BE=4,根據(jù)勾股定理得BO=2四，

直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得，AB=4x/3,OB=2%/3,在RsOBE中，根據(jù)勾股定

理即可得出OE的長.

【詳解】

解：（1）;BM是。O切線，AB為。O直徑，

AAB1BM,

VBM//CD,

AABICD,

AAD=AC,

AAD=AC,

ADA=DC,

ADC=AD,

，AD=CD=AC,

/.△ACD為等邊三角形.

(2)AACD為等邊三角形，AB1CD,

AZDAB=30°,

連結(jié)BD,

ABDIAD.

ZEBD=ZDAB=30°,

VDE=2,

???BE=4,BD=2V3?AB=473，OB=2百,

在RtAOBE中，OE=\/0B2+BE2=V12+16=2A/7.

【點睛】

本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；勾股定理.

4.（2016?北京?中考真題）如圖，AB為。。的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接OF并延長交"于點D,過點

D作。O的切線，交BA的延長線于點E.

（1）求證：AC〃DE；

（2）連接CD,若OA=AE二a,寫出求四邊形ACDE面積的思路.

【答案】（1）證明見解析；（2）：Q2.

I：解析】

【詳解】

試題分析：（1）欲證明AC〃DE,只要證明ACJ_OD,ED_LOD即可.

（2）作DM_LOA于M,連接CD,CO,AD,首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S平行四邊杉ACDE=AE?DM.

只要求出DM即可.

試題解析：（1）；ED與。0相切于D,；.OD±DE,;F為弦AC中點，AOD±AC,，AC〃DE.

（2）作DM_LOA于M,連接CD,CO,AD.

首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S平行四邊彩ACDE=AE?DM,只要求出DM即可.

VACZ/DE,AE=AO,.*.OF=DF,VAF_LDO,AAD=AO,/.AD=AO=OD,，△ADO是等邊三角形，同

理ACDO也是等邊三角形，/.ZCDO=ZDOA=60°,AE=CD=AD=AO=DD=a.AAOCD,又AE二CD,，

四邊形ACDE是平行四邊形，易知DM-a,???平行四邊形ACDE面積

2

考點：切線的性質(zhì).

5.（2017?北京?中考真題）如圖，AB是。0的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC_LOA于點C,過點B

作。O的切線交CE的延長線于點D.

（1）求證:DB=DE;

[2）若AB=12,BD=5,求。。的半徑.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）由切線性質(zhì)及等量代換推出/4二/5,再利用等角對等邊可得出結(jié)論；

（2）由已知條件得出sin/DEF和sinNAOE的值，利用對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等推出結(jié)論.

試題解析：（1）；DCJ_OA,/.Zl+Z3=90o,?.?BD為切線，???OB_LBD,AZ2+Z5=90°,

VOA=OB,.\Z1=Z2,VZ3=Z4,AZ4=Z5,在△DEB中，Z4=Z5,/.DE=DB.

(2)作DF1AB于F,連接OE,VDB=DE,.*.EF=1BE=3,在RT/kDEF中,

一np4

EF=3,DE=BD=5,EF=3,ADF=V52-32=4.*.sinZDEF=—=-,<NAOE二NDEF,?二

DE5

在RTAAOE中，sinZAOE=—=-,

AO5

VAE=6,AAO=—.

2

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，切線定理，三角形相似，三角函數(shù)等知識，結(jié)合圖形正確地選

擇相應(yīng)的知識點與方法進(jìn)行解題是關(guān)鍵.

6.(2018?北京?中考真題)如圖，48是。。的直徑，過。。外一點P作。。的兩條切線PC,PD,切點分別為

C,D,連接。P,CD.

(1)求證：0PlC。；

(2)連接BC,若4048=50。，Z.CBA=70°,0A=2,求0P的長.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到PC=P。，OP平分4CPD.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到PQ_LC。于Q,即

OPLCD.

(2)連接線、0D.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)得到"00=180。-=60。.進(jìn)而

得至Ij/DOQ=：4COD=30°.在Rt^OOP中，解直角三角形即可.

【詳解】

（1）證明：:PC、PD與。0相切于C、D.

：.PC=PD,OP平分"PO.

在等腰△PC。中，PC=PD,PQ平分/CPD.

，「（21。。于、，即OPICO.

（2）解：連接。C、OD.VOA=OD

：.WAD=Z-ODA=50°

：.Z.A0D=1800-LOAD-/.ODA=80°

同理：Z.BOC=40°

:,乙COD=180°-Z-AOD-Z.BOC=60°.

在等腰AC。。中，OC=OD.OQ1CD

：.Z.D0Q=^Z.COD=30°.

??7。與0。相切于。.

：.ODLDP.

?"ODP=90，

在長八OOP中，/-ODP=90°,Z-POD=30°

.0P=-^-=-^-=^=M

??cos"°Dcos30°當(dāng)3.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，解直角三角形等，題目比較典型，綜合性比較強，難度適中.

7.（2019?北京?中考真題）在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點A,B,C,如圖所示.點O到點A,B,C

的距離均等于a（。為常數(shù)），到點O的距離等于。的所有點組成圖形G,乙4BC的平分線交圖形G于點D,

連接AD,CD.

（1）求證：AD=CD；

（2）過點D作DE1BA,垂足為E,作DF1BC,垂足為F,延長DF交圖形G于點M,連接CM.若AD=CM,

A?

求直線DE與圖形G的公共點個數(shù).

B?C

【答案】依題意畫出圖形G為。0,如圖所示，見解析；（1）證明見解析；（2）直線DE與圖形G的公共點

個數(shù)為1個.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出圖形G為。O,再根據(jù)在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等得

出帥=比）；從而得出弦相等即可.

（2）先根據(jù)HL得出ACDFgZ\CMF,得出DF=MF,從而得出BC為弦DM的垂直平分線，根據(jù)圓心角和

圓周角之間的關(guān)系定理得出NABC=NC0D,再證得

DE為。0的切線即可

【詳解】

如圖所示，依題意畫出圖形G為OO,如圖所示

，加=絕AAD=CD

(2)解：VAD=CD,AD=CM,ACD=CM.VDF1BC,AZDFC=ZCFM=90°

在RtACDF和RtACMF中

｛方二空，,RsCDF也RsCMF(HL),???DF二MF,???BC為弦DM的垂直平分線,BC為G)O的直徑,

CF=CF

連接0D

VZCOD=2ZCBD,ZABC=2ZCBD,AZABC=ZCOD,，OD〃BE.

又AZDEB=90°,AZODE=90°,即OD_LDE,，DE為GO的切線.

???直線DE與圖形G的公共點個數(shù)為1個.

【點睛】

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，圓心角和圓周角之間的關(guān)系定理，切線的判定，熟練掌握相關(guān)的知識是解

題的關(guān)鍵.

8.(2020.北京?中考真題)如圖，AB為。0的直徑，C為BA延長線上一點，CD是。O的切線，D為切點，

OF_LAD于點E,交CD于點F.

(1)求證：NADC二NAOF；

(2)若sinC=,BD=8,求EF的長.

\B【答案】(1)見解析；(2)2.

【解析】

【分析】

(1)連接OD,根據(jù)CD是。O的切線，可推出NADC+NODA=90。，根據(jù)OF_LAD,ZAOF+ZDAO=90°,

根據(jù)OD=OA,可得NODA=NDAO,即可證明；

(2)設(shè)半徑為r,根據(jù)在RSOCD中，sinC=1,可得。。=r,0C=3r,AC=2r,由AB為。O的直徑,

得出/ADB=90。，再根據(jù)推出OF_LAD,OF〃BD,然后由平行線分線段成比例定理可得案=警=；,求出

DUAD/

OE,黑=弓=2求出OF,即可求出EF.

oUDC4

【詳解】

(1)證明：連接OD,

C

〈CD是（DO的切線，

AOD1CD,

???ZADC+ZODA=90°,

VOF1AD,

ZAOF+ZDAO=90°,

VOD=OA,

:.NODA=NDAO,

:.ZADC=ZAOF；

（2）設(shè)半徑為r,

.OD1

?,荷=7

??OD=r,OC=3r,

VOA=r,

/.AC=OC-OA=2r,

???AB為。O的直徑,

???ZADB=90°,

又?.?OFJ_AD,

???OF〃BD,

.OEOA1

>.—=—=???OE=4,

BDAB2

?.OF__OC_3

，0F=6,

：.EF=OF-OE=2.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是90。，靈活運用知

識點是解題關(guān)健.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

1.(2022.北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，A8是。。的直徑，弦CD1AB,垂足為H,E為屬上一點,

過點E作。。的切線，分別交01力8的延長線于點凡G連接交CO于點P.

(1)求證：EF=FP；

(2)連接A。，若AD||尸G,CD=8,cosF=g,求。。半徑.

【答案】(1)見解析

(2卓

【解析】

【分析】

(1)連接0E,要使EF=FP,需要NFEP=NFPE,通過切線和垂直的已知條件，利用等角的余角相等可得

/FEP=NFPE,結(jié)論可得.

(2)設(shè)圓的半徑為r,在中，利用勾股定理可以求得半徑兒

(1)證明：連接。E，

???石尸是圓的切線,

：.OELEF,

/.NOEF=900.

NO￡4+NAM=90°.

9

：CDLABf

:.ZA/7C=90°.

，NOAE+NA尸”=90。.

?：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA.

:.ZAEF=ZAPH.

■:/APH=4EPF,

???/EPF=/AEF.

：.EF=PF.

(2)

連接。D,設(shè)圓的半徑為r,

???直徑48_LCO于"，6=8,

：.CH=DH=4.

?：AD"FG,

:.ZADH=ZF.

cosZADA/=cosF=-

5

AD=CH=5AH=y/AD2-DH2=3/.OH=OA-AH=r-3.

COS^ADH

222

在RIAODH中，?:OH+DH=ODf

/.(r-3)2+4三產(chǎn).

??.OE=r=g【點睛】

o

本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理和解直角三角形的知識.使用添加圓

中常添加的輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?北京房山?二模)如圖，已知AB是半。。的直徑，點”在。。上，E是g的中點，連接AE,過點

E作EC1AH交AH的延長線于點C.過點E作EF1AB于點F.

c

E

(1)求證：CE是。。的切線;

(2)若/8=2,絲=匕，求。尸的長.

AF2

【答案】(1)見解析

⑵。產(chǎn)=1

【解析】

【分析】

(1)連接。石，由于七為什8的中點，根據(jù)圓周角定理可知NI=N2,而40=E0,則N3=N2,于是N1=N3,

根據(jù)平行線的判定知OEIIAC,而AC_LCE,根據(jù)平行線的性質(zhì)知

ZOEC=90°f即OE_LCE,根據(jù)切線的判定可知”是。。的切線；

⑵由于AB是直徑，故NAED=90。，WEFLAB,易知N2=N4=N1,那么3/1=3。/2麗/4琮=爭

在RIAEF8中，利用正切可求出ER同理在RSAE尸中，可求出4尸，得半徑08=3,進(jìn)而可求出0F.

(1)證明:連結(jié)0區(qū)

???點E為月8的中點，

???ZJ=Z2,

：OE=OA,

：.Z3=Z2,

AZ3=Z1,

???OE〃AC,

VAC1CE,

：?OELCE,

???點E在。。上，

是。。的切線.

Q)

連結(jié)EB,

丁八區(qū)是（DO的直徑,

:.NA￡B=90。,

?：EFLAB^^F,

NAFE=NEFB=90°,

:.Z2+ZAEF=Z4+ZAEF=90°,

AZ2=Z4=Z1,

,,EFV2

?一=一，

AF2

Atan￡1=T*

.*.tanZ4=^,

2

在RSEPS中，NE尸8=90°,FB=2ttan/42,

2

:.EF=20

設(shè)OE=x,則OB=x.

?:FB=2,

：,OF=x-2,

???在RsOM中，NE/0=90。，???/=(X-2)2+(2&)2,

.*.x=3,

：.OF=l.

【點睛】

本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定

義，作出輔助線，熟練掌握圓的切線判定方法，是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?北京朝陽?二模）如圖，A8為。。的直徑，C為。。上的一點，0。_L力8交4c于點E,DE=DC.

D

(1)求證：DC是0O的切線;

B

(2)若04=4,0E=2,求cos。.

【答案】(1)見解析

【解析】

【分析】

(1)連接。C.證NO390。，即可得出結(jié)論；

⑵先求出0C=4.再同由勾股定理求出OC=3,OD=5f最后由余弦定義cosD=需求解.

(1)證明：如圖，連接OC.

???。。1A8交4c于點E,

???乙40。=90°,

???NA+ZJ1EO=90°.

*：Z-AEO=乙DEC,

?Z+乙OEC=90。.

*：DE=DC,

?"DEC=Z-DCE,

<OA=OC,

Z.A=Z.ACO,

/.ZOCD=Z.ACO+乙DCE=90°,

：.DCIOC,

???OC是。。的切線,

(2)

解：VzOCD=90°.

：-DC2+OC2=OD2,

*：OA=4,

：.OC=4.

設(shè)。C=x,

VOE=2,

??x24-42=(x4-2)2.

解得％=3,

ADC=3,OD=5.

???在RsOCO中,cosD=^=1.

【點睛】本師考查切線的判定，解直角三角形，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?北京東城?二模)如圖，在4ABC中,AB>AC,^BAC=90°,在CB上截取CD=CAt過點。作DE1AB

于點E,連接AD,以點4為圓心、4E的長為半徑作04.

【答案】(1)見解析

(2卓

【解析】

【分析】

(1)過點