安徽省亳州市2024-2025學年高三年級上冊開學考試 數學試題（含解析）

2025屆安徽省高三摸底大聯考

數學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

3.本卷命題范圍：高考范圍。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.在復平面內、復數（l+i）4（l-i）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合4=卜。*|5%—14<0},5=卜題2（%—2）<2}.則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{3,4,5}B.{1,2}C.{3,4,5,6}D.{1,2,6}

3.有一組數據，按從小到大排列為：1,2,6,8,9,相，這組數據的40%分位數等于他們的平均數，則m為

（）

A.9B.10C.11D.12

4.已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積為攻扃的球面上，該圓柱的側面積為

3

（）

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

5.已知〃￡[o,]],sin3a=5sinQCOs2。，則tana值為（）

A.A/3B.—C.—D.1

22

6.已知雙曲線——/=1（[〉0）,點同在。上，過點加作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為

a

若|加如|“5|=j則雙曲線C的離心率為（）

A新R26「2#A

A.B.------C.------D.73

233

7.已知函數〃尤）的定義域為R,y=/（x）+e*是偶函數，y=/（x）—3e*是奇函數，則〃ln3）的值為

（）

71011

A.一B.3C.—D.—

333

8.數列{4}的前幾項和為S,,滿足a,-]—%={1,3},q=2,則幾可能的不同取值的個數為（）

A.45B.46C.90D.91

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

3

9.已知隨機變量X滿足：X-JB（4,/?）,0<Jp<l,E（X）=-D（X）,貝U（）

24

A.p=-B.E（X）=-

1139

C.E（2X+l）=yD.D（2X+l）=y

10.設函數/（x）=（x-a）2（x-4）,定義域為R,若關于x的不等式/（%）..0的解集為{乂.4或x=1},

下列說法正確的是（）

A./（%）的極大值為。

B.點（2,—2）是曲線丁=/（力的對稱中心

C.直線y=9x—4與函數/⑺的圖象相切

D.若函數〃尤）在區(qū)間,4）上存在最小值，則加的取值范圍為（0,3）

11.已知曲線C:（/+y2—2丫=4+8盯，點P（%,為）為曲線C上任意一點，則（）

A.曲線C的圖象由兩個圓構成

B.+的最大值為20

C.生它的取值范圍為-工,1

毛+4L7_

D.直線y=x+2與曲線C有且僅有3個交點

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.

12.已知向量萬=（2,3）萬=~,|）,且他+25）〃瓦，則向是5在向量口上的投影向量坐標是

13.已知函數/（x）=2sinox與8（%）=285。*（。＞0）的圖象上任意3個相鄰的交點構成直角三角形，則

CD—.

14.用幾個不同的元素組成機個非空集合（啜弧“，每個元素只能使用一次），不同的組成方案數記作S：,

且當〃＞帆.2時，S：=S；＜+.現有7名同學參加趣味答題活動，參加一次答題，即可隨機獲得

A,5C,。四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學獲得卡片后，

可集齊全4種卡片的概率為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.（13分）

在△ABC中，內角A5C所對的邊分別為仇辿=2sin|C--

cosB16）

（1）求5；

（2）若/VRC的面積為邊上的高為1,求△ABC的周長.

16.（15分）

22,Z5"

已知橢圓C:j+4=l（a〉6〉o）的左、右焦點為耳，耳，離心率為△一,點P為橢圓C上任意一點，

ab3

且片工的周長為6+4后.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線4：丁=九+6與直線6：y=x—近分別交橢圓C于A3和C,D兩點，求四邊形ABCD的面積.

17.（15分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABIICD,NABC=9b，平面隊D_L平面ABCD,AB=2CD=25C=4.

（1）證明：PAYBD-,

（2）若24=?！辏?2,點M為棱A3的中點，求二面角A—PD—M的余弦值.

18.（17分）

已知函數/（x）=x-ln（x-a）,a＞0.

（1）若x=2為函數/（九）的極值點，求。的值；

（2）若不等式lna+a—ln2恒成立，求。的取值范圍.

19.（17分）

已知數列｛4｝,對于任意的〃eN*,者B有a〃+a“+2〉2a“+j,則稱數列｛4｝為“凹數列”.

（1）判斷數列4=2"是否為“凹數列”，請說明理由；

（2）已知等差數列｛々｝,首項為4,公差為d,且，:，為“凹數列”，求d的取值范圍；

（3）證明：數列｛%｝為“凹數列”的充要條件是“對于任意的,當左＜加＜〃時，有

CCCC

m-k＜n-mv

m—kn—m

2025屆安徽省高三摸底大聯考一數學

參考答案、解析及評分細則

1.B(l+i)4(l-i)=[(l+i)2]2(l-i)=-4(l-i)=-4+4i,所以復數(1+以(1—i)在復平面內對應的點

在第二象限.故選B.

2

2.DA—|xeN*|x—5x—14<oj={1,2,3,4,5,6},B=|x|log2(x—2)<21={x|2<x<6},所以

AB={3,4,5},所以圖中陰影部分表示的集合為{1,2,6}.故選D.

3.B因為該組數據共6個，且6x40%=2.4,所以這組數據的40%分位數為第三位數，即6,則

，1+2+6+8+9+加左力，曰1八,,

6=----------------------，解得加=10.故選B.

6

4.A球的體積為±兀火3=改后,可得其半徑R=如，圓柱的底面直徑為2,半徑為r=l,在軸截面

33

中，可知圓柱的高為丸=2,尺2—戶所以圓柱的側面積為2兀所=8兀。故選A.

5.C因為51113。=55111。以)52。，所以sin(a+2a)=5sinacos2。，可得

sinacos2cr+cosasin2。=5sinacos",即cosasin2a=4sincrcos2a,

所以4tana=tan2a=2tan：,解得tana=?~。故選C.

1-tancir2

6.B設點A/(X0,%),則一-y：=1,即％;—

又兩條漸近線方程為y=±4x,即%土ay=0,

a

故有|?|M3|=/+研|.Ixo-Qy°la23byc2A/3_

F=—，所以e=-=-----?故選B.

y+1J/+1c24a3

7.D因為函數y=〃x)+e%為偶函數,則/(—%)+ef="%)+],即/(￡)—/(—%)=?-%—/①,

又因為函數y=〃x)—3ex為奇函數，則/(f)—3。=—/(尤)+33,即/(%)+/(—x)=3e%+3er②,

聯立①②可得〃x)=e*+2eT,所以/■(1113)=6,+2e-M3=].故選D.

8.B由題設可得?！?2+4+&++4-1，其中4G{1,3},故〃+掇以3〃一1,且{叫奇偶交錯出現。

（1）若4為奇數，由&e{l,3}可得對4可取遍［〃+1,3”—1］中的每一個奇數；（2）若乙為偶數，由

4e{l,3}可得對4可取遍［“+1,3〃—1］中的每一個偶數，又"=2〃+（〃—1）4+（〃—2”2++4_1，

當4=1?=1,2,-,〃—1）時，S,=12；考慮4=l（i=L2,.,〃—l）時，4調整為3,則對應的S,

可增加2（〃-。，依次對諸4至少一個）調整為3后

V7

\、+2張02+2+2X2+2X3++2（n-l）,即，+2效6〃\）,從上述的

調整過程可得S“取遍了」——乙八-----L中的奇數或偶數（取奇數還是偶數取決于一^——的奇偶

［22）2

性），當n=10時，S"取遍了［65,155］中的奇數,合計46個，故選B.

331

9.BCD因為X?5（4,0）,所以石（X）=5D（X）=5〃p（l—p）=利，解得p=3，故A錯誤；

411

E（X）=np=},故B正確；E（2X+l）=2E（X）+l=y,故C正確；

32

D（2X+l）=4D（X）=4np（l-p）=y,故D正確.故選BCD.

10.ABC對于A,由/（x）=（x-a）2（x-4）..O,解得X..4或x=a,

所以a=l,/(x)=(X-1)2(X-4),則/'(x)=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

當尤G(1,3)時，/,(x)<0；當xe(-co,l)或九e(3,+co)時，/f(x)>0；

可知/(九)在(—oo,1),(3,+8)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減，

所以函數/(%)的極大值/(1)=0,故A正確；

對于B,因為/(2+X)+〃2—X)=(X+1)2(X—2)+(1—X)2(—X—2)=Y,故B正確；

%=(%-(%()-4),

Y一(J

對于C,設切點為(%,%)，貝U9=3(%—1)(%—3),解得(°'

4，

yQ=9xQ-4,%

所以直線y=9x—4與函數八％）的圖象相切于（0,—4）,故C正確;

對于D,由A選項知〃尤)在(-00,1),(3,+8)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，

又/⑶=T,令/⑺=T,解得x=0或3,函數〃尤)在區(qū)間(加,4)上存在最小值，

所以加的取值范圍為［0,3),故D錯誤.故選ABC.

11.AC由(%2+y2-2)=4+8盯，得(爐+/)-4(x?+9)+4=4+8孫，

即(/+y2)2-4(x+y產=0,gp(x2+/+2x+2y)(V+J—2無一2y)=0,

所以_?+/2+2》+2/=0或/+,2_2》_2,=0,即(x+l)2+(y+l)2=2或(x_l)2+(y_l)2=2,

所以曲線。表示以〃(—L—為圓心，血為半徑的兩個圓，故A正確；

器+公表示點(毛，%)到原點距離的平方，最大值為(NO+0)2=(2jI)2=8,故B錯誤；

如圖所示，設過點4(—4,—2)且與圓N相切的直線方程為丁=左(4+4)—2,

|5左一3|r-7

則點N到該直線的距離&=?1=V2,解得匕=1,a='，即圖中直線AC的斜率為1,

23

直線AC的方程為y=x+2,點河到直線AC的距離為=正，則直線AC與圓M相切，

13左，xl

設過點A且與圓M相切的直線方程為y=《(X+4)—2,則點M到該直線的距離d2=一1=a，

J1+代)2

1.r\

解得《=1&,=一一，理一表示的是點(%,%)到點(-4,—2)的斜率,

7XQ+4

故席

的取值范圍為-,故C正確;

7

由C項可知直線y=x+2與圓M、N均相切，所以直線y=x+2與曲線C有且僅有2個交點，故D錯

誤.故選AC.

12.由題意知5+2Z?=(2+2m,6),因為(5+26)〃5，可得2乂6=3(2+2加)，解得加=1,

_13

所以5在5上的投影向量為同?cos伍可弓="_0=2義（2,3）=11,艾

a|ci|13I2J

13.-^―如圖所示，設函數f(x)=2sinox(o>0)與g(x)=2coscox的交點分別為

4（%,%）,5（孫％）,。（毛,%），

,.c/口1LLt、l兀3兀971

由2sms:=2cos5得tan?;=I,所以coxx=—.cox2=—,(vx3=—,

則X=%=2sin：=J5,y2=-A/2,所以△ABC為等腰直角三角形，

所以點B到直線AC的距離為；|AC|,即X—%=g(x3—%),解得①=字.

525

14.根據題干可列出S：對應取值表格如下:

1024

1234

11XXX

211XX

3131X

41761

51152510

61319065

7163301350

即S；=l,S；=63局=30l,S。=350,7個人集齊全4種卡片等價于7個不同元素組成4個非空集合,

q4A4<25

再將4個非空集合對應A氏C,D4種卡片，所以p二三六二——

471024

15.解：(I)由c°sA=2sin(C—工］，得cosA=2cos54■sinC—^cosC，①

cosB\6)22

由A+JB+C=?,得<：054=-005(5+。)二一(305比05。+51118$111。，②

由①②聯立，得siaBsinC=^cosBsinC,

由?！辏?,兀），得sinCwO,所以tanB=J§\

又由5￡（0,兀），得3=].

（2）因為ZVIBC的面積為外，

所以=指，得人=2月.

2

由工acsinB=即=所以〃c=4.

222

由余弦定理，得A?=片+02-2accos3,12-a2+c2-ac,

所以（a+c）2=3ac+12=24,可得a+c=2?,

所以ZVLBC的周長為a+0+c=2、/d+2目.

16.解：（1）由題意知e='=2、歷,且2。+2c=6+4j^,〃=,

a3

解得。=31=l,c=2也，

x2，

則橢圓C的方程為上+9=1.

9-

(2)易知四邊形ABCD為平行四邊形，設A(%,%),5(%,%)，

y=x+?3,_

聯立直線4與橢圓C：＜爐消去y并整理得5爐+9瓜+9=0,

Lj

9

由韋達定理得X+x=—

x2可西々=不

2

\AB\=y/l+kJ（X]+々）2-4西々=

6-（-6）

因為A5與C。平行，所以這兩條直線的距離1==布,

3xR-6

則平行四邊形ABCD的面積S=\AB\-d=用后

55

17.(1)證明：因為AB〃CD,NABC=90,所以,

所以3￡>=+CD?=2應,NCBD=45，所以NAB￡>=45,

DF)nB

因為一=-^―=cosZABD,所以/AD5=90,即ADLBD.

AB4

又因為平面平面ABC。，平面PAD〕平面A3CD=AD,所以80,平面MD,

因為QAu平面B4。，所以5DLB4。

(2)解：取A￡)的中點。，連接PO,MO,

由(1)知AD=ABsin45=2^2,因為B4=?D=2,易知PO，AD,PO=0,

因為M為A5的中點，。為A。的中點，所以OM=LBD=4i,OM〃BD,

2

所以。心，平面B4D,所以OP,OM,O￡>兩兩垂直，

以。為坐標原點，OM,OD,OP所在直線分別為蒼y,z軸，建立空間直角坐標系，

則A(0,-V2,0),P(0,0,V2),D(0,A/2,0),M(A/2,0,0),

平面AP。的法向量為沅=(1,0,0),

設平面PDM的法向量為方=(%,y,z),

[n-PD=(x,y,z)-(0,V2,-V2)=V2y-V2z=0,

n-PM=(x,y,z)?(后,0,-后)=夜X—0Z=0,

令z=l,則x=y=l,故方=(1,1,1),

,,/___\m-n1v3

故川=麗=存=5'

設二面角A—P￡>—M的大小為。，由圖形可知，。為銳角，

故二面角A-PD-河的余弦值為且.

1

18.解：(1)f(x)=l-

x-a

由題意知/'(2)=1—±=0,解得Q=1,

經驗證此時x=2為函數/(%)的極值點，故々=1.

(2)設/z(x)=ln(x-a)+J9a-44,定義域為

，/、12^9a-^x-2(x-a\

h(%)=----------.r=--------/:—,

x-a。9〃-4%(％-a)j9a-4%

設g(x)=,9〃-4%-2(%一〃)(a<x<—|,

所以g'(x)=12=—2<0,所以g(x)在。，亍9a上\單調遞減,

y/9a-4x

5a八

又g(a)=回〉0,g［當］=-——<0,

2

(9a

所以存在不使g(尤o)=J9a-4%-2(xo-a)=O,

所以當xe(a,%)時，g(x)>0,即”(x)>0,函數人⑺單調遞增,

當xe",引時，g(x)<0,即〃(x)<0,函數人⑺單調遞減,

所以函數人(左)的最大值

=_a+

"