2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)共圓問題 學(xué)案講義

第9章點(diǎn)共線.線共點(diǎn).點(diǎn)共圓問題

乞1解法概述

一、證明三點(diǎn)共線的常用方法

(1)取三點(diǎn)中的一點(diǎn),與另外兩點(diǎn)分別連兩條直線，證明它們都平行于或都垂直于某一條直線.

(2)證明連接兩點(diǎn)的直線通過第三點(diǎn).

(3)以三點(diǎn)中居中的點(diǎn)為頂點(diǎn)，過另外兩點(diǎn)作兩條射線，證明形成平角.

(4)居中的點(diǎn)與另外兩點(diǎn)分別相連,形成兩條直線，若與過中間點(diǎn)的一條直線組成對頂角，則三

點(diǎn)共線.

(5)連接三點(diǎn)的三條線段中,有一條等于另外兩條之和.

(6)以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為0.

(7)同一法，反證法.

二、證明三線共點(diǎn)的常用方法

(1)設(shè)兩直線的交點(diǎn)，再證明此點(diǎn)在第三條直線上.

(2)證明各直線都過同一個(gè)特殊點(diǎn).

(3)設(shè)兩直線的交點(diǎn)，過此交點(diǎn)作出某一條直線，證明這條直線與第三條直線重合.

(4)證明以三直線兩兩相交的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為0.

(5)利用已知的線共點(diǎn)的結(jié)論.

(6)同一法、反證法.

三、證明四點(diǎn)共圓的常用方法

(1)四邊形對角互補(bǔ)或者某一外角等于內(nèi)對角.

(2)線段同側(cè)的兩點(diǎn)對于線段的張角相等.

(3)各點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離相等.

(4)利用相交弦定理的逆定理.

(5)把四邊形分成兩個(gè)有公共邊的三角形,證明這兩個(gè)三角形的外接圓重合.

(6)利用四點(diǎn)共圓的有關(guān)判定定理.

q.2范例分析

[范例1]

三角形一邊上的高線的垂足在另外兩邊及另外兩高線上的射影四點(diǎn)共線.

分析1對于四點(diǎn)共線問題，先證其中三點(diǎn)共線，再證第四點(diǎn)也在該直線上，如圖F9.1.1所

示,我們先證尸、。、M三點(diǎn)共線，這只要證.容易看出氏p、

°、。共圓,D、0、H、M共圓，所以N?+/PQD=180，ZDQM-ZDHM,

于是只要證=，這可由8、D、H、尸的共圓證出.

證明1因?yàn)樘?N8QD=90所以仄P,。、。共圓所以“QD+，8=180.

圖F9.1.1

因?yàn)閆DQH+ZDMH^+90=180，所以。、。、〃、M共圓，所以

ZDQM=ZDHM

因?yàn)閆HDB+ZHFB=90+90=180所以5、。、〃、廠共圓，所以

NDHM=ZB.

所以/FOD+/Cgw=180，即尸、0、M三點(diǎn)共線.同理N、M、。共線.因?yàn)?/p>

M、。為兩直線上的公共點(diǎn)，所以P,Q,M,N四點(diǎn)共線.

A

圖F9.1.2

分析2也可以采用同一法，連PN,再證明Q,M在直線PN上.

設(shè)PN與BE,。尸各交于Q，M，如圖F9.1.2所示.因?yàn)?180，所

以/、P、D、N共圓，所以/1=/2.又由4E、D、8共圓，/1=/3,所以

N2=N3,所以ADQ、.共圓，所以/BQD=/BPD=90,即IBE.^B

過砧外的點(diǎn)。只能作一條垂線與砧垂直，由QQ上BE,DQ1BE，可見。與Q重

合.同理M與重合.這就證出了P,Q,M、N共線.（證明略.）

分析3如圖F9.1.3所示，連PN、PQ.若能證出PN、PQ都與同一條直線平行，則P、

N、Q共線.從圖上觀察，容易發(fā)現(xiàn)EF是所說的直線，連EF.

因?yàn)镃FJ.AB,DPLAB,所以CFUDP,同理BE//DN.設(shè)H為ABC的垂心.由

AF_AHAH_AE知AF苗,所以PNUEF.只要再證PQI/EF,也就是要

FP-HD'HD-ENFP

BPBQ

證明一=—

PFQE

圖F9.1.3

和證明PN//E廠的方法類似，我們也嘗試找一媒介比值，這只要取殷即可，很容易由平

DC

BPBQ

行截比定理證出西=近，所以尸—.

這表明從P發(fā)出的兩直線P0、PN都與￡尸平行，所以尸，。、N共線.同理可證RM、

N共線.（證明略.）

［范例2J

Q和。外離，44是一條外公切線，4外是一條內(nèi)公切線，4,4是Q上的切點(diǎn)，

4、片是Q上的切點(diǎn)，則QQ、44、4用三線共點(diǎn).

分析1證明三線共點(diǎn)，可先設(shè)兩條直線交于一點(diǎn)，再證另一直線也過此點(diǎn)或兩直線與第三

條直線的交點(diǎn)都與之重合.設(shè)44和4外交于p，容易證明P、4、Q、與共圓，利用圓

的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角的定理，可證E44s用，從而推出44//股.

同理有O\PHB艮，這樣分析后可以看出有可能通過比例證出44、4片和QQ的交點(diǎn)

重合.

圖F9.2.1

證明i連Q4?4、。2片、。耳,延長為4,交44于P,連萬q、PO2,設(shè)月q交

44于4,世交44于。.如圖F921所示.

因?yàn)?B\P,OBIB2P,所以R4、Q、與共圓，所以4/弭=24Q片.

O2BX22

因?yàn)橐?現(xiàn)，O2B1=O2B2,所以等腰4%s用，所以/B24a=N%4.

因?yàn)?4，4旦，即/4綽2+/與4〃=9。，所以為4+44。=90，所以

44紇

因?yàn)楣膳c，所以世〃44.

因?yàn)镻OX144，所以PQ〃3線.

設(shè)44的延長線交aa于",設(shè)44和°\°2交于N.由平行截比定理，

PD[_02MO2D2_02N

DQ—MO；D2P一市

因?yàn)橐?s0?咯,PKB2sQAA,所以黑=[＜，盥=普，所以

生=型,所以PD\—。4

O2D2D2P'以D2P

OM__ONO?M+MO\_QN+NO]

所以22.由合比定理,即空L_9,所以

M0「NO、MO,—NO1MOXNO1

Aq=NO\,所以M、N重合.

所以44、4與、qq三線共點(diǎn).

分析2。14和Q4同垂直于W4，則Q4和Q4可看作以44為直徑的圓的兩條切線?同

理Q4、q用都垂直于4與，則Q4、q用又可看作以4名為直徑的圓的切線.因?yàn)?/p>

Q4=Q4,Q4=Q用，可見Q、Q是到兩個(gè)圓的切線長相等的點(diǎn)，即直線QQ是

此二圓的根軸.

由分析1知44上咯,設(shè)垂足為因?yàn)镹AMB、=/&呵=90,所以“是此兩圓

的公共點(diǎn).故QQ應(yīng)在兩圓的公共弦線上.這樣，只要連QM證出Q、弘g共

線，問題就解決了.證明這樣的三點(diǎn)共線可采取分別證出Q、Q都在過河的某一條直線上的

方法.

證明2設(shè)44的延長線和44交于"如證明1所證，4M片?如圖F9.2.2所示，以

44、4用為直徑各作一個(gè)圓.因?yàn)镹&MB：=/4g=90,所以M在此兩圓上.設(shè)兩

圓另外一交點(diǎn)為N.

連Q4,Q4,Q用Q區(qū).因?yàn)镼4,44,，所以如和Q4是

F9.2.2

44的兩條切線?同理Q4和Q與是4片的兩條切線.

連,設(shè)QM與44和4與各交于可、可,由切割線定理，

Of=oM-ONi,?？?(W-Q%.因?yàn)?。?0g，所以O(shè)fQV,=OMON2,所

以。風(fēng)=。％.所以耳、“重合,即可是44和4片?的公共點(diǎn).因?yàn)閮蓤A相交只有

兩個(gè)公共點(diǎn)，所以N、”都與N點(diǎn)重合.可見Q在1w上,即Q在44和4用的公

共弦上.同理可證q在初乂上，所以Q、M、q三點(diǎn)共線.

所以QQ、44、片用三線共點(diǎn).

分析3這個(gè)公共點(diǎn)是否能預(yù)先確定它的性質(zhì)?也即是說，M點(diǎn)是怎樣的特殊點(diǎn)?作出另一條

內(nèi)公切線斯，E、廠各是Q、q上的切點(diǎn).設(shè)防的延長線與4^交于“，過《作

明，qa，M為垂足，則這個(gè)垂足M即是所說的點(diǎn).這樣，我們可以先作出M,然后證

出44、/片也過此點(diǎn).這只要在連4M即/后證出/a［物=/與此,則可推知

4、M、與三點(diǎn)共線.同理，4、M、4三點(diǎn)共線.可見44、4片都過QQ上的這個(gè)特

殊點(diǎn)

4

圖F9.2.3

證明3作另一條內(nèi)公切線所,在Q上的切點(diǎn)為￡.在Q上的切點(diǎn)為尸.延長￡尸，交

W4于片，過《作q02的垂線晶，交4員于月，交°\°2于M.連

響、MB2、MF、QK、?4、02F，如圖F9.2.3所示.

由整個(gè)圖形關(guān)于OXO2軸對稱知/R鳴=用蟠.因?yàn)榧?明都是切線,所以

QFl^F,Q4上鶴，可見片、F、M.Q、4五點(diǎn)都在以。耳為直徑的圓上，所

以NFM^=NFO2A,又NFQK=NB101K,N4a4=/8；物,所以

q物=/與此,可見4、M、反共線，即44與QQ也交于M點(diǎn).

同理，利用《、片,M、E、Q（以Q4為直徑）五點(diǎn)共圓及關(guān)于QQ的軸對稱性，又可證

出4/=4必、可見4、4、M共線，即44的延長線也過M點(diǎn).

綜上，44,4與，QQ三線共點(diǎn)于M.

[范例3]

P為等腰的底邊上的任一點(diǎn)，PQUAB,PRIIAC，分別交ZC、4B于

Q、R設(shè)D為P點(diǎn)關(guān)于直線RQ的對稱點(diǎn),則/、D、B、C四點(diǎn)共圓.

分析1通過對角互補(bǔ)可證四點(diǎn)共圓.從條件知

RB=RP=RD,/ABC=/ACB,°。=0P=QC,又由/RP0是平行四邊形，可進(jìn)

一步得到==QD=AR，可見ADQ=DAR，所以/RON=NQZD這

時(shí)把四邊形的兩組對角分別加起來，很容易發(fā)現(xiàn)對角之和相等.

BPC

圖F9.3.1

證明1如圖F9.3.1所示，連R。、.由對稱性，尸，RD=RP.

易證/RP0是平行四邊形，所以。P=/尺，RP=AQ，所以NE=。。，AQ=RD，所以

ADQ=DAR，故=

①易證RP=RB,所以RB=RD,NRDB=NRBD

②因?yàn)锳B=AC,所以ZABC=ZACB

③式①+式②+式③得

ZQAD+ZABC+ZRBDZRDA+ZRDB+ZACB

即ZDAC+NDBC=ZADB+ZACB.

因?yàn)?。/。+/。3。+//。8+//<?8=360，所以/ZUC+/D8C=180，所以

/、D、B、C共圓.

分析2要證四點(diǎn)共圓，還可通過證明NBDC=NA4c由于=ZPQC=ZBRP,

只要證出NBDC和其中任一角相等即可.但是直接證NBDC和ZBAC.ZPQC、

心中的任何一個(gè)相等都有困難，這時(shí)可試著把/ADC分成幾部分，若每部分都和要

證的角有一定的關(guān)系，則。整體也容易建立與要證的角的聯(lián)系.

注意到RD=RB=RP,QD=QP=QC的事實(shí),可以想到BDP的外心是凡PDC的外

心是。，引用圓周角和同弧對的圓心角關(guān)系的定理，可很快證出結(jié)論.

證明2連?！?DP、DR、DC，如圖F9.3.2所示.

易證RD=PB=PR,°。=°尸=°C可見人是。皮3的外心，。是PQC的外心.由

圓周角和同弧上的圓心角關(guān)系的定理，NBDP=g/BRP,NPDC=；/PQC

易證/BRP=/PQC=/B4C,

所以43?！?/「。。='/87?尸+工/尸℃=工/84。+,/8月。=/3/。,即

2222

NBDC=NBAC，所以/、D、B、C共圓.

圖F9.3.2

分析3要證四點(diǎn)共圓，可以通過證/、D、B、。到一個(gè)定點(diǎn)等距離.這個(gè)定點(diǎn)如果存在，

那么顯然是48。的外心。.利用BRO=AQO，可得07?=。。，即。點(diǎn)在火。的中

垂線上.只要證出ADRQ是等腰梯形，尺0、是底，則可知0也在40的中垂線上.這

樣，。到4D、B、。距離相等.

要證明ADRQ是等腰梯形，只要證出ADR=ADQ即可.

證明3設(shè)。為48c的外心.連。/、OB、OR、OQ、DR、DQ、OD、OC，如圖

Y9.3.3所示.

因?yàn)镺A=OB,所以NOAB=NOBA.又NOAB=ZOAC,所以ZOAC=ZOBA.

易證/RPQ是平行四邊形，所以Z0=R尸，又RP=RD=RB,所以AQ=RB=RD,

所以O(shè)BR三OAQ，所以?；?。。，即。在火。的中垂線上.

因?yàn)椤?=QP=ZR,RD=AQ,ND為公共邊，所以ADR=ADQ，所以R、。到40

等距離，所以/?；?。是等腰梯形.由等腰梯形的軸對稱性知，0點(diǎn)又在40的中垂線上，

即0A=0D.

所以。4=。。=。5=。。，可見/、D、B、C共圓.

圖F9.3.3

q.3研究題

[例1]

三角形的三條中線共點(diǎn).

證明i（三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)）

設(shè)中線8￡、C廠交于G,連4G并延長，交于。，延長40到〃，使朋=/G,

連BH、CH,如圖Y9.1.1所示，則GF、G￡各是血/和/7/C的中位線，所以

GF//BH,GE//HC，所以GBHC是平行四邊形，BC、GH是其對角線.

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分，所以5。=。。，所以，。是邊的中線，所以

AD,BE,CF三中線共點(diǎn).

圖Y9.1.1

A

圖Y9.1.2

證明2（三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)）

設(shè)中線5￡、。少交于G點(diǎn)，。為的中點(diǎn)，連G4GD，作CHHGD,交6￡的

延長線于〃,作EM7/CF,交AF于M,如圖￥9.1.2所示

在BCH和ACF中，由中位線定理知GB=GH,AM=MF=-AF=-BF.

22

在BEM中,由平行截比定理，型=”，，所以EG=LGB,所以，

GBBF222

所以EG=EH.

因?yàn)?￡=￡GEG=EH,所以4G、C、〃是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以

GAHCH.

因?yàn)镚4//S,GDHCH，所以4G、。共線，即40是中線，所以BE、CF=

中線共點(diǎn).

A

圖Y9.1.3

證明3（中位線定理、相似三角形）

設(shè)中線交于G，中線CF交于G.連DE，如圖

所示，則。￡是45c的中位線，所以DE,。石=匕3,由DEGs4SG知

2

AGAB

~GD~1DE~,

同理,連加后有器端=2,所以擠AG'，所以

笠產(chǎn)=/了’即卷'所以儂=G'DG與G'必定重合.

所以三中線BE、CF共點(diǎn).

證明4（三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)）

設(shè)中線5￡、W交于G，中線跖、/。交于G'.設(shè)尸，0分別是GB、GC的中點(diǎn)，連所、

PQ,如圖Y9.1.4所示，則叱、尸0分別是45。和GBC的中位線，所以

EF-BC,PQ-BC,所以￡廠PQ,所以￡、F、尸、Q是平行四邊形的四頂點(diǎn)，所

=2=2=

以GE=GP=PB.

同理，若連。￡,又可證G'E=G'P=PB,所以GE=G'E=必，所以G、G重合.

所以三中線40、BE、CF共點(diǎn).

圖Y9.1.4

圖Y9.1.5

證明5（引用第5章例2的結(jié)果）

設(shè)中線40、BE交于G,AD、CF交于G'.如圖Y9.1.5所示.

由第5章例2的結(jié)果，捺2普2,券=2若=2，所以擠薪可見G、G

內(nèi)分，。成等比值.由分點(diǎn)的唯一性知G、G'重合，即三中線BE、CF共點(diǎn).

證明6（Ceva定理）

設(shè)BD=DC,CE=EA,AF=FB.

因?yàn)槭縇.叱.匕=1,由三線共點(diǎn)的Ceva定理知AD、BE、CF共點(diǎn)

FBDCEA

證明7（面積法、反證法）

設(shè)三中線兩兩相交于P、。、R，如圖￥9.1.6所示若P、Q、R共線，表明40、BE、CF

各有兩公共點(diǎn)，所以BE、CF共線，與三角形的假設(shè)違背，所以P、0、R不共線.

若P、Q、R實(shí)際上只是兩點(diǎn),設(shè)P、。重合而與人不重合，則，。與CF有兩個(gè)公共點(diǎn),

所以40、。廠應(yīng)重合，與已知矛盾，所以P、0、火不能僅有兩點(diǎn)重合.

若P、Q、R是不共線的三點(diǎn)，則SPQRW0.連陽，如圖79.1.6所示.FD是中位線，所

以陽///C所以所以s皿_S^c=S.—S歡C所以S,=S力.

同理,SAg=SBQD'Scpe=SBpF.

連/P、BR、C0.因?yàn)?。、E、F各是BC、CA.45的中點(diǎn)，所

=

以SBRD=SCRD，SAQE=SCQE，S=SBPF?故SSD~ARF^AQPF~^~^PQR

C—C—CIVV—C—CIV

°AQE-uBQD一°BPRD丁心PQR，BPF~CPE~^CRQE丁2PQR

因?yàn)镾^QPF—APF+SAPQ=SBPF+SAPQ9^BPRD=SBBD+SBPR=S即+SBPR，

ScRQE=Sc°ECQR~+S,把它們代人式、式、式再把三式相加，

+sSAQECQR(1)(2)(3),

就得到s40P+S"依+SCO&+3S&R=0,此式表明=0,這與假設(shè)矛盾.

所以尸、。、R是一個(gè)點(diǎn)，即三中線40、BE、CF共點(diǎn).

證明8(引用第6章例5的結(jié)論)

設(shè)三中線40、BE、CF兩兩相交于P、Q、凡由第6章例5的結(jié)論，色必=,?一？一

S/BC川+2+i

這里人黑CE_AF，所以弓至=o，所以s噂=0.

)ABC

但由證明7的分析知，尸、Q,7?不可能共線或僅有兩點(diǎn)重合，所以P、Q、R實(shí)為一個(gè)點(diǎn)，

即三中線BE、CF共點(diǎn).

圖Y9.1.7

證明9(面積法、三角形全等)

設(shè)中線8￡、C廠交于G，連4G并延長，交5C于。，作曲人CN，均與力。垂直，

垂足分別是M、N,如圖Y9.1.7所示

因?yàn)閰^(qū)廠分別是4G秒的中點(diǎn)，所以SA.ihB=SAar.=-5A.tCc■所以

AEB~^AEGFAFC~^AEGF，即5跖產(chǎn)3收.又因?yàn)閟EGC~^EGA9'KS=S隰,

所以sAGCACS-

因?yàn)锳GC./GB有公共底4G,CN、是對應(yīng)高，所以QV=

因?yàn)镹CDN=NBDM,所以RtCNDvRtBMD,所以，即，D是5C邊

上的中線，所以三中線3、BE、CF共點(diǎn)

證明10(解析法)

如圖Y9.1.8所示，建立直角坐標(biāo)系.

C\/1\/i\

設(shè)。(c,0),/(a,b)，則?！?0,E—-—■

J\22J122J

內(nèi)分AD成比值2=2的點(diǎn)的坐標(biāo)為

Q

1Q+2?一

_北+AXD_2_a+。

yA+XyD_6+2.0_b

1+4—1+2—5

I33)

內(nèi)分BE成比值2=2的點(diǎn)的坐標(biāo)為

-0+2-------?

xB+AXE_2_〃+。

1+21+23

」0+2-5,

v_yB+^yE_2_b

1+21+23

（a+cb\

同法還可求出內(nèi)分庭為4=2的分點(diǎn)也是這個(gè)點(diǎn)，即是AD、BE、CF的公共

I33y

點(diǎn)，所以三中線4。、BE、CF共點(diǎn).

[例2]

三角形的三高共點(diǎn).

證明1（相似三角形、共圓）

設(shè)兩高5￡、C廠的交點(diǎn)為8,連M并延長，交BC于D,連EF,如圖￥921所示

由/、F、H、￡共圓知/1=/2.

由B、C、E、F共圓知22=/3,所以/1=/3.因?yàn)镹C為公共角，所以

BECooADC，所以//OC=/5EC=90，所以40也是高線,即三高40、BE、CF

共點(diǎn)

A

A

證明2（共圓、證三點(diǎn)共線）

設(shè)兩高5￡、CF交于H,連4H,作HD上BC,垂足為。，連尸￡,如圖Y9.2.2所示

因?yàn)?F、H、￡共圓，所以/1=/2.

因?yàn)?、C、E、尸共圓，所以N1=N/CS.

因?yàn)門AD、C、￡共圓，所以N3=N/CB.

所以N3=/2,所以4H、。共線，即,所以三高40、BE、CF共點(diǎn).

證明3（利用三角形三邊的中垂線共點(diǎn)的性質(zhì)）

分別過4B、。作對邊的平行線，三條直線兩兩相交,交點(diǎn)為《、&、。,如圖Y9.2.3

所示易證4/G各邊的中點(diǎn)分別是/、B、c，所以BE、CF是44G各邊的

中垂線.因?yàn)槿切胃鬟叺闹写咕€共點(diǎn)，所以3、BE、CF共點(diǎn)，即N5C的三高共點(diǎn).

A,

圖Y9.2.3

證明4（Ceva定理）

如圖Y9.2.4所示.

由Rt/OCsRt5￡C知2￡=生.

ACBC

由RtBE4sRtCK4知0￡=坦二

ABAC

由RtBFC-Rt80/知竺=處.

BCAB

A

圖Y9.2.4

以上三式連乘，得到0c.9.空ECAFBDr-r-isi

-------------,所以

ACABBCBCACAB

嗎=i.由Ceva定理知40、BE、CF共點(diǎn)

DCEAFB

證明5（解析法）

圖Y9.2.5

如圖Y9.2.5所示，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)。(a,0),A(b,c).

40的方程為x=6.

因?yàn)閗AC=,所以左BE=—，所以BE的方

b-ac

a-b

程為y=----x.

c

兩方程聯(lián)立可得H[b,

、C,

b(a-b).

Qb

所以％=7,kCH=—4------=—,所以=-1,所以。/,可見CH

bb-ac

也是高，所以三高40、BE、CF共點(diǎn).

[例3]

兩直線4、4交于。點(diǎn)，在4上有4B、C，滿足04=45=5。在4上有工、M、N,

滿足L0=0M=MN，則/1、BN、CW三直線共點(diǎn).

證明1(三角形中位線定理、同一法)

設(shè)4LBN交手K.連必并延長，交0B的延長線于。，連4W,如圖Y9.3.1所示，則

AM是0BN的中位線，所以AM=-BN.

2

因?yàn)長AMsLKN,所以2竺=里=3,所以NK=^AM=>BN,所以

AMLM224

11C[BKB1AT)

KB」BN=LAM-KBUAM,所以^=—=7,所以

42CXAAM2

因?yàn)?5=5。，所以8C=qs,即。與q重合.

所以/】、BN、CM三線共點(diǎn).

l-l

CC\/)

圖Y9.3.1

圖Y9.3.2

證明2（平行截比定理、三角形的中位線）

作MP!IAL,交（于P，連4W,設(shè)/小CM交于K,連BN,如圖Y9.3.2所示.

易證AOL=POM，所以/。=PO,AP=/C.在CMP中，由中位線逆定理知AK是

CW的中位線，所以X=KM.

因?yàn)開24=9絲，而以AM//BN.

ABMN

在CMA中，由中位線逆定理知BN與CM的交點(diǎn)是CM的中點(diǎn)，即也過K.

所以/】、BN、CM三線共點(diǎn).

證明3（中位線定理、重心的性質(zhì)）

連K4、CL，如圖￥9.3.3所示.

在OBN中,■是中位線，所以W//5M在⑷/。中，由中位線逆定理知5N必過

的中點(diǎn)K,即CK=KM.

在MLC中，C。是,邊上的中線，/點(diǎn)分。。成2:1的兩部分，所以/是MLC的

重心，所以￡/必是CM上的中線，即L4過K.

所以/】、BN、CM三線共點(diǎn).

證明4（同一法）

設(shè)也、BN交于K，作冊〃4，分別交CW、LK于P、。，設(shè)CM、BN交于K,如圖

Y9.3.4所示.

易證OAL=BAQ,所以8。=OL=OM=MN.

KNLM30L\

由LKNSQKB^—=-=—=3.

由MNK'sPBK，知理=%.

BPK'B

在「E/r+nOMOCc心IMNc心IK'NcKNK'N?一^

在CW中，----=——=3,所以----=3,所以-----=3,即Rn——=----=3.可見

BPBCBPK'BKBK'B

K、K'都是內(nèi)分線段NB成比值3的點(diǎn)，由定比分點(diǎn)的唯一性知K、K'重合，即

AL、BN、CM共點(diǎn).

N.M

圖Y9.3.3

圖Y9.3.4

證明5（解析法）

如圖Y935所示,建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)CU=4B=BC=a,LO=OM=MN=b,NAOM=a，貝(]

/(a,0),B(2a,0),C(3a,0),L(-ZJCOSa,-Z?sin?),M^bcosa,bsina),N(2Z?cosa,2Z?sin?)

”的方程為y=/ina

?(x-a),即

-bcosa-a

圖Y9.3.5

xbsina-(bcosa+a)y-absina=0①

5N的方程為y=_2加ine/_2fl),即

26cosa-2a

xbsina-(bcosa-a)y-2absina=0②

CW的方程為》=?加詁°—.(x-3a),即

bcosa-3a

xbsina-(bcosa-3a)y-3absina=0③

bsina-a-bcosa-absina

方程⑴、（2）、⑶的系數(shù)行列式為bsinaa-bcosa-2absina

bsina3a-bcosa-3absma

1-a-bcosa-1

=a/sin2]1a-bcosa-2

13a—bcosa-3

（

1-1-1111

二加sin2a?a11-2+Z7cosa?112二0

13-3113

7

所以4￡、BN、CM三線共點(diǎn).

[例4]

在梯形48co中，40//5GAD+BC=AB,廠為CD的中點(diǎn)，則//、的平分線

必交于尸.

證明1（梯形的中位線、等腰三角形）

圖Y9.4.1

作FEUAD，交4B于E,如圖￥9.4.1所示,則EF是梯形的中位線,所以

EF=^（AD+BC）=^AB=AE=EB所以/I=N3.因?yàn)镹2=N3，所以/1=/2,

即2%的平分線為

同理可證的平分線是BF.

證明2（三角形全等、等腰三角形）

延長/尸，交5。的延長線于G，如圖Y9.4.2所示易證ADF=GCF，所以4D=CG.

因?yàn)?，所?C+CG=/5,gpAB=BG，所以/I=N3.又N2=N3,

所以/1=/2,即//的平分線過F點(diǎn).

同理可證NB的平分線也過F點(diǎn).

圖Y9.4.2

圖Y943

證明3（梯形的中位線、三角形全等、菱形的性質(zhì)）

作FEIIAD,交AB于E，則所是梯形的中位線.過F作AB的平行線'交BC于H,

交AD的延長線于G,如圖Y9.4.3所示

易證FDG=FHC，所以O(shè)G=CH，所以4D+BC=4G+BH=4B.

易證ABHG是平行四邊形，所以ZG=相，所以/G=工=/E=,所以AEFG、

2

跳旌都是菱形，AF,8尸分別是它們的對角線.由菱形的對角線的性質(zhì)知/凡BF6

別是N4的角平分線.

證明4（三角形全等、內(nèi)角和定理）

在48上取G，使=.因?yàn)?B=/r>+5C=NG+G5，所以BG=5C.連G。、

GC、GF,AF,斯，如圖Y9.4.4所示，則Nl=N2,N3=N4.

因?yàn)?1+/2+//=180,/3+/4+/B=180,//+/8=180,所以

/1+/2+/3+N4=180,即Nl+N3=90,所以

/DGC=180-/1-/3=180-90=90.所以G尸是RtOGC斜邊上的中線，所以

FD=FC=FG.

由ADF=AGF,BCF=5G9知N5=/6,N7=N8，所以N4的平分線交

于廠點(diǎn).

圖Y9.4.5

證明5（面積法）

過產(chǎn)作，交AD于M,交BC于N作FEL4B,垂足為E.侔4F、BF.

如圖Y945所示.

易證RtFMDvRiFNC,所以FM=FN.

因?yàn)?/p>

)

SADF+SBCF=^AD-FM+^BC-FN=^AD+BC-FM=^-AB-FM=^AD+BCy^=^-SABCDl

,所以MF=EF,所以MF=EF=FN.

可見廠點(diǎn)到N4的兩邊等距離，所以4F、AF分別是2的平分線.

證明6（解析法）

如圖Y9.4.6所示，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=b,BC-a,NABC=a，貝U

C(Q,O),A((a+b)

a+b、a+b

cos圓(q+b)sina),Z)9+(q+b)cos。,(6z+/7)sin6Z)F(]+COSOCj9sina

、22/

連BF、AF.

a+b.

------sma

m

因?yàn)閗AB=tana,kBF=-------------=s"=tan-,所以BF是的平分線.

"『i+cos0"cos。2

同理/廠是的平分線.

圖Y9.4.6

[例5]

在48C中，NB=2NC,ADVBC,M在48的延長線上，BD=BM,N為4c的

中點(diǎn)，則D,N共線.

M

圖Y951

證明1（同一法）

連池并延長，交ZC于N,如圖Y951所示.

在BMD中，Nl=N2+NM=2/2,/2=/3,所

以/1=2/3.因?yàn)?1=2/。，所以N3=/C,所以

DN】=N。易證DN1=AN].

所以N]是RtADC的斜邊的中點(diǎn)，所以N與N重合.

所以M,D、N共線.

證明2（直角三角形斜邊中線定理）

如圖Y9.5.2所示，連DM、DN.

在Rt4DC中，QN是斜邊上的中線，所以=因?yàn)槎?。?/月臺。，所以

2

ZNDC=-ZABC

2

因?yàn)槎?C是等腰8W的外角，所以NABC=NM+NBDM=2NBDM,所以

NBDM=-ZABC

2

所以NBDM=/NDC，所以M、D、N共線.

M

圖Y953

證明3（角平分線、平行公理）

連DM、DN,作NABC的平分線BP，交4c于P，如圖Y9.5.3所示.因?yàn)?/p>

ZABC=2/C=2/2，所以/2=NC.

因?yàn)镈N是Rt4DC斜邊上的中線，所以N4=NC,所以/2=/4,所以BP//DN.

因?yàn)?4SC是等腰BMD的外角，所以NABC=2/3,2/2=2/3,所以/2=N3,

所以BPHMD.可見MD、DN都與BP平行，所以M、D、N共線.

證明4（Menelaus定理）

在。。上取4，使@=DB，連,如圖Y9.5.4所示，則/班是等腰三角形，所

以奶=皿/網(wǎng)=/鄴

圖Y954

因?yàn)镹/BC=2NC,所以N%43=2/C,所以期。也是等腰三角形.所以

/=4。因?yàn)锽M=BD,AN=NC,所以

DC=DB\+BQ=BD+AB=BM+AB=AM所以處.處.經(jīng)=1

BMDCNA

由Menelaus定理知加、D、N三點(diǎn)共線.

證明5（解析法）

如圖Y955所示，建立直角坐標(biāo)系.

圖Y955

連。MDN,MN.

設(shè)4(0,a),C(c,0),8(50),則N.

7

作,垂足為￡,由三線合一定理知ME=￡D設(shè)N8A?=a,則

NBDM=a,ZABC=2a.因?yàn)閆ABC=2ZC,所以ZC=a所以

M(2bcos%,2bcosasinfz).

2bcos2a2bcosasina

￡ca

所以SMND

222

00

12bcos2a2bcosasma

bcosa/

=——-——(acosa-csina

2-a

22

在RtADC中，由正弦定理,'二=一—=—泠—,所以

sinasmZDACsin190-a]cosa

fitcoscr=c-sincr，所以S=0,所以河、N、。三點(diǎn)共線.

[例6]

在45C中，E、尸分別是45,NC的中點(diǎn)，延長C￡到P，使EP=EC,延長BF到

Q，使尸Q=FB，則P,/、0共線.

證明1（證明平角）

如圖Y9.6.1所示"車/P,AQ.

易證AEP=BEC,AFQ=CFB，所以=,N3=NACB

圖Y9.6.1

因?yàn)镹2+//8C+N/C8=180，所以N2+/1+/3=180，即/尸為平角，所

以P、4、0共線.

證明2（利用平行公理）

如圖Y9.6.2所示，連工尸、AQ,PB、QC.

因?yàn)樗倪呅?PBe和四邊形ABCQ的對角線互相平分，所以4PBe和ABCQ都是平行四

邊形，所以AP/IBC,//3C.由平行公理知P、/、Q共線.

證明3（中位線定理、乎行截比定理、同一法）

連0/并延長，交CE的延長線于《，連EF,如圖￥9.6.3所示.

因?yàn)椤晔?/。的中位線，所以“。//￡/，所以超//即.

在C4片中.由平