2022-2023學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版必修第二冊(cè)）專題8.7 機(jī)械能守恒定律（解析版）

專題8.7機(jī)械能守恒定律【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1單體機(jī)械能守恒】 【題型2與關(guān)聯(lián)速度綜合】 【題型3臨界問(wèn)題】 【題型4涉及彈性繩的問(wèn)題】 【題型5輕桿連接體】 【題型6涉及彈簧的問(wèn)題】 【題型7聯(lián)系實(shí)際】 【題型8圖像問(wèn)題】 【題型1單體機(jī)械能守恒】【例1】水上樂(lè)園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開(kāi)始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦和空氣阻力。則人的落水點(diǎn)到滑梯末端的水平距離為()A．4.0mB．4.5mC．5.0m D．5.5m解析：選A設(shè)人滑到滑梯末端速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝4eq\r(5)m/s，從滑梯末端水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，可知落水時(shí)間為t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.0,10))s＝eq\r(\f(1,5))s，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則人的落水點(diǎn)距離滑梯末端的水平距離為x＝vt＝4.0m?！咀兪?-1】一半徑為R的圓柱體水平固定，橫截面如圖所示。長(zhǎng)度為πR、不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)繩，一端固定在圓柱體最高點(diǎn)P處，另一端系一個(gè)小球。小球位于P點(diǎn)右側(cè)同一水平高度的Q點(diǎn)時(shí)，繩剛好拉直。將小球從Q點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)與圓柱體未接觸部分的細(xì)繩豎直時(shí)，小球的速度大小為(重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力)()A．eq\r(2＋πg(shù)R) B．eq\r(2πg(shù)R)C．eq\r(21＋πg(shù)R) D．2eq\r(gR)解析：選A當(dāng)與圓柱體未接觸部分的細(xì)繩豎直時(shí)，小球下落的高度為h＝πR－eq\f(π,2)R＋R＝eq\f(π＋2,2)R，小球下落過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒有mgh＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立以上兩式解得v＝eq\r(2＋πg(shù)R)，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤?！咀兪?-2】如圖所示，光滑圓形軌道豎直固定在傾角α＝30°的光滑斜面上，B點(diǎn)為圓與斜面相切的點(diǎn)，C為圓軌道上與圓心等高的點(diǎn)，D點(diǎn)為圓形軌道的最高點(diǎn)。一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，從與D等高的A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，小球可以無(wú)能量損失的通過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取10m/s2。在小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．小球可以通過(guò)D點(diǎn)B．小球到最高點(diǎn)時(shí)速度為零C．小球?qū)點(diǎn)的壓力大小為10ND．由于圓軌道的半徑未知，無(wú)法計(jì)算出小球?qū)點(diǎn)的壓力大小解析：選C根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，小球從A點(diǎn)由靜止釋放，則到達(dá)等高的D點(diǎn)時(shí)速度為零；而要想經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)D的最小速度為eq\r(gR)，可知小球不能到達(dá)最高點(diǎn)D，而是過(guò)了C點(diǎn)后將脫離圓軌道做斜上拋運(yùn)動(dòng)，則到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度不為零，A、B錯(cuò)誤；從A點(diǎn)到C點(diǎn)由機(jī)械能守恒定律得mgR＝eq\f(1,2)mvC2，則在C點(diǎn)NC＝meq\f(vC2,R)，解得NC＝2mg＝10N，C正確，D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖(a)，在豎直平面內(nèi)固定一光滑半圓形軌道ABC，B為軌道的中點(diǎn)，質(zhì)量為m的小球以一定的初動(dòng)能Ek0從最低點(diǎn)A沖上軌道。圖(b)是小球沿軌道從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，動(dòng)能Ek與其對(duì)應(yīng)高度h的關(guān)系圖像。已知小球在最高點(diǎn)C受到軌道的作用力大小為25N，空氣阻力不計(jì)，重力加速度g取10m/s2。由此可知()A．小球的質(zhì)量m＝0.2kgB．初動(dòng)能Ek0＝16JC．小球在C點(diǎn)時(shí)重力的功率為60WD．小球在B點(diǎn)受到軌道的作用力大小為85N解析：選D由圖(b)可知，半圓形軌道的半徑為0.4m，小球在C點(diǎn)的動(dòng)能大小EkC＝9J，因小球所受重力與彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：mg＋F＝eq\f(mvC2,R)＝eq\f(2EkC,R)，解得小球的質(zhì)量m＝2kg，A錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律得，初動(dòng)能Ek0＝mgh＋EkC＝25J，其中h＝0.8m，B錯(cuò)誤；小球在C點(diǎn)時(shí)重力與速度方向垂直，重力的功率為0，C錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律得，在B點(diǎn)的動(dòng)能EkB＝mgeq\f(h,2)＋EkC＝17J，在B點(diǎn)軌道的作用力提供向心力，由牛頓第二定律得F＝eq\f(mvB2,R)＝eq\f(2EkB,R)＝85N，D正確?！绢}型2與關(guān)聯(lián)速度綜合】【例2】如圖所示，光滑水平面與光滑半球面相連，O點(diǎn)為球心，一輕繩跨過(guò)光滑小滑輪連接物塊A、B，A、B質(zhì)量相等且可視為質(zhì)點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)A、B靜止，輕繩水平伸直，B與O點(diǎn)等高，釋放后，當(dāng)B和球心O連線與豎直方向夾角為30°時(shí)，B下滑速度為v，此時(shí)A仍在水平面上，重力加速度為g，則球面半徑為()A.eq\f(7v2,4g) B.eq\f(72＋\r(3)v2,4g)C.eq\f(7\r(3)v2,4g) D.eq\f(7v2,4\r(3)g)解析：選D滑塊A和滑塊B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故：mgRcos30°＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，將B的速度沿著平行繩子和垂直繩子方向正交分解，如圖所示：滑塊A、B沿著繩子的分速度相等，故：vA＝vBcos30°，其中：vB＝v，聯(lián)立解得：R＝eq\f(7v2,4\r(3)g)，故D正確?！咀兪?-1】如圖所示，左側(cè)為一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為球心，碗的內(nèi)表面及碗口光滑。右側(cè)是一個(gè)固定的光滑斜面，斜面足夠長(zhǎng)，傾角θ＝30°。一根不可伸長(zhǎng)的不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨在碗口及斜面頂端的光滑的定滑輪且兩端分別系有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球m1和m2，且m1＞m2。開(kāi)始時(shí)m1恰在碗口水平直徑右端的A處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時(shí)連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直。當(dāng)m1由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到圓心O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷開(kāi)，不計(jì)細(xì)繩斷開(kāi)瞬間的能量損失。(1)求小球m2沿斜面上升的最大距離s；(2)若已知細(xì)繩斷開(kāi)后小球m1沿碗的內(nèi)側(cè)上升的最大高度為eq\f(R,2)，求eq\f(m1,m2)。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)[解析](1)設(shè)小球m1到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，m1、m2速度大小分別為v1、v2如圖所示，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解得v1＝eq\r(2)v2對(duì)m1、m2組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得m1gR－m2gh＝eq\f(1,2)m1v12＋eq\f(1,2)m2v22又h＝eq\r(2)Rsin30°聯(lián)立以上三式解得v1＝eq\r(2×\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)v2＝eq\r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，設(shè)細(xì)繩斷開(kāi)后m2沿斜面上升的距離為s′，對(duì)m2，由機(jī)械能守恒定律得m2gs′sin30°＝eq\f(1,2)m2v22小球m2沿斜面上升的最大距離s＝eq\r(2)R＋s′聯(lián)立以上兩式并代入v2，解得s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R＝eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R。(2)對(duì)m1，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)m1v12＝m1geq\f(R,2)代入v1解得eq\f(m1,m2)＝eq\f(2\r(2)＋1,2)≈1.9。[答案](1)eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R(2)1.9【變式2-2】如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過(guò)定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上。開(kāi)始時(shí)連接圓環(huán)的繩子處于水平，長(zhǎng)度l＝4m。現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2。若圓環(huán)下降h＝3m時(shí)的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()A.eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B.eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C.eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D.eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)解析：選A圓環(huán)下降3m后的速度可以按如圖所示分解，故可得vA＝vcosθ＝eq\f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和繩子看成一個(gè)整體，整體只有重力做功，機(jī)械能守恒，當(dāng)圓環(huán)下降h＝3m時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒可得mgh＝MghA＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MvA2，其中hA＝eq\r(h2＋l2)－l，聯(lián)立可得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，故A正確?！咀兪?-3】(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過(guò)光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m。與定滑輪等高的A點(diǎn)和定滑輪之間的距離為d＝3m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略?，F(xiàn)將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)速度為0，重力加速度取g＝10m/s2，則下列說(shuō)法正確的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A.A、C間距離為4mB.小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)C.小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能始終等于物塊增加的機(jī)械能D.當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時(shí)，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1答案AD解析小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒得mgLAC＝Mg(eq\r(d2＋Leq\o\al(2,AC))－d)，解得LAC＝4m，故A正確；假設(shè)小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)，則繩中的拉力大小等于2mg，在C點(diǎn)對(duì)小環(huán)有FT＝eq\f(mg,sin53°)＝eq\f(5,4)mg≠2mg，所以假設(shè)不成立，小環(huán)不能靜止，故B錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律可知，小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊增加的機(jī)械能和小環(huán)增加的動(dòng)能，故C錯(cuò)誤；將小環(huán)的速度沿繩和垂直繩方向分解，沿繩方向的速度即為物塊的速度vM＝vmcos60°，由Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1，故D正確?！绢}型3臨界問(wèn)題】【例3】(多選)如圖所示，由長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿構(gòu)成的等邊三角形支架位于豎直平面內(nèi)，其中兩個(gè)端點(diǎn)分別固定質(zhì)量均為m的小球A、B，系統(tǒng)可繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始位置OA水平。由靜止釋放，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦及空氣阻力。則()A．系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒B．B球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)重力勢(shì)能最小C．A球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)過(guò)程中，動(dòng)能一直在增大D．?dāng)[動(dòng)過(guò)程中，小球B的最大動(dòng)能為eq\f(\r(3),4)mgL解析：選AD系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故A正確；系統(tǒng)的重心在A、B連線的中點(diǎn)位置，當(dāng)AB連線水平時(shí)，系統(tǒng)重力勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，故A球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)過(guò)程中，動(dòng)能先增加，后減小，故B、C錯(cuò)誤；AB連線水平時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能最大，此時(shí)A球運(yùn)動(dòng)到圖中B球位置，故根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：mg·eq\f(\r(3),2)L＝2×eq\f(1,2)mv2，解得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(\r(3),4)mgL，故D正確?！咀兪?-1】如圖所示是一豎直固定在水平地面上的可伸縮細(xì)管，上端平滑連接四分之一細(xì)圓弧彎管，管內(nèi)均光滑，右管口切線水平。豎直細(xì)管底部有一彈射裝置(高度忽略不計(jì))，可以讓靜止在細(xì)管底部的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))瞬間獲得足夠大的速度v0，通過(guò)調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的長(zhǎng)度h，可以改變上端管口到地面的高度，從而改變小球平拋的水平距離，重力加速度為g，則小球平拋的水平距離的最大值是()A.eq\f(v02,g)B.eq\f(v02,2g)C.eq\f(v02,3g)D.eq\f(v02,4g)解析：選B設(shè)管口到地面的高度是H，小球從管口射出的速度為v，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mv02＝mgH＋eq\f(1,2)mv2，小球離開(kāi)管口后做平拋運(yùn)動(dòng)，則x＝vt，H＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立方程，可得x＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq\r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函數(shù)的特點(diǎn)可知當(dāng)H＝eq\f(v02,4g)時(shí)x取最大值，xmax＝eq\f(v02,2g)?！咀兪?-2】如圖所示，露天娛樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車是由許多節(jié)完全相同的車廂組成，過(guò)山車先沿水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形軌道，若過(guò)山車全長(zhǎng)為L(zhǎng)(L＞2πR)，R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的長(zhǎng)度和高度，為使整個(gè)過(guò)山車安全通過(guò)固定的圓形軌道，那么過(guò)山車在運(yùn)行到圓形軌道前的速度至少為(車廂間的距離不計(jì)，忽略一切摩擦)()A.eq\r(gR) B.eq\r(3πg(shù)L)C.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L)))) D.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(πR,L))))[解析]當(dāng)過(guò)山車進(jìn)入軌道后，動(dòng)能逐漸向勢(shì)能轉(zhuǎn)化，車速逐漸減小，當(dāng)車廂占滿圓形軌道時(shí)速度最小，設(shè)此時(shí)的速度為v，過(guò)山車的質(zhì)量為M，圓形軌道上那部分過(guò)山車的質(zhì)量M′＝eq\f(M,L)·2πR，由機(jī)械能守恒定律可得：eq\f(1,2)Mv02＝eq\f(1,2)Mv2＋M′gR，又因圓形軌道頂部車廂應(yīng)滿足：mg＝meq\f(v2,R)，可求得：v0＝eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L))))。故C正確。[答案]C【變式3-3】如圖所示，半徑R＝0.5m的光滑半圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，半圓軌道與光滑水平地面相切于圓軌道最低端點(diǎn)A。質(zhì)量m＝1kg的小球以初速度v0＝5m/s從A點(diǎn)沖上豎直圓軌道，沿軌道運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)飛出，最后落在水平地面上的C點(diǎn)，g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力。(1)求小球運(yùn)動(dòng)到軌道末端B點(diǎn)時(shí)的速度vB；(2)求A、C兩點(diǎn)間的距離x；(3)若小球以不同的初速度沖上豎直圓軌道，并沿軌道運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)飛出，落在水平地面上。求小球落點(diǎn)與A點(diǎn)間的最小距離xmin。答案(1)eq\r(5)m/s(2)1m(3)1m解析(1)選水平地面為零勢(shì)能參考面，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋mg·2R解得vB＝eq\r(5)m/s。(2)由平拋規(guī)律得2R＝eq\f(1,2)gt2，x＝vBt，解得x＝1m。(3)設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)半圓軌道對(duì)小球的壓力為FN圓周運(yùn)動(dòng)向心力FN＋mg＝eq\f(mveq\o\al(2,B),R)得當(dāng)FN＝0時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到軌道末端B點(diǎn)時(shí)的速度最小vBmin＝eq\r(5)m/s由(2)的計(jì)算可知，最小距離xmin＝x＝1m?！绢}型4涉及彈性繩的問(wèn)題】【例4】(多選)研究“蹦極”運(yùn)動(dòng)時(shí)，在運(yùn)動(dòng)員身上系好彈性繩并安裝傳感器，可測(cè)得運(yùn)動(dòng)員豎直下落的距離及其對(duì)應(yīng)的速度大小。根據(jù)傳感器收集到的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的“速度—位移”圖像。若空氣阻力和彈性繩的重力可以忽略，根據(jù)圖像信息，下列說(shuō)法正確的有()A．彈性繩原長(zhǎng)為15mB．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員下降10m時(shí)，處于失重狀態(tài)C．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員下降15m時(shí)，繩的彈性勢(shì)能最大D．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員下降20m時(shí)，其加速度方向豎直向上解析：選BD運(yùn)動(dòng)員下降15m時(shí)速度最大，此時(shí)加速度為零，合外力為零，彈性繩彈力不為零，彈力等于重力，彈性繩處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員下降10m時(shí)，速度向下并且逐漸增大，處于失重狀態(tài)，故B正確；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員下降15m時(shí)，速度不為零，運(yùn)動(dòng)員繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，彈性繩繼續(xù)伸長(zhǎng)，彈性勢(shì)能繼續(xù)增大，故C錯(cuò)誤；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員下降20m時(shí)，運(yùn)動(dòng)員向下減速運(yùn)動(dòng)，其加速度方向豎直向上，故D正確。【變式4-1】如圖所示，一光滑細(xì)桿固定在水平面上的C點(diǎn)，細(xì)桿與水平面的夾角為30°，一原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈性繩，下端固定在水平面上的B點(diǎn)，上端與質(zhì)量為m的小環(huán)相連，當(dāng)把小環(huán)拉到A點(diǎn)時(shí)，AB與地面垂直，彈性繩長(zhǎng)為2L，將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)D時(shí)，速度達(dá)到最大。重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是()A.在下滑過(guò)程中小環(huán)的機(jī)械能先減小后增大B.小環(huán)剛釋放時(shí)的加速度大小為gC.小環(huán)到達(dá)AD的中點(diǎn)時(shí)，彈性繩的彈性勢(shì)能為零D.小環(huán)的最大速度為eq\r(gL)答案B解析小環(huán)和彈性繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小環(huán)到達(dá)AC的中點(diǎn)D時(shí)，彈性繩的長(zhǎng)度為2L，伸長(zhǎng)量不為0，在AD之間有一位置彈性繩與AC垂直，小環(huán)從A點(diǎn)到彈性繩與AC垂直位置的過(guò)程中，彈性繩對(duì)小環(huán)做正功，從彈性繩與AC垂直位置到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈性繩對(duì)小環(huán)做負(fù)功，所以下滑過(guò)程中小環(huán)的機(jī)械能先增大后減小，故A錯(cuò)誤；在A位置，環(huán)受重力、彈性繩拉力和支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有mgsin30°＋F彈sin30°＝ma，在D點(diǎn)，環(huán)的速度最大，說(shuō)明加速度為零，彈性繩長(zhǎng)度為2L，故mgsin30°－F彈cos60°＝0，聯(lián)立解得a＝g，故B正確；小環(huán)到達(dá)AD的中點(diǎn)時(shí)，彈性繩的長(zhǎng)度為eq\r(3)L，伸長(zhǎng)量不為0，故彈性勢(shì)能不為零，故C錯(cuò)誤；在D點(diǎn)速度最大，此時(shí)彈性繩長(zhǎng)度等于初位置彈性繩的長(zhǎng)度，故初位置和D位置環(huán)的彈性勢(shì)能相等，所以mg·2Lcos60°＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gL)，故D錯(cuò)誤?！咀兪?-2】如圖所示，彈性輕繩的一端套在手指上，另一端與彈力球連接，用手將彈力球以某一豎直向下的初速度向下拋出，拋出后手保持不動(dòng)。從球拋出瞬間至球第一次到達(dá)最低點(diǎn)的過(guò)程中(彈性輕繩始終在彈性限度內(nèi)，空氣阻力忽略不計(jì))，下列說(shuō)法正確的是()A．繩伸直以后，繩的拉力始終做負(fù)功，球的動(dòng)能一直減小B．該過(guò)程中，手受到的繩的拉力先增大后減小C．該過(guò)程中，重力對(duì)球做的功大于球克服繩的拉力做的功D．在最低點(diǎn)時(shí)，球、繩和地球組成的系統(tǒng)勢(shì)能最大解析：選D繩伸直以后，繩的拉力始終做負(fù)功，但重力大于拉力時(shí)球的速度增大，故球的動(dòng)能增大，當(dāng)重力與拉力相等時(shí)球的速度最大，動(dòng)能最大，球繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重力小于拉力時(shí)球的速度減小，則球的動(dòng)能減小，A錯(cuò)誤；該過(guò)程中，手受到繩的拉力一直增大，B錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理可得WG－W克繩＝0－eq\f(1,2)mv02，該過(guò)程中重力對(duì)球做的功小于球克服繩的拉力做的功，C錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能為零，球、繩和地球組成的系統(tǒng)勢(shì)能最大，D正確?！咀兪?-3】一蹦極運(yùn)動(dòng)員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺(tái)下落，到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米距離。假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前重力勢(shì)能始終減小B．蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈性力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加C．蹦極過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．蹦極過(guò)程中，重力勢(shì)能的改變量與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)答案：D【題型5輕桿連接體】【例5】一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B。支架的兩直角邊長(zhǎng)度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。開(kāi)始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，重力加速度為g，則()A．A球的最大速度為2eq\r(gl)B．A球的速度最大時(shí)，兩小球的總重力勢(shì)能最小C．A球第一次轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直方向的夾角為45°時(shí)，A球的速度大小為eq\r(\f(8\r(2)＋1gl,3))D．A、B兩球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1解析：選B根據(jù)題意知無(wú)論何時(shí)兩球的角速度均相同，線速度大小之比均為vA∶vB＝2∶1，D錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒可知，A球的速度最大時(shí)，二者的動(dòng)能最大，此時(shí)兩球總重力勢(shì)能最小，B正確；當(dāng)OA與豎直方向的夾角為θ時(shí)，由機(jī)械能守恒得mg·2lcosθ－2mg·l(1－sinθ)＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)×2mvB2，解得vA2＝eq\f(8,3)gl(sinθ＋cosθ)－eq\f(8,3)gl，由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)θ＝45°時(shí)，sinθ＋cosθ有最大值，最大值為vA＝eq\r(\f(8\r(2)－1gl,3))，A、C錯(cuò)誤?！咀兪?-1】(多選)如圖所示，一輕質(zhì)支架的兩端分別連著質(zhì)量為m和2m的小球A和B(可視為質(zhì)點(diǎn))，支架的OA段長(zhǎng)為L(zhǎng)，OB段長(zhǎng)為2L，∠AOB＝120°保持不變，可繞水平固定轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。已知重力加速度為g，當(dāng)OB與水平方向成30°角時(shí)無(wú)初速度釋放支架，直到B球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．當(dāng)B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，A球的速度大小為eq\r(gL)B．當(dāng)B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球的速度大小為eq\r(2gL)C．B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，支架對(duì)A球做正功D．B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，B球的機(jī)械能守恒[解析]小球A與B角速度大小相同，故eq\f(vA,vB)＝eq\f(rAω,rBω)＝eq\f(1,2)，即vB＝2vA，B球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由幾何關(guān)系和整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可得2mg×3L－mg×eq\f(3,2)L＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)×2mvB2，聯(lián)立解得vA＝eq\r(gL)，vB＝2eq\r(gL)，故A正確，B錯(cuò)誤；B球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，對(duì)于A球，由幾何關(guān)系和動(dòng)能定理，可得－mg×eq\f(3,2)L＋W＝eq\f(1,2)mvA2－0，解得W＝2mgL＞0，支架對(duì)A球做正功，故C正確；同理，B球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，支架對(duì)B球做負(fù)功，B球的機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)誤。[答案]AC【變式5-2】(多選)如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿，一端裝有轉(zhuǎn)軸O，另一端固定一個(gè)質(zhì)量為2m的小球B，桿中點(diǎn)固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，若桿從水平位置由靜止開(kāi)始釋放，在轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中，不計(jì)一切摩擦，下列說(shuō)法中正確的是()A．A、B兩球總機(jī)械能守恒B．輕桿對(duì)A球做正功，輕桿對(duì)B球做負(fù)功C．輕桿對(duì)A球不做功，輕桿對(duì)B球不做功D．輕桿對(duì)A球做負(fù)功，輕桿對(duì)B球做正功解析：選AD兩球組成的系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，兩球的角速度相等，到達(dá)豎直位置時(shí)，設(shè)A球的速度為v，則B球的速度為2v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgeq\f(L,2)＋2mgL＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)×2m(2v)2，解得v＝eq\f(\r(5gL),3)；對(duì)A球運(yùn)用動(dòng)能定理得W＋mgeq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mv2，解得W＝－eq\f(2,9)mgL，則輕桿對(duì)A球做負(fù)功；對(duì)B球運(yùn)用動(dòng)能定理得W′＋2mgL＝eq\f(1,2)×2m(2v)2，解得W′＝eq\f(2,9)mgL，則輕桿對(duì)B球做正功。故A、D正確，B、C錯(cuò)誤?！咀兪?-3】(多選)如圖所示，質(zhì)量均為m的a、b兩球固定在輕桿的兩端，桿可繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，已知兩球距O點(diǎn)的距離L1＞L2，現(xiàn)在由圖示位置靜止釋放，則在a下降過(guò)程中()A．a(chǎn)、b兩球的角速度大小始終相等B．重力對(duì)b球做功的瞬時(shí)功率一直增大C．桿對(duì)a球做負(fù)功，a球的機(jī)械能不守恒D．桿對(duì)b球做負(fù)功，b球的機(jī)械能守恒解析：選ACa、b兩球同時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度大小始終相等，故A正確；剛開(kāi)始，b球的速度為0，重力對(duì)b球做功的瞬時(shí)功率為0，在豎直位置，速度與重力方向垂直，重力對(duì)b球做功的瞬時(shí)功率為0，所以重力對(duì)b球做功的瞬時(shí)功率先增大后減小，故B錯(cuò)誤；在a球下降的過(guò)程中，b球的動(dòng)能增加，重力勢(shì)能增加，所以b球的機(jī)械能增加，根據(jù)重力之外的力做功量度物體機(jī)械能的變化，所以桿對(duì)b球做正功，a球和b球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，a球的機(jī)械能減小，桿對(duì)a球做負(fù)功，故C正確，D錯(cuò)誤。【題型6涉及彈簧的問(wèn)題】【例6】(多選)如圖所示，一輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，將小球從與懸點(diǎn)O在同一水平面且使彈簧保持原長(zhǎng)的A點(diǎn)靜止釋放，讓小球自由擺下，不計(jì)空氣阻力，在小球由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A.小球的機(jī)械能守恒B.小球的機(jī)械能減少C.小球的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和不變D.小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒答案BD解析小球由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧被拉長(zhǎng)，彈簧的彈力對(duì)小球做了負(fù)功，所以小球的機(jī)械能減少，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；在此過(guò)程中，由于只有重力和彈簧的彈力做功，所以小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即小球減少的重力勢(shì)能等于小球獲得的動(dòng)能與彈簧增加的彈性勢(shì)能之和，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確?！咀兪?-1】2021年7月30日，東京奧運(yùn)會(huì)蹦床女子決賽中，中國(guó)包攬女子蹦床金、銀牌，朱雪瑩奪金，劉靈玲獲蹦床銀牌。在運(yùn)動(dòng)員蹦床訓(xùn)練中，從運(yùn)動(dòng)員下落到離地面高h(yuǎn)1處開(kāi)始計(jì)時(shí)，其動(dòng)能Ek與離地高度h的關(guān)系如圖所示。在h1～h2階段圖像為直線，其余部分為曲線，h3對(duì)應(yīng)圖像的最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力和一切摩擦。下列有關(guān)說(shuō)法正確的是()A．整個(gè)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)員的機(jī)械能守恒B．從運(yùn)動(dòng)員的腳接觸蹦床直至蹦床被壓縮至最低點(diǎn)的過(guò)程中，其加速度先增大后減小C．運(yùn)動(dòng)員從h1降到h5過(guò)程中，蹦床的最大彈性勢(shì)能為Epm＝mgh1D．運(yùn)動(dòng)員處于h＝h4高度時(shí)，蹦床的彈性勢(shì)能為Ep＝mg(h2－h(huán)4)解析：選D運(yùn)動(dòng)員與蹦床組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員的腳接觸蹦床到彈力等于重力的過(guò)程中有mg－kx＝ma，運(yùn)動(dòng)員下降過(guò)程中x增大，則a減小，當(dāng)彈力等于重力到蹦床被壓縮至最低點(diǎn)的過(guò)程中有kx－mg＝ma′，運(yùn)動(dòng)員下降過(guò)程中x增大，則a′增大，則從運(yùn)動(dòng)員的腳接觸蹦床直至蹦床被壓縮至最低點(diǎn)的過(guò)程中，其加速度先減小后增大，B錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員從h1下降到h5過(guò)程中，蹦床的最大彈性勢(shì)能為Epm＝mg(h1－h(huán)5)，C錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員處于h＝h4高度時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒有mg(h2－h(huán)4)＝Ep，D正確。【變式6-2】如圖所示，A、B兩物體在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過(guò)細(xì)線繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使細(xì)線剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行。已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為4m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放C后C沿斜面下滑，A剛離開(kāi)地面時(shí)，B獲得最大速度。求：(1)斜面傾角α；(2)B的最大速度v。[解析](1)當(dāng)A剛離開(kāi)地面時(shí)，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為xA，對(duì)A有kxA＝mg，此時(shí)B受到重力mg、彈簧的彈力kxA、細(xì)線拉力FT三個(gè)力的作用，B的速度達(dá)到最大，即加速度為零，受力平衡，則C也受力平衡，對(duì)B有FT－mg－kxA＝0，對(duì)C有4mgsinα－FT＝0，解得sinα＝0.5，所以α＝30°。(2)開(kāi)始時(shí)彈簧壓縮的長(zhǎng)度為xB＝eq\f(mg,k)，則xA＝xB，當(dāng)A剛離開(kāi)地面時(shí)，B上升的距離以及C沿斜面下滑的距離均為xA＋xB，由于xA＝xB，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能相等，而且A剛離開(kāi)地面時(shí)，B、C兩物體的速度相等，由機(jī)械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sinα－mg(xA＋xB)＝eq\f(1,2)(4m＋m)v2，解得v＝2geq\r(\f(m,5k))。[答案](1)30°(2)2geq\r(\f(m,5k))【變式6-3】(多選)如圖所示，有質(zhì)量為2m、m的小滑塊P、Q，P套在固定豎直桿上，Q放在水平地面上。P、Q間通過(guò)鉸鏈用長(zhǎng)為L(zhǎng)的剛性輕桿連接，一輕彈簧左端與Q相連，右端固定在豎直桿上，彈簧水平，α＝30°時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)。當(dāng)α＝30°時(shí)，P由靜止釋放，下降到最低點(diǎn)時(shí)α變?yōu)?0°，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P、Q始終在同一豎直平面內(nèi)，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則P下降過(guò)程中()A．P、Q組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B．當(dāng)α＝45°時(shí)，P、Q的速度相同C．彈簧彈性勢(shì)能最大值為(eq\r(3)－1)mgLD．P下降過(guò)程中動(dòng)能達(dá)到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg解析：選CD對(duì)于P、Q組成的系統(tǒng)，由于彈簧對(duì)Q要做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；但對(duì)P、Q和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力或彈簧彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；當(dāng)α＝45°時(shí)，根據(jù)P、Q沿輕桿方向的分速度相等得vQcos45°＝vPcos45°，可得vP＝vQ，但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得Ep＝2mgL(cos30°－cos60°)，彈性勢(shì)能的最大值為Ep＝(eq\r(3)－1)mgL，故C正確；P下降過(guò)程中動(dòng)能達(dá)到最大前，P加速下降，對(duì)P、Q整體，在豎直方向上根據(jù)牛頓第二定律有3mg－N＝2ma，則有N＜3mg，故D正確?！绢}型7聯(lián)系實(shí)際】【例7】載人飛行包是一個(gè)單人低空飛行裝置，如圖所示，其發(fā)動(dòng)機(jī)使用汽油作為燃料提供動(dòng)力，可以垂直起降也可以快速前進(jìn)，若飛行包(包括人)在豎直方向上勻速上升的過(guò)程中(空氣阻力不可忽略)，下列說(shuō)法正確的是()A．發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)飛行包不做功B．飛行包的重力做正功C．飛行包的動(dòng)能不變D．飛行包的機(jī)械能不變解析：選C飛行包(包括人)在豎直勻速上升的過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力向上，則發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)飛行包做正功，A錯(cuò)誤；高度上升，飛行包的重力做負(fù)功，B錯(cuò)誤；飛行包(包括人)在豎直方向上勻速上升，故飛行包的動(dòng)能不變，C正確；飛行包在上升過(guò)程中動(dòng)能不變，重力勢(shì)能變大，故機(jī)械能變大，D錯(cuò)誤?！咀兪?-1】(多選)如圖甲所示，被稱為“魔力陀螺”的玩具陀螺能在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)不脫落，其原理可等效為如圖乙所示的模型。半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的鐵球(可視為質(zhì)點(diǎn))沿軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)，A、B分別為軌道的最高和最低點(diǎn)，軌道對(duì)鐵球的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，則()A．鐵球繞軌道可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．鐵球繞軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒C．鐵球在A點(diǎn)的速度必須大于eq\r(gR)D．軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg，才能使鐵球不脫軌解析：選BD鐵球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，磁力和支持力不做功，只有重力做功，所以鐵球的機(jī)械能守恒，在最高點(diǎn)的速度最小，在最低點(diǎn)的速度最大，鐵球不可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤，B正確；鐵球在最高點(diǎn)的速度只要大于0即可通過(guò)最高點(diǎn)，C錯(cuò)誤；要使鐵球不脫軌，鐵球在最高點(diǎn)的速度恰好為0，合力恰好等于0，則由機(jī)械能守恒定律可知鐵球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度滿足mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，軌道對(duì)鐵球的支持力恰好等于0，有F－mg＝meq\f(v2,R)，解得F＝5mg，故要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg，D正確。【變式7-2】蕩秋千是人們喜歡的一項(xiàng)健身娛樂(lè)活動(dòng)。蕩秋千者通過(guò)做功，逐漸增加自身的機(jī)械能，從而逐漸“蕩”高。其原理如下：人向下擺動(dòng)過(guò)程中逐漸“下蹲”使重心下降，而在秋千上擺過(guò)程中，人又逐漸站起使重心升高，機(jī)械能增加，從而逐漸“蕩”高。有一個(gè)正在“蕩”秋千的運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為75kg，身高為1.8m，在水平地面上站立時(shí)重心高1.0m，蹲坐時(shí)重心高0.6m。秋千擺長(zhǎng)為5.0m。若該運(yùn)動(dòng)員從與豎直方向成37°角位置開(kāi)始下擺。(忽略空氣阻力、秋千的質(zhì)量，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)(1)求運(yùn)動(dòng)員到達(dá)秋千下擺的豎直最低位置時(shí)的速度大?。?2)求運(yùn)動(dòng)員在秋千下擺的豎直最低位置時(shí)受到秋千的作用力大小。解析：秋千擺長(zhǎng)L0＝5.0m，運(yùn)動(dòng)員在水平地面上站立時(shí)重心高H1＝1.0m，蹲坐時(shí)重心高H2＝0.6m，以秋千下擺的最低位置處為零勢(shì)能點(diǎn)。(1)秋千下擺過(guò)程中運(yùn)動(dòng)員機(jī)械能守恒，mg[L0－(L0－H1)cos37°]＝mgH2＋eq\f(1,2)mv2，解得v≈4.9m/s。(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)員在秋千下擺到最低位置時(shí)受到秋千的作用力大小為F，則F－mg＝meq\f(v2,L0－H2)，解得F≈1159N。答案：(1)4.9m/s(2)1159N【變式7-3】有一款名叫“跳一跳”的微信小游戲，游戲要求操作者通過(guò)控制棋子(質(zhì)量為m)脫離平臺(tái)時(shí)的速度，使其能從一個(gè)平臺(tái)跳到旁邊的平臺(tái)上．如圖所示的拋物線為棋子在某次跳躍過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡，不計(jì)空氣阻力．則下列說(shuō)法中正確的是(重力加速度為g)()A．棋子從起跳至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能增加mghB．棋子離開(kāi)平臺(tái)時(shí)的動(dòng)能為mghC．棋子從離開(kāi)平臺(tái)至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，重力勢(shì)能增加mghD．棋子落到平臺(tái)上的速度大小為eq\r(2gh)【答案】C【題型8圖像問(wèn)題】【例8】某實(shí)驗(yàn)小組做了如下實(shí)驗(yàn)，裝置如圖甲所示。豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾角為θ的斜面軌道AB和圓弧軌道BCD組成，在B點(diǎn)相切。使質(zhì)量m＝0.1kg的小球從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，用壓力傳感器測(cè)出小球經(jīng)過(guò)圓弧最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力F。改變H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，取g＝10m/s2。(1)求圓軌道的半徑R；(2)若小球從D