2022-2023學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版必修第二冊(cè)）專題5.3 拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（解析版）

專題5.3拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1平拋中的對(duì)比問題】 【題型2落點(diǎn)在斜面上的平拋】 【題型3落點(diǎn)在圓上的平拋】 【題型4體育運(yùn)動(dòng)中的拋體問題】 【題型5平拋中的臨界極值問題】 【題型6聯(lián)系實(shí)際問題】 【題型7斜拋問題】 【題型8類平拋、類斜拋問題】 【題型1平拋中的對(duì)比問題】【例1】如圖，質(zhì)量相同的兩小球a、b分別從斜面頂端A和斜面中點(diǎn)B沿水平方向被拋出，恰好均落在斜面底端，不計(jì)空氣阻力，則以下說法正確的是()A．小球a、b離開斜面的最大距離之比為2∶1B．小球a、b沿水平方向拋出的初速度之比為2∶1C．小球a、b在空中飛行的時(shí)間之比為2∶1D．小球a、b到達(dá)斜面底端時(shí)速度與水平方向的夾角之比為2∶1解析：選A因?yàn)閮汕蛳侣涞母叨戎葹?∶1，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，可知a、b兩球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為ta∶tb＝eq\r(2)∶1，因?yàn)閮汕蛩椒较蛭灰朴衯ata＝2vbtb，因此初速度之比va∶vb＝eq\r(2)∶1，在小球平拋過程中，速度方向與斜面平行時(shí)，離開斜面的距離為最大，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，將初速度與加速度分解成垂直斜面與平行斜面兩方向，設(shè)斜面的傾角為α，因此垂直斜面方向的位移為：x＝eq\f(v0sinα2,2gcosα)，那么離開斜面的最大距離與初速度的平方成正比，即小球a、b離開斜面的最大距離之比為2∶1，故A正確，B、C錯(cuò)誤。小球落在斜面上時(shí)，速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，因?yàn)槲灰婆c水平方向的夾角相等，則速度與水平方向的夾角相等，比值為1∶1，故D錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖所示，將a、b兩小球以大小為20eq\r(5)m/s的初速度分別從A、B兩點(diǎn)相差1s先后水平相向拋出，a小球從A點(diǎn)拋出后，經(jīng)過時(shí)間t，a、b兩小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，則拋出點(diǎn)A、B間的水平距離是()A．80eq\r(5)mB．100mC．200m D．180eq\r(5)m解析：選D經(jīng)過t時(shí)間兩球的速度方向相互垂直，此時(shí)b球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t－1s。設(shè)a球的速度方向與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系可得：tanθ＝eq\f(v0,gt)＝eq\f(gt－1s,v0)，解得t＝5s，故A、B兩點(diǎn)的水平距離x＝v0t＋v0(t－1s)＝9v0＝180eq\r(5)m，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤?！咀兪?-2】(多選)如圖所示，三個(gè)小球從同一高度處的O處分別以水平初速度v1、v2、v3拋出，落在水平面上的位置分別是A、B、C，O′是O在水平面上的射影點(diǎn)，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5。若不計(jì)空氣阻力，則下列說法正確的是()A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5B．三個(gè)小球下落的時(shí)間相同C．三個(gè)小球落地的速度相同D．三個(gè)小球落地的位移相同解析：選AB三個(gè)小球的高度相等，則根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2知，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，因?yàn)樗轿灰浦葹?∶3∶5，則根據(jù)x＝v0t得，初速度之比為1∶3∶5，故A、B正確；小球落地時(shí)豎直方向上的分速度相等，落地時(shí)的速度v＝eq\r(v02＋2gh)，初速度不等，則落地的速度不等，故C錯(cuò)誤；小球落地時(shí)的位移s＝eq\r(x2＋h2)，水平位移不等，豎直位移相等，則小球通過的位移不等，故D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】(多選)從豎直墻的前方A處，沿AO方向水平發(fā)射三顆彈丸a、b、c，在墻上留下的彈痕如圖所示。已知Oa＝ab＝bc，則a、b、c三顆彈丸(不計(jì)空氣阻力)()A．初速度之比是eq\r(6)∶eq\r(3)∶eq\r(2)B．初速度之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C．從射出至打到墻上過程速度增量之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)D．從射出至打到墻上過程速度增量之比是eq\r(6)∶eq\r(3)∶eq\r(2)解析：選AC水平發(fā)射的彈丸做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)。又因?yàn)樨Q直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝eq\f(1,2)gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶eq\f(1,\r(2))∶eq\f(1,\r(3))＝eq\r(6)∶eq\r(3)∶eq\r(2)，A正確，B錯(cuò)誤；由Δv＝gt，可知從射出至打到墻上過程速度增量之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)，C正確，D錯(cuò)誤?！绢}型2落點(diǎn)在斜面上的平拋】【例2】如圖所示，A點(diǎn)為傾角為30°的斜面底部，在A點(diǎn)的正上方某高度P點(diǎn)以初速度v0平拋一小球，小球打在斜面上B點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)。在P點(diǎn)將小球平拋的初速變?yōu)関時(shí)，小球恰好打在C點(diǎn)，則有()A.v＜eq\f(v0,2) B.v＝eq\f(v0,2)C.v0＞v＞eq\f(v0,2) D.v＝eq\f(\r(3)v0,2)答案A解析過B點(diǎn)作一水平線，過C點(diǎn)作水平線的垂線交于M點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，M點(diǎn)即為QB的中點(diǎn)，如果平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為原來的一半，則軌跡交于M點(diǎn)，由于平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡越往下則往豎直方向偏，所以落在斜面上C點(diǎn)的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡與QB交于N點(diǎn)，則水平位移比軌跡交于M點(diǎn)的更小，即v＜eq\f(v0,2)，故A正確?！咀兪?-1】如圖所示，水平地面上固定有一個(gè)斜面，斜面傾角為θ，從斜面頂端向右平拋一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，當(dāng)初速度為v0時(shí)，小球恰好落到斜面底端，平拋的飛行時(shí)間為t0，現(xiàn)用不同的初速度v從該斜面頂端向右平拋這個(gè)小球，則平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，末速度方向與水平方向夾角的正切值tanα隨初速度v變化的圖像，以及平拋運(yùn)動(dòng)飛行時(shí)間t隨初速度v變化的圖像正確的是()答案B解析當(dāng)速度v＜v0，小球?qū)⒙湓谛泵嫔?，根?jù)落在斜面上的小球的位移方向與水平方向夾角的正切值等于小球落在斜面上末速度方向與水平方向夾角正切值的一半可知，此時(shí)末速度方向與水平方向夾角的正切值tanα為定值，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tanα＝eq\f(gt,v)＝2tanθ則t＝eq\f(vtanα,g)＝eq\f(v·2tanθ,g)小球落在斜面上時(shí)α為定值，則此過程時(shí)間與速度v成正比，當(dāng)速度v＞v0，小球?qū)⒙涞剿矫?，則有tanα＝eq\f(vy,v)＝eq\f(gt,v)，由于高度一定，則時(shí)間t為定值，則tanα與v成反比，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確?！咀兪?-2】如圖所示，斜面AC與水平方向的夾角為α，在底端A點(diǎn)正上方與頂端C點(diǎn)等高處的E點(diǎn)以速度v0水平拋出一小球，小球垂直于斜面落到D點(diǎn)，重力加速度為g，則()A．小球在空中飛行時(shí)間為eq\f(v0,g)B．小球落到斜面上時(shí)的速度大小為eq\f(v0,cosα)C．CD與DA長(zhǎng)度的比值為eq\f(1,2tan2α)D．小球的位移方向垂直于AC[解析]小球的運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖所示，把小球在D點(diǎn)處的速度沿水平、豎直方向分解，小球垂直于斜面落到D點(diǎn)，所以在D點(diǎn)時(shí)有tanα＝eq\f(v1,v2)＝eq\f(v0,gt)，解得t＝eq\f(v0,gtanα)，故A錯(cuò)誤；小球垂直于斜面落到D點(diǎn)，所以小球落到斜面上時(shí)的速度大小為v＝eq\f(v0,sinα)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系，DA＝eq\f(v0t,cosα)，CD＝eq\f(\f(1,2)gt2,sinα)，整理得CD與DA的比值為eq\f(1,2tan2α)，故C正確；由位移方向與水平方向夾角的正切值是速度方向與水平方向夾角的正切值的eq\f(1,2)可知，位移方向不垂直于AC，故D錯(cuò)誤。[答案]C【變式2-3】(多選)如圖所示，傾角為30°的斜面體固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度處有一小球以水平速度v0拋出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是()A.小球從拋出到落在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(\r(3)v0,g)B.小球從拋出到落在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(\r(3)v0,3g)C.小球拋出時(shí)距斜面底端的高度為eq\f(5veq\o\al(2,0),g)D.小球拋出時(shí)距斜面底端的高度為eq\f(5veq\o\al(2,0),2g)答案AD解析設(shè)小球恰好垂直打到斜面上的時(shí)間為t，根據(jù)幾何關(guān)系可得tan60°＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)解得t＝eq\f(\r(3)v0,g)，故A正確，B錯(cuò)誤；小球垂直打到斜面上，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則有x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2小球落在斜面上，根據(jù)幾何關(guān)系得tan30°＝eq\f(h－y,x)將t＝eq\f(\r(3)v0,g)代入，聯(lián)立解得h＝eq\f(5veq\o\al(2,0),2g)，故C錯(cuò)誤，D正確。【題型3落點(diǎn)在圓上的平拋】【例3】(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定一半圓形軌道，O為圓心，AB為水平直徑，有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以不同的初速度向右水平拋出，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是()A.初速度越大，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)B.初速度不同，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能相同C.小球落到軌道的瞬間，速度方向可能沿半徑方向D.小球落到軌道的瞬間，速度方向一定不沿半徑方向答案BD解析平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由高度決定，與水平初速度無關(guān)，初速度大時(shí)，與半圓接觸時(shí)下落的距離不一定比速度小時(shí)下落的距離大，故A錯(cuò)誤；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞點(diǎn)關(guān)于半圓過O點(diǎn)的豎直軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，故B正確；若小球落到半圓形軌道的瞬間垂直撞擊半圓形軌道，即速度方向沿半徑方向，則速度方向與水平方向的夾角是位移方向與水平方向夾角的2倍，因?yàn)橥晃恢盟俣确较蚺c水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的兩倍，兩者相互矛盾，則小球的速度方向不會(huì)沿半徑方向，故C錯(cuò)誤，D正確。【變式3-1】如圖所示為某一通關(guān)游戲裝置的示意圖，豎直面內(nèi)的半圓弧BCD的直徑BD水平且與豎直軌道AB處在同一豎直面內(nèi)，小孔P和圓心O的連線與水平方向的夾角為37°。安裝在軌道AB上的彈射器可上下移動(dòng)，能水平射出速度大小可調(diào)節(jié)的彈丸，彈射器的射出口在B點(diǎn)的正上方，如果彈丸能垂直射入圓弧上的小孔P就算通關(guān)。某次游戲，彈射器從離B點(diǎn)0.15m的高度將彈丸射出，正好通關(guān)，那么，圓弧半徑和彈丸的初速度分別是(不計(jì)空氣阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度取10m/s2)()A．2m,4eq\r(3)m/s B．1.5m,4eq\r(3)m/sC．2m,2eq\r(6)m/s D．1.5m,2eq\r(6)m/s[解析]根據(jù)幾何知識(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x＝R＋Rcos37°＝1.8R，豎直位移為y＝h＋Rsin37°＝0.15m＋0.6R，又知eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)×eq\f(vy,v0)＝eq\f(1,2)tan37°，聯(lián)立解得R＝2m，又x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，解得v0＝4eq\r(3)m/s，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。[答案]A【變式3-2】(多選)如圖所示，在水平放置的半徑為R的圓柱體的正上方P點(diǎn)，將一個(gè)小球以速度v0沿垂直于圓柱體軸線方向水平拋出，小球飛行一段時(shí)間后恰好從圓柱體的Q點(diǎn)沿切線方向飛過，測(cè)得該截面的圓心O與Q點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為θ，那么小球從P運(yùn)動(dòng)到Q所用的時(shí)間是()A．t＝eq\f(Rsinθ,v0) B．t＝eq\f(v0tanθ,g)C．t＝eq\r(\f(2Rtanθsinθ,g)) D．t＝eq\r(\f(Rtanθsinθ,g))[解析]如圖所示，小球在水平方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，水平位移x＝Rsinθ＝v0t，得t＝eq\f(Rsinθ,v0)，A正確；小球到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)豎直方向上的速度vy＝gt＝v0tanθ，得t＝eq\f(v0tanθ,g)，B正確；小球從圓柱體的Q點(diǎn)沿切線飛過，故小球在Q點(diǎn)的速度方向垂直于半徑OQ，在Q點(diǎn)的速度的反向延長(zhǎng)線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，設(shè)小球通過Q點(diǎn)時(shí)其豎直位移為y，則y＝eq\f(x,2)tanθ＝eq\f(1,2)Rsinθtanθ，又有y＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立解得t＝eq\r(\f(Rtanθsinθ,g))，D正確，C錯(cuò)誤。[答案]ABD【變式3-3】如圖，從O點(diǎn)以水平初速度v1、v2拋出兩個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，最終它們分別落在圓弧上的A點(diǎn)和B點(diǎn)，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成α角，不計(jì)空氣阻力，則兩小球初速度之比v1∶v2為()A.tanα B.cosαC.tanαeq\r(tanα) D.cosαeq\r(tanα)答案C解析設(shè)圓弧半徑為R，兩小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1、t2。對(duì)球1：Rsinα＝v1t1，Rcosα＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，對(duì)球2：Rcosα＝v2t2，Rsinα＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，聯(lián)立四式可得eq\f(v1,v2)＝tanαeq\r(tanα)，C正確?！绢}型4體育運(yùn)動(dòng)中的拋體問題】【例4】一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖所示。水平臺(tái)面的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)1和L2，中間球網(wǎng)高度為h。發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺(tái)面高度為3h。不計(jì)空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，則v的最大取值范圍是()A.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜L1eq\r(\f(g,6h))B.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\r(\f(（4Leq\o\al(2,1)＋Leq\o\al(2,2)）g,6h))C.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(（4Leq\o\al(2,1)＋Leq\o\al(2,2)）g,6h))D.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(（4Leq\o\al(2,1)＋Leq\o\al(2,2)）g,6h))答案D解析發(fā)射機(jī)無論向哪個(gè)方向水平發(fā)射，乒乓球都做平拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)速度v最小時(shí)，球沿中線恰好過網(wǎng)，有：3h－h(huán)＝eq\f(gteq\o\al(2,1),2)①eq\f(L1,2)＝v1t1②聯(lián)立①②得v1＝eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))當(dāng)速度最大時(shí)，球斜向右側(cè)臺(tái)面兩個(gè)角發(fā)射，有eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,2)))\s\up12(2)＋Leq\o\al(2,1))＝v2t2③3h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)④聯(lián)立③④得v2＝eq\f(1,2)eq\r(\f(（4Leq\o\al(2,1)＋Leq\o\al(2,2)）g,6h))所以使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，v的最大取值范圍為eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(（4Leq\o\al(2,1)＋Leq\o\al(2,2)）g,6h))，選項(xiàng)D正確。【變式4-1】一位網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員以拍擊球，使網(wǎng)球沿水平方向飛出，第一只球落在自己一方場(chǎng)地的B點(diǎn)，彈跳起來后，剛好擦網(wǎng)而過，落在對(duì)方場(chǎng)地的A點(diǎn)處，如圖所示，第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在A點(diǎn)處，設(shè)球與地面的碰撞過程沒有能量損失，且運(yùn)動(dòng)過程不計(jì)空氣阻力，則兩只球飛過球網(wǎng)C處時(shí)水平速度之比為()A．1∶1B．1∶3C．3∶1D．1∶9解析：選B由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，兩球分別被擊出至各自第一次落地的時(shí)間是相等的。由于球與地面的碰撞沒有能量損失，設(shè)第一只球自擊出到落到A點(diǎn)時(shí)間為t1，第二只球自擊出到落到A點(diǎn)時(shí)間為t2，則t1＝3t2。由于兩球在水平方向均為勻速運(yùn)動(dòng)，水平位移大小相等，設(shè)它們從O點(diǎn)出發(fā)時(shí)的初速度分別為v1、v2，由x＝v0t得：v2＝3v1，所以有eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,3)，所以兩只球飛過球網(wǎng)C處時(shí)水平速度之比為1∶3，故B正確?！咀兪?-2】某同學(xué)練習(xí)定點(diǎn)投籃，籃球從同一位置出手，兩次均垂直撞在豎直籃板上，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是()A.第1次擊中籃板時(shí)的速度小B.兩次擊中籃板時(shí)的速度相等C.球在空中運(yùn)動(dòng)過程第1次速度變化快D.球在空中運(yùn)動(dòng)過程第2次速度變化快答案A解析將籃球的運(yùn)動(dòng)反過來看，則籃球兩次做平拋運(yùn)動(dòng)，由于第1次平拋運(yùn)動(dòng)的高度更大，由h＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2h,g))，所以第1次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間更長(zhǎng)，由于兩次的水平位移相等，則時(shí)間越長(zhǎng)的水平初速度越小，故第1次擊中籃板時(shí)的速度小，故A正確，B錯(cuò)誤；球在空中運(yùn)動(dòng)過程速度變化快慢即為加速度，由于球只受重力作用，加速度為重力加速度，則兩次速度變化快慢相同，故C、D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】跳臺(tái)滑雪是一種勇敢者的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)員腳著專用滑雪板，在滑雪道上獲得一定速度后從跳臺(tái)飛出，在空中飛行一段距離后著陸。如圖甲所示，某運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))從跳臺(tái)a處沿水平方向飛出，在斜坡b處著陸。已知運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)過程中在坡面上的投影到a點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示，斜坡與水平方向的夾角為30°。運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)離坡面的距離最大，CD垂直于坡面ab。不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2。則下列說法正確的是()A．運(yùn)動(dòng)員在a點(diǎn)的初速度為10m/sB．斜坡上a、b兩點(diǎn)到D點(diǎn)的距離相等C．運(yùn)動(dòng)員在空中C點(diǎn)時(shí)的速度為15eq\r(3)m/sD．運(yùn)動(dòng)員在空中到坡面的最大距離為eq\f(5\r(3),2)m[解析]將該運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，可分解為垂直斜坡方向上的類豎直上拋運(yùn)動(dòng)和沿斜坡方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)員沿坡面方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則s＝v0∥t＋eq\f(1,2)at2，沿斜坡方向的加速度為a＝gsin30°＝5m/s2，將s＝17.5m，t＝1s代入，解得v0∥＝15m/s，又v0∥＝v0cos30°，則v0＝10eq\r(3)m/s，A錯(cuò)誤；從a到b的過程，有tan30°＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，t＝eq\f(2v0tan30°,g)＝2s，運(yùn)動(dòng)員從斜坡上a點(diǎn)到C點(diǎn)與從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，在垂直斜坡方向上的運(yùn)動(dòng)距離相等，且在C點(diǎn)垂直斜坡方向的速度為0，則利用運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性可知運(yùn)動(dòng)員由a到C和由C到b運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，均為1s，又沿斜坡方向運(yùn)動(dòng)員做勻加速運(yùn)動(dòng)，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知斜坡上a到D的距離小于b到D的距離，B錯(cuò)誤；vc＝v0∥＋a·eq\f(t,2)＝(15＋5×1)m/s＝20m/s，C錯(cuò)誤；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離斜坡最遠(yuǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在該點(diǎn)的速度方向與坡面平行，運(yùn)動(dòng)員由a點(diǎn)飛出時(shí)水平初速度v0在垂直于斜坡方向的分量為v0⊥＝v0sin30°＝5eq\r(3)m/s，垂直斜坡方向的加速度大小為a′＝gcos30°＝5eq\r(3)m/s2，運(yùn)動(dòng)員在空中到斜坡的最大距離為s＝eq\f(v0⊥2,2a′)＝eq\f(5\r(3),2)m，D正確。[答案]D【題型5平拋中的臨界極值問題】【例5】如圖，容量足夠大的圓筒豎直放置，水面高度為h，在圓筒側(cè)壁開一個(gè)小孔P，筒內(nèi)的水從小孔水平射出，設(shè)水到達(dá)地面時(shí)的落點(diǎn)距小孔的水平距離為x，小孔P到水面的距離為y。短時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為筒內(nèi)水位不變，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，在這段時(shí)間內(nèi)下列說法正確的是()A.水從小孔P射出的速度大小為eq\r(gy)B.y越小，則x越大C.x與小孔的位置無關(guān)D.當(dāng)y＝eq\f(h,2)時(shí)，x最大，最大值為h答案D解析取水面上質(zhì)量為m的水滴，從小孔噴出時(shí)由機(jī)械能守恒定律可知mgy＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gy)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；水從小孔P射出時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，則x＝vth－y＝eq\f(1,2)gt2解得x＝veq\r(\f(2（h－y）,g))＝2eq\r(y（h－y）)可知x與小孔的位置有關(guān)，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)y＝h－y，即y＝eq\f(1,2)h時(shí)x最大，最大值為h，并不是y越小x越大，選項(xiàng)D正確，B、C錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖所示是消防車?yán)迷铺?未畫出)進(jìn)行高層滅火，消防水炮離地的最大高度H＝40m，出水口始終保持水平且出水方向可以水平調(diào)節(jié)，著火點(diǎn)在高h(yuǎn)＝20m的樓層，其水平射出的水的初速度在5m/s≤v0≤15m/s之間，可進(jìn)行調(diào)節(jié)，出水口與著火點(diǎn)不能靠得太近，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()A．如果要有效滅火，出水口與著火點(diǎn)的水平距離x最大為40mB．如果要有效滅火，出水口與著火點(diǎn)的水平距離x最小為10mC．如果出水口與著火點(diǎn)的水平距離x不能小于15m，則射出水的初速度最小為5m/sD．若該著火點(diǎn)高度為40m，該消防車仍能有效滅火解析：選B出水口與著火點(diǎn)之間的高度差為Δh＝20m，由Δh＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，得出水口與著火點(diǎn)的水平距離x的范圍為10m≤x≤30m，故A錯(cuò)誤，B正確；如果出水口與著火點(diǎn)的水平距離不能小于15m，則最小出水速度為7.5m/s，故C錯(cuò)誤；如果著火點(diǎn)高度為40m，保持出水口水平，則水不能到達(dá)著火點(diǎn)，故D錯(cuò)誤?！咀兪?-2】[多選]在某次高爾夫球比賽中，美國(guó)選手羅伯特－斯特布擊球后，球恰好落在洞的邊緣，假定洞內(nèi)bc表面為eq\f(1,4)球面，半徑為R，且空氣阻力可忽略，重力加速度大小為g，把此球以大小不同的初速度v0沿半徑方向水平擊出，如圖所示，球落到球面上，下列說法正確的是()A．落在球面上的最大速度為2eq\r(2gR)B．落在球面上的最小速度為eq\r(\r(3)gR)C．小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與v0大小無關(guān)D．無論調(diào)整v0大小為何值，球都不可能垂直撞擊在球面上解析：選BD平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，由h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))。設(shè)小球落在A點(diǎn)時(shí)，OA與豎直方向之間的夾角為θ，水平方向的位移為x，豎直方向的位移為y，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度為vy，則x＝v0t＝Rsinθ，y＝eq\f(vy2,2g)＝eq\f(gt2,2)＝Rcosθ，得vy2＝2gRcosθ，v02＝eq\f(gRsin2θ,2cosθ)，又由vt＝eq\r(v02＋vy2)＝eq\r(\f(gRsin2θ,2cosθ)＋2gRcosθ)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)cosθ＋\f(1,2cosθ)))gR)，所以落在球面上的小球有最小速度，當(dāng)eq\f(3,2)cosθ＝eq\f(1,2cosθ)時(shí)，速度最小，最小速度為eq\r(\r(3)gR)，故A錯(cuò)誤，B正確；由以上的分析可知，小球下落的時(shí)間t＝eq\f(vy,g)＝eq\r(\f(2Rcosθ,g))，其中cosθ與小球的初速度有關(guān)，故C錯(cuò)誤；小球撞擊在球面上時(shí)，根據(jù)“平拋運(yùn)動(dòng)速度的反向延長(zhǎng)線交于水平位移的中點(diǎn)”結(jié)論可知，由于O點(diǎn)不在水平位移的中點(diǎn)，所以小球撞在球面上的速度反向延長(zhǎng)線不可能通過O點(diǎn)，也就不可能垂直撞擊在球面上，故D正確。【變式5-3】(多選)如圖所示，一網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員將球在邊界正上方某處水平向右擊出，球的初速度垂直于球網(wǎng)平面，且剛好過網(wǎng)落在對(duì)方界內(nèi)。相關(guān)數(shù)據(jù)如圖，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確是()A.擊球點(diǎn)高度h1與球網(wǎng)高度h2之間的關(guān)系為h1＝1.8h2B.若保持擊球高度不變，球的初速度v0只要不大于eq\f(s,h1)eq\r(2gh1)，一定落在對(duì)方界內(nèi)C.任意降低擊球高度(仍大于h2)，只要球的初速度合適，球一定能落在對(duì)方界內(nèi)D.任意增加擊球高度，只要球的初速度合適，球一定能落在對(duì)方界內(nèi)答案AD解析由題意可知球通過水平位移s和eq\f(3,2)s，所用的時(shí)間之比為2∶3，則在豎直方向上，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，可得eq\f(h1－h(huán)2,h1)＝eq\f(4,9)，解得h1＝1.8h2，故A正確；豎直方向上，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，可得時(shí)間t＝eq\r(\f(2h,g))，若保持擊球高度不變，球恰不越界時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝eq\r(\f(2h1,g))，故可得球的最大初速度v01＝eq\f(2s,t1)＝eq\f(s,h1)eq\r(2gh1)；球恰好過網(wǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝eq\r(\f(2（h1－h(huán)2）,g))，故可得球的最小初速度v02＝eq\f(s,t2)＝seq\r(\f(g,2（h1－h(huán)2）))，故球初速度的取值范圍是seq\r(\f(g,2（h1－h(huán)2）))≤v0≤eq\f(s,h1)eq\r(2gh1)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；任意降低擊球高度(仍大于h2)，存在一個(gè)臨界高度h0，這個(gè)臨界高度值滿足h0－h(huán)2＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)g(eq\f(s,v0))2，h0＝eq\f(1,2)gt′2＝eq\f(1,2)g(eq\f(2s,v0))2，聯(lián)立得該臨界高度h0＝eq\f(4,3)h2，球的初速度v0＝eq\r(\f(3gs2,2h2))，低于這一高度擊球，球不能落在對(duì)方界內(nèi)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；增加擊球高度，只要球的初速度合適，球一定能落到對(duì)方界內(nèi)，故D正確?！绢}型6聯(lián)系實(shí)際問題】【例6】由于空氣阻力的影響，炮彈的實(shí)際飛行軌跡不是拋物線，而是“彈道曲線”，如圖中實(shí)線所示。Ox、Oy方向分別是水平和豎直方向，圖中虛線為不考慮空氣阻力情況下炮彈的理想運(yùn)動(dòng)軌跡，O、a、b、c、d為彈道曲線上的五點(diǎn)，其中O點(diǎn)為發(fā)射點(diǎn)，d點(diǎn)為落地點(diǎn)，b點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn)，a、c為運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的距地面高度相等的兩點(diǎn)，已知空氣阻力與炮彈速度方向相反。下列說法正確的是()A．到達(dá)b點(diǎn)時(shí)，炮彈的速度為零B．到達(dá)b點(diǎn)時(shí)，炮彈的加速度為gC．炮彈經(jīng)過a點(diǎn)的水平分速度可能等于經(jīng)過b點(diǎn)的水平分速度D．炮彈由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的時(shí)間小于由b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的時(shí)間解析：選D到達(dá)最高點(diǎn)b點(diǎn)時(shí)，豎直分速度為零，但炮彈仍具有水平方向的速度，A錯(cuò)誤；到達(dá)最高點(diǎn)b點(diǎn)時(shí)，炮彈除受重力外還受空氣阻力，加速度不為g，B錯(cuò)誤；從a到c，炮彈在水平方向始終受到向左的分力，做減速運(yùn)動(dòng)，所以經(jīng)過a點(diǎn)的水平分速度大于經(jīng)過b點(diǎn)的水平分速度，C錯(cuò)誤；炮彈由O到b過程中空氣阻力在豎直方向的分力向下，在豎直方向的加速度大于g，而從b到d過程中空氣阻力在豎直方向分力向上，豎直分加速度小于g，已知兩段過程中炮彈飛行高度相同，由h＝eq\f(1,2)at2可得，炮彈從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的時(shí)間小于從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的時(shí)間，D正確?！咀兪?-1】某生態(tài)公園的人造瀑布景觀如圖所示，水流從高處水平流出槽道，恰好落入步道邊的水池中?，F(xiàn)制作一個(gè)為實(shí)際尺寸eq\f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度應(yīng)為實(shí)際的()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,16)解析：選B由題意可知，水流出后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和下落高度均變?yōu)閷?shí)際的eq\f(1,16)，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，所以時(shí)間變?yōu)閷?shí)際的eq\f(1,4)，水流出的速度v＝eq\f(x,t)，由于水平位移變?yōu)閷?shí)際的eq\f(1,16)，時(shí)間變?yōu)閷?shí)際的eq\f(1,4)，則水流出的速度為實(shí)際的eq\f(1,4)，B正確。【變式6-2】如圖所示，一農(nóng)用水泵由兩根粗細(xì)不同的管連接而成，出水口離地面的高度為h，其出水管是水平的，已知細(xì)管內(nèi)徑為d，粗管的內(nèi)徑為2d，水平射程為s，水的密度為ρ，重力加速度為g，不考慮空氣阻力的影響，下列說法正確的是()A．若水流不散開，則觀察到空中的水柱越來越粗B．粗、細(xì)管中水的流速之比為1∶2C．空中水的質(zhì)量為eq\f(1,4)πρsd2D．水落地時(shí)的速度大小為eq\r(\f(sg,2h)＋2gh)解析：選C設(shè)細(xì)管中水的流速為v0，根據(jù)相同時(shí)間內(nèi)水的流量相同可知粗管中水的流速為eq\f(1,4)v0，而水從出水口射出后，速度增大，若水流不散開，則可以觀察到空中的水柱越來越細(xì)，A、B錯(cuò)誤；空中水的質(zhì)量的表達(dá)式為m＝ρeq\f(1,4)πd2v0t1＝eq\f(1,4)πρsd2，C正確；由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得出水口的水速v0＝seq\r(\f(g,2h))，則由動(dòng)能定理可得水落地時(shí)的速度v1＝eq\r(\f(s2g,2h)＋2gh)，D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖所示為足球球門，球門寬為L(zhǎng)。一個(gè)球員在球門中心正前方距離球門s處高高躍起，將足球頂入球門的左下方死角(圖中P點(diǎn))。球員頂球點(diǎn)的高度為h。足球做平拋運(yùn)動(dòng)(足球可看成質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力)，則()A．足球位移的大小x＝eq\r(\f(L2,4)＋s2)B．足球初速度的大小v0＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2)))C．足球末速度的大小v＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2))＋4gh)D．足球初速度的方向與球門線夾角的正切值tanθ＝eq\f(L,2s)解析：選B根據(jù)幾何關(guān)系可知，足球做平拋運(yùn)動(dòng)的豎直高度為h，水平位移為x水平＝eq\r(s2＋\f(L2,4))，則足球位移的大小為：x＝eq\r(x水平2＋h2)＝eq\r(s2＋\f(L2,4)＋h2)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由h＝eq\f(1,2)gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度為v0＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2)))，選項(xiàng)B正確；對(duì)足球應(yīng)用動(dòng)能定理：mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，可得足球末速度v＝eq\r(v02＋2gh)＝eq\r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,4)＋s2))＋2gh)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；初速度方向與球門線夾角的正切值為tanθ＝eq\f(2s,L)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。【題型7斜拋問題】【例7】如圖所示，兩人各自用吸管吹黃豆，甲黃豆從吸管末端P點(diǎn)水平射出的同時(shí)乙黃豆從另一吸管末端M點(diǎn)斜向上射出，經(jīng)過一段時(shí)間后兩黃豆在N點(diǎn)相遇，曲線1和2分別為甲、乙黃豆的運(yùn)動(dòng)軌跡。若M點(diǎn)在P點(diǎn)正下方，M點(diǎn)與N點(diǎn)位于同一水平線上，且PM長(zhǎng)度等于MN的長(zhǎng)度，不計(jì)空氣阻力，可將黃豆看成質(zhì)點(diǎn)，則()A．兩黃豆相遇時(shí)甲的速度與水平方向的夾角的正切值為乙的2倍B．甲黃豆在P點(diǎn)的速度與乙黃豆在最高點(diǎn)的速度不相等C．兩黃豆相遇時(shí)甲的速度大小為乙的2倍D．乙黃豆相對(duì)于M點(diǎn)上升的最大高度為PM長(zhǎng)度的一半解析：選A設(shè)PM＝MN＝h，甲、乙兩黃豆自射出后經(jīng)時(shí)間t在N點(diǎn)相遇，則有h＝eq\f(1,2)gt2；對(duì)于乙黃豆，根據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知其從最高點(diǎn)(設(shè)為Q)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(t,2)，Q、N兩點(diǎn)之間的水平距離為eq\f(h,2)，豎直距離為h乙＝eq\f(1,2)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))2＝eq\f(1,4)h，故D錯(cuò)誤。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的推論可知，甲黃豆到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度方向與水平方向的夾角α1的正切值為位移方向與水平方向的夾角θ1的正切值的2倍，即tanα1＝2tanθ1＝2，乙黃豆到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度方向與水平方向的夾角α2的正切值為從Q點(diǎn)到N點(diǎn)的位移方向與水平方向的夾角θ2的正切值的2倍，即tanα2＝2tanθ2＝2×eq\f(h乙,\f(h,2))＝1，所以tanα1＝2tanα2，故A正確。甲黃豆在P點(diǎn)的速度與乙黃豆在最高點(diǎn)的速度都等于各自運(yùn)動(dòng)過程中水平方向的分速度，二者在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的水平位移和時(shí)間均相同，所以水平分速度相等，則甲黃豆在P點(diǎn)的速度與乙黃豆在最高點(diǎn)的速度相等，故B錯(cuò)誤。設(shè)甲、乙兩黃豆在N點(diǎn)時(shí)的水平分速度大小均為v0，豎直分速度大小分別為v1y、v2y，合速度大小分別為v1、v2，則tanα1＝2＝eq\f(v1y,v0)，tanα2＝1＝eq\f(v2y,v0)，所以v1y＝2v0，v2y＝v0，根據(jù)平行四邊形定則有v1＝eq\r(v02＋2v02)＝eq\r(5)v0，v2＝eq\r(v02＋v02)＝eq\r(2)v0，所以eq\f(v1,v2)≠2，故C錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖，一小船以1.0m/s的速度勻速前行，站在船上的人豎直向上拋出一小球，小球上升的最大高度為0.45m。當(dāng)小球再次落入手中時(shí)，小船前進(jìn)的距離為(假定拋接小球時(shí)人手的高度不變，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2)()A．0.3mB．0.6mC．0.9m D．1.2m解析：選B根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，小球在豎直方向上運(yùn)動(dòng)的過程中，小船以1.0m/s的速度勻速前行，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)h＝eq\f(1,2)gt2，小球上升的時(shí)間t＝0.3s，小球從上拋到再次落入手中所用的時(shí)間為2t，則小船前進(jìn)的距離x＝v·2t＝0.6m，故B正確?！咀兪?-2】如圖所示，A、B兩籃球從相同高度同時(shí)拋出后直接落入籃筐，落入籃筐時(shí)的速度方向相同，下列判斷正確的是()A．A比B先落入籃筐B(yǎng)．A、B運(yùn)動(dòng)的最大高度相同C．A在最高點(diǎn)的速度比B在最高點(diǎn)的速度小D．A、B上升到某一相同高度時(shí)的速度方向相同解析：選D若研究?jī)蓚€(gè)過程的逆過程，可看作是從籃筐處沿同方向斜向上的斜拋運(yùn)動(dòng)，落到同一高度上的A、B兩點(diǎn)，則A上升的高度較大，高度決定時(shí)間，可知A運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，即B先落入籃筐中，A、B錯(cuò)誤；因?yàn)閮汕驋伾浣窍嗤?，A的射程較遠(yuǎn)，則A球的水平速度較大，即A在最高點(diǎn)的速度比B在最高點(diǎn)的速度大，C錯(cuò)誤；由斜拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，當(dāng)A、B上升到與籃筐相同高度時(shí)的速度方向相同，D正確?！咀兪?-3】如圖所示，一名運(yùn)動(dòng)員在參加跳遠(yuǎn)比賽，他騰空過程中離地面的最大高度為L(zhǎng)，成績(jī)?yōu)?L。假設(shè)跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員落入沙坑瞬間速度方向與水平面的夾角為α，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。則有()A.tanα＝2 B.tanα＝eq\f(1,2)C.tanα＝eq\f(1,4) D.tan